高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教A版(老高考舊教材)配套PPT課件8.7　立體幾何中的向量方法

1、8.7立體幾何中的向量方法-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234151.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線l上的非零向量e以及與的非零向量叫做直線l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線平面,那么稱(chēng)向量n垂直于平面,記作.此時(shí)把叫做平面的法向量.e共線 垂直于 n 向量n -3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.線面關(guān)系的判定設(shè)直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面的法向量為n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1l2,那么e1e2 .(2)如果l1l2,那么e1e2.(3)若l1,

2、則e1n1e1n1=0.(4)若l1,則e1n1e1=n1.(5)若,則n1n2n1=kn2.(6)若,則n1n2n1n2=0.e2=e1 a2=a1,b2=b1,c2=c1 e1e2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 a1x1+b1y1+c1z1=0 a1=x1,b1=y1,c1=z1 x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2 x1x2+y1y2+z1z2=0 -4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的角范圍:兩條異面直線所成的角的取值范圍是.向量求法:設(shè)異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為,a與b的夾角為,則有cos =.(2)直線

3、與平面所成的角范圍:直線和平面所成的角的取值范圍是.向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為,a與u的夾角為,則有sin =或cos =sin .|cos | |cos | -5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415(3)二面角范圍:二面角的取值范圍是.向量求法:若AB,CD分別是二面角-l-的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則設(shè)n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面,的法向量,則圖中向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角的大小就是二面角的大小;而圖中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的大小.0, -6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152-8-知識(shí)梳理雙基

4、自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)直線的方向向量是唯一確定的. ()(2)平面的單位法向量是唯一確定的. ()(3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行. ()(4)若空間向量a平行于平面,則a所在直線與平面平行. ()(5)兩條直線的方向向量的夾角就是這兩條直線所成的角. () -9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為 () 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空間直角坐標(biāo)系中,如圖所示,且CA=CC1=2C

5、B,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為() 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為.-12-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415-13-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.已知P是二面角-AB-棱上的一點(diǎn),分別在平面,上引射線PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小為.90 -14-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1如圖所示,平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E

6、,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:PB平面EFG.思考用向量法證明平行和垂直的常用方法有哪些?-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明 平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAD是直角三角形,AB,AP,AD兩兩垂直.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.用向量法證明平行類(lèi)問(wèn)題的常用方法 -19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)32.用向量法證明垂直類(lèi)問(wèn)題的常用方法 -

7、20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求證:APBC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC平面BMC.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明 (1)如圖所示,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1

8、=AD=1,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.思考立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題的求解方法有哪些?-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題的求解方法有以下兩種:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目要求進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),借助向量運(yùn)算,判定關(guān)于z0的

9、方程是否有解.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的 倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:ACSD.(2)若SD平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一利用空間向量求異面直線所成的角例3如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)證明:平面AEC平面AFC;(2)求直線AE與直線CF所成

10、角的余弦值.思考如何利用向量法求異面直線所成的角?-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3從而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC,所以平面AEC平面AFC.-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二利用空間向量求直線與平面所成的角例4(2020全國(guó),理20)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過(guò)B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)設(shè)O為A1B1C1的

11、中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.思考如何利用向量法求線面角?-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明:因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因?yàn)锳1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三利用空間向量求二面角的大小例5(2020全國(guó),理19)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=E

12、D1,BF=2FB1.(1)證明:點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.思考如何利用向量法求二面角?-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0), -41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向四利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離例6如圖,BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 ,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.思考如何利用向量法求點(diǎn)到平面的距離?-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解：如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,則OBCD,O

13、MCD.又平面MCD平面BCD,所以MO平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC,BO,OM分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽CD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z), -43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)32.利用向量法求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補(bǔ)角),取其余角就是斜線和平面所成的角.-45-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)33.利用向量法求二面角的方法:(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找

14、到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小;(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于(或-).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)34.利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的方法: -47-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).已知AB=2,AD=2 ,PA=2.求:PCD的面積;異面直線BC與AE所成的角的大小.-48-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-49-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-50-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-51-考點(diǎn)1考點(diǎn)2

15、考點(diǎn)3(2)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,BAD=120.求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;求二面角B -A1D -A的正弦值.-52-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)解:在平面ABCD內(nèi),過(guò)點(diǎn)A作AEAD,交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.-53-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-54-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(3)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD= ,AB=4.求證:M為PB的中點(diǎn);求二面角B-PD-A的大小;求直線MC與平面

16、BDP所成角的正弦值.-55-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).解:取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)PAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且OP平面PAD,所以O(shè)P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD,所以O(shè)POE.因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)EAD.-56-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz, -57-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-58-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(4)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分別為AC,AA1,AB的中點(diǎn).求證:B1C1平面DEF;求EF與AC1所成角的