4大數(shù)定理與中心極限定理

1、第四章隨機變量的數(shù)字特征4.4 大數(shù)定理與中心極限定理授課時間課時數(shù)教學(xué)方法課堂講授與提問相結(jié)合授課題目大數(shù)定理與中心極限定理目的要求1、掌握切比雪夫不等式2、了解切比雪夫大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律3、了解獨立同分布中心極限定理及其應(yīng)用4、了解棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理及其應(yīng)用教學(xué)重點利用相關(guān)定理，尤箕是了解切比雪夫大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律和向分布中心極限定理近似計算有美事件的概率教學(xué)難點人數(shù)7E律和中心極限7E理的內(nèi)在含義教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)入概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.而隨機現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如，大量的拋擲硬幣的隨機試驗

2、中，正面出現(xiàn)頻率；在大量文字資料中，字母使用頻率；工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過程中，產(chǎn)品的廢品率等.一般地，要從隨機現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律，就要研究大量隨機現(xiàn)象的問題.在生產(chǎn)實踐中，人們還認識到大量試驗數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值 也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中，我們將介紹有關(guān)隨機變量序列的最基本的兩類極限定理-大數(shù)定理和中心極限定理.教學(xué)內(nèi)容一、依概率收斂與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似，在概率論中，我們要考慮隨機變量序列的收斂性 .定義1設(shè)Xi，X2，Xn，是一個隨機變量序列,a為一個常數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)w,有l(wèi)im P| Xn -a| g(a

3、,b).二、切比雪夫不等式定理2設(shè)隨機變量X有期望E(X)=N和方差D(X)=。2，則對于任給S0,有1_2P| X -； 丁2 .z上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出，若仃2越小，則事件| X -E(X)|； ；的概率越大，即，隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.(ii)當方差已知時，切比雪夫不等式給出了X與它的期望的偏差不小于君的概率的估計式.如取名=3仃，則有_2P| X E(X) |_3二2 ： 0.111.9二 2故對任給的分布，只要期望和方差 仃2存在，則隨機變量X取值偏離E(X)超過3仃的概率小于 0.111

4、.三、大數(shù)定理.切比雪夫大數(shù)定律定理3 (切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)*1，*2，Xn，是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列，它們數(shù)學(xué)期望和方差均存在，且方差有共同的上界即D(XJ WK,i =1,2,則對任意s0,有11 n lim P|n 二二XiE(Xi) c J=11 n注：定理表明：當n很大時，隨機變量序列Xn的算術(shù)平均值-Z X1依概率收斂于其數(shù) n i土1n學(xué)期望1 、E(Xi).n i生.伯努利大數(shù)定理定理4 (伯努利大數(shù)定律)設(shè)必是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意的s0,有l(wèi)im P n -A p 0,有_ 1 二 lim P一 Xi -I-1! 5

5、 n w TOC o 1-5 h z 注：(i)定理不要求隨機變量的方差存在；(ii)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況；(iii)辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑 .例如，要估計 某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，可收割某些有代表性的地塊，如n塊，計算其平均畝產(chǎn)量，則當n較大 時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.此類做法在實際應(yīng)用中具有重要意義.四、中心極限定理在實際問題中，許多隨機現(xiàn)象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成，其中每一個因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布以一門大炮的射程為例 ，影響大炮的射程的隨機因素包括：大

6、炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導(dǎo)致的誤差，炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差，瞄準時的誤差，受風(fēng)速、風(fēng)向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的，并且可以看成是相互獨立的，人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題，其結(jié)論表明：當一個量受許多隨機因素(主導(dǎo)因素除外)的共同影響而隨機取值，則它的分布就近似服從正態(tài)分布 .林德伯格一勒維定理定理6 (林德伯格一勒維)設(shè)Xi，X2，Xn，是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)-D(Xi) =；，,i =1,2； ,n,lim Pn：

7、In、Xi -n i 1:n-二 2 二-t2 /2e/2dt注：定理6表明：當n充分大時， 似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近,我們很難求出X1X2 -Xn的分布的確切形式但當n很大時，可求出其近似分布.由定理結(jié)論有nZ Xi -n近似y n(0,1)二二 n1 n1 % Xin idN -, 近似_1 nN(0,1)- X N( J,。2 /n), X = x Xi.n v故定理又可表述為：均值為N,方差的。20的獨立同分布的隨機變量Xi,X2，Xn,的算術(shù)平均值 又，當n充分大時近似地服從均值為N,方差為b2/n的正態(tài) TOC o 1-5 h

8、z 分布.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ).棣莫佛一拉普拉斯定理在第二章中，作為二項分布的正態(tài)近似，我們曾經(jīng)介紹了棣莫佛一拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之.定理7(棣莫佛-拉普拉斯定理)設(shè)隨機變量Yn服從參數(shù)n, p (0 p 1)的二項分布,則對任意x,有t-、t2lim P J np= M x b = 1 e 2 dt =G( x) n5 N，np(1_p),飛2元注：易見，棣莫佛 一拉普拉斯定理就是林德伯格 一勒維定理的一個特殊情況.切比雪夫不等式例1(講義例1)已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式

9、估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率.解 設(shè)每毫升白細胞數(shù)為 X,依題意，N=7300,仃2 =7002,所求概率為P5200 X 三 9400 =P 5200 -7300 X -7300 2=1PX -10000 2100：1 -中=1 -0.97725 =0.02275.例3 （講義例3）計算機在進行數(shù)學(xué)計算時，遵從四舍五入原則.為簡單計.現(xiàn)在對小數(shù) 點后面第一位進行舍入運算，則誤差X可以認為服從_0.5,0.5上的均勻分布.若在一項計算中進行了 100次數(shù)字計算，求平均誤差落在區(qū)間f/3/20,J3/20上的I率.解 n =100,用Xi表示第i次運算中產(chǎn)生的誤差.X1，X2，

10、X100相互獨立,都服從-0.5,0.5上的均勻分布且 E(Xi) =0, var(Xi) =1/12, i =1,2,100,從而100Xi -100X0巧 100 近似丫00 =TXi N(0,1).100/125 i4故平均誤差X=L/0Xi落在一包11上的概率為100 y20 20P，J3 ,如二pM2020 1、 20100 X-3Xi100 T 20J3100= P3 工Xi 3：,(3).：，(3) =0.9973.例4（講義例4）某公司有200名員工參加一種資格證書考試.按往年經(jīng)驗考試通過率為 0.8，試計算這200名員工至少有150人考試通過的概率.解第i人通過考試第i人未通

11、過考試,i =1,2, ,200,依題意，P Xj = 1 = 0.8, np = 200 0.8 = 160,np(1 - p) = 32.200Xi是考試通過人數(shù)，由中心極限定理4,得0 200Xi -160X32近似N(0,1),P Xi 150 =P % 200 Xi -160 / 32 - 150 -160 / 32=P 200Xi -160 / 32 - -1.771 0(1.77) =0(1.77) = 0.96,即至少有150名員工通過這種考試的概率為0.96.例5 (講義例5)某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù)，被保險人每年需交付保險費160元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人

12、或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人氏-年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005,現(xiàn)有5000人參加此項保險，問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在 20萬到40萬元之間的概率是多少 ？加 f 1,若第i個被保險人發(fā)生重大事 故斛圮人=|0，若第i個被保險人未發(fā)生重大事故I2,，5000)于是Xi均服從參數(shù)為 p =0.005的兩點分布，且pXi =1 =0.005, np =25.5000也Xi是5000個被保險人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)，保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益為0.016 M5000-25000 Xi萬元.一 idi于是55000、55000P20 =P120 立 Xi L.y,LyJ5000=P J獸二 JXi25 E善二 )一)=0.6826 產(chǎn)5父0.995J25M0.995/25父0.995課堂