新高考數(shù)學二輪專題《圓錐曲線》第11講 阿基米德三角形問題（解析版）

1、第11講 阿基米德三角形問題一、解答題 1設定點F(0，1)，動點E滿足：以EF為直徑的圓與x軸相切.（1）求動點E的軌跡C的方程；（2）設A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線互相垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線.【答案】（1）x24y；（2）證明見解析.【分析】（1）設E點坐標為(x，y)，由E到x軸的距離等于即可求解.（2）設A，B兩點的坐標分別為，利用導數(shù)求出曲線在A，B處切線的斜率，從而可得x2，再求出的斜率，證出 kAFkAB，即證.【詳解】（1）設E點坐標為(x，y)，則EF中點為圓心，設為E，則E點坐標為.E到x軸的距離等于，即，化簡得x24y.點E的軌跡C的方程為x2

2、4y.（2）證明：由（1）知，曲線C是以F為焦點的拋物線，其方程可化為yx2，設A，B兩點的坐標分別為，曲線方程為yx2，yx，曲線在A，B處切線的斜率分別為k1x1，k2x2，k1k21，x1x21，x2，A，B兩點連線的斜率為kABx1，A，F(xiàn)兩點連線的斜率為kAFx1kAB，A，B，F(xiàn)三點共線.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了三點共線，可以證明直線的斜率相等，解題的關鍵是根據(jù)A，B兩點的坐標求出x2，考查了計算求解能力.2如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N （）求的值；（）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為證明：為定值【答案】

3、（1），；（2）【解析】試題分析：（）依題意，設直線AB的方程為x=my+2(m0)，與拋物線方程聯(lián)立消x得關于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得y1y2；（）設M(xM，yM)，N(xN，yN)，設直線AF：y=y1x11(x1)與y2=4x聯(lián)立，得y14y2+(1x1)yy1=0,由韋達定理得，y1yM=4yM=4y1，同理，yN=4y2，進而可得的比值，化簡即可求出結(jié)果為定制試題解析：證明：（）依題意，設直線AB的方程為x=my+2(m0)將其代入，消去x，整理得y24my8=0從而y1y2=8（）AF：y=y1x11(x1)與y2=4x聯(lián)立，得y14y2+(1x1)yy1=0由韋達

4、定理得，y1yM=4yM=4y1，同理，yN=4y2k1k2=4yM+yN4y1+y2=y1+y2yM+yN=y1y24=2（定值）考點：1拋物線的簡單性質(zhì)；2直線與拋物線的性質(zhì)3已知拋物線C：x22py（p0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上【答案】（1）x22y（2）證明見解析【分析】（1）設直線的方程為，代入拋物線方程，消去，設，運用韋達定理，以及中點坐標公式，可得，即可得到所求拋物線方程；（2）求得的導數(shù)，可得拋

5、物線在，處的切線的斜率，由點斜式方程和點，滿足拋物線方程，可得在，處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結(jié)合中點坐標公式，即可得到所求點所在的定直線方程【詳解】解：（1）設直線的方程為，代入拋物線，可得，設，則，點為線段的中點，可得，即，則拋物線的方程為；（2）證明：設，點為線段的中點，可得，由的導數(shù)為，可得拋物線在處的切線斜率為，切線方程為，由，可得，同理可得，可得，即為，即可得交點在一條定直線上【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題4已知拋物線C：x22py（p0），F(xiàn)為拋物線C的焦點以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫

6、坐標為2（1）求拋物線C的方程；（2）直線ykx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設切線l1，l2的交點為P，求證：PAB為直角三角形【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可得M點的坐標為，代入拋物線方程，即可求出p的值；（2）設，利用導數(shù)的幾何意義得到A，B兩點處的切線斜率分別為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到k1k21，從而得到PAB為直角三角形【詳解】（1）記拋物線C與圓F在第一象限的交點為M，由圓F與拋物線C的準線相切，且M到拋物線C準線的距離等于圓F的半徑，所以M點的坐標為，代入拋物線方程得：，所以，所以拋物線的方程為.（2

7、）設，由，可得y，則，所以A，B兩點處的切線斜率分別為，由，得，所以，所以，所以，即為直角三角形【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程的求解、及直線與拋物線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等5已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求

8、圓心到準線的距離為，從而可求拋物線的方程（2）設，利用導數(shù)求出兩點處的切線方程，從而可求的交點的坐標，再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，從而可得的交點的縱坐標為定值，故的交點在定直線上【詳解】（1）設中點為，到準線的距離為，到準線的距離為，到準線的距離為，則且.由拋物線的定義可知，所以，由梯形中位線可得，所以，可得，所以拋物線的標準方程為.（2）證明：設，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，解得，即直線的交點坐標為.因為過焦點，由題可知直線的斜率存在，故可設直線方程為，代入拋物線中，得，所以，故，所以的交點在定直線上【點睛】關鍵點點睛：拋物線中過焦點的弦長問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到

9、準線的距離問題，對于焦點在軸上的拋物線的切線問題，可以利用導數(shù)來求切線方程，從而簡化運算6已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，且與交于點，求證：在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）設，由到定點距離比到軸的距離大，可得，化簡可得點的軌跡的方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯(lián)立，設，可得，的值，又，所以，可得切線的方程，同理可得切線的方程，求出交點坐標，可得其在定直線上.【詳解】解：（1）設，則有，化簡得，故軌跡的方程為.（2）由題

10、意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯(lián)立得，設，則，又，所以，所以切線的方程為，即，同理切線的方程為聯(lián)立得，.兩式消去得，當時，所以交點的軌跡為直線，去掉點.因而交點在定直線上.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系等知識，考查學生的綜合計算能力，屬于難題.7已知圓C：x2y22x2y10和拋物線E：y22px(p0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為（1）求拋物線E的方程；（2）不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OAOB求證直線l過定點；設點M為圓C上任意一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程【答案】（1）y212x；（2）證明見解析；13

11、xy1560【分析】(1) 根據(jù)題意圓心到拋物線焦點距離，利用兩點之間距離公式計算可得結(jié)果（2）設直線方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合條件求得兩根之和與兩根之積，解得得到定點，再得出點到線距離最大時的直線方程【詳解】(1)圓C：x2y22x2y10，可得圓心C(1，1)，半徑r1，拋物線E：y22px(p0)的焦點，準線方程為，圓心C到拋物線焦點F的距離為,即有解得p6，即拋物線方程為y212x.(2)證明：設直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 整理得：y212my12t0，所以y1y212m，y1y212t由于OAOB則x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)

12、t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直線的方程為xmy12，直線經(jīng)過定點P(12，0)當CPl且動點M經(jīng)過PC的延長線時，動點M到動直線l的距離取得最大值 ，則此時直線l的方程為：，即13xy1560【點睛】本題在解答直線與拋物線位置關系時需設出直線方程，這里給出形式的直線方程，方便計算，根據(jù)題目意思解得直線恒過定點，再結(jié)合題意，求得當與直線垂直時的直線方程即可.8已知拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應的點的坐標.【答案】(1)2;(2)有

13、最小值4，此時.【分析】（1）先求出以點為切點的拋物線的切線方程，得出，利用面積求出點的縱坐標，然后求出（2）先分別寫出直線PA，PB方程，利用都過點P寫出直線，代入拋物線方程利用弦長公式求出，及點到直線的距離，寫出表達式及最值【詳解】（1）設，則，拋物線方程寫成，則以點為切點的拋物線的切線的方程為：，又，即， ，故 ，從而. （2）由（1）知，即：，同理，由直線，都過點，即，則點，的坐標都滿足方程，即直線的方程為：，又由直線過點， 聯(lián)立得， ，點到直線的距離， ， 當且僅當時，有最小值4，此時.【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能

14、力，屬于中檔題9已知以動點為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（）求動圓圓心的軌跡方程；（）過曲線上位于軸兩側(cè)的點、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點，記、的面積分別為、，且，證明：直線過定點.【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（）根據(jù)題意，點到直線的距離與到的距離相等，由拋物線的定義可得解；（）設、，用坐標表示、，利用韋達定理，代入即得解.【詳解】（）設，半徑為，則，所以點到直線的距離與到的距離相等，故點的軌跡方程為.（）設，則、設直線：（）代入中得，、又直線恒過【點睛】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10已知點

15、是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）【分析】（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中

16、垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬難題.11已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.【答案】（1）點在直線上，理由見解析（2）【分析】（1）由拋物線的方程可得頂點的坐標，設直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，再由

17、題意可得直線恒過，即得在直線上；（2）設，的坐標，可得直線，的斜率及線段，的中點坐標，進而求出線段，的中垂線的方程，兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標，由（1）可得的橫縱坐標關于參數(shù)的表達式，消參數(shù)可得的軌跡方程【詳解】(1) 點在直線上.理由如下，由題意, 拋物線的頂點為因為直線與拋物線有2個交點，所以設直線AB的方程為聯(lián)立得到，其中，所以，因為所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足，所以直線AB的方程為，恒過定點.（2）因為點是的外接圓的圓心，所以點是三角形三條邊的中垂線的交點，設線段的中點為，線段的中點為為，因為，設，所以，所以線段的中垂線的方程為：，因為在拋物線上，所以，的中垂線的方程為：，即

18、，同理可得線段的中垂線的方程為：，聯(lián)立兩個方程，解得，由（1）可得，所以，即點，所以，即點的軌跡方程為：【點睛】本題考查求直線恒過定點的方程及直三角形外接圓的性質(zhì)，和直線與橢圓的綜合應用，屬于難題12拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點的坐標.【答案】（1）；（2）存在這樣的，當時，坐標為.【分析】（1）先根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，得到，由三角形面積列出方程求出，

19、即可得出拋物線方程；（2）先設，直線的方程為，根據(jù)直線與拋物線相切，得到，進而推出的方程為，根據(jù)，得到方程，由兩直線方程，即可求出，確定出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，點的縱坐標均為，由，解得，則，由，解得，故拋物線的方程為.（2）假設存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點，設，直線的方程為，將拋物線方程變形為，則，所以，所以的方程為.因為，所以直線的方程為.把代入的方程得.同理可得構造直線方程為，易知兩點均在該直線上，所以直線的方程為.故恒過點.因為，所以可設方程為，化簡得所以恒過點.當，即時，與均恒過，故存在這樣的，當時，坐標為.【點睛】關鍵點點睛：求解本題第二問的關鍵在于用分別表示出

20、直線和的方程；根據(jù)題中條件，先設點的坐標，以及直線的方程，由直線與拋物線相切，得出直線方程，推出的方程，進而確定的方程，即可求解.13已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點（）若在線段上，是的中點，證明；（）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】（）見解析；（）【分析】設的方程為（）由在線段上，又；（）設與軸的交點為（舍去），設滿足條件的的中點為當與軸不垂直時當與軸垂直時與重合所求軌跡方程為【詳解】由題設，設，則，且記過兩點的直線為，則的方程為 （）由于在線段上，故，記的斜率為的斜率為，則，所以 （）設與軸的交點為，則，由題設可得，所以（舍去），設滿足

21、條件的的中點為當與軸不垂直時，由可得而，所以當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為【點睛】本題考查了1.拋物線定義與幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線位置關系；3.軌跡求法14如圖，設拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.（）求p的值；（）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（）p=2；（）(,0)(2，+).【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.試題解析：（）由題意可得

22、，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=1的距離，由拋物線的定義得p2=1，即p=2.（）由（）得，拋物線的方程為y2=4x,F(1,0)，可設A(t2,2t),t0,t1.因為AF不垂直于y軸，可設直線AF: x=sy+1，(s0)，由y2=4x，x=sy+1消去x得y24sy4=0，故y1y2=4，所以，B(1t2,2t).又直線AB的斜率為2tt21，故直線FN的斜率為t212t.從而得直線FN:y=t212t(x1)，直線BN:y=2t.所以N(t2+3t21,2t).設M(m,0)，由A，M，N三點共線得2tt2m=2t+2tt2t2+3t21，于是m=2t2t21.所以m0或

23、m2.經(jīng)檢驗，m0或m2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(,0)(2,+).【考點】拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系.【思路點睛】（）當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到y(tǒng)軸的距離；（）通過聯(lián)立方程組可得點的坐標，進而可得點的坐標，再利用，三點共線可得m用含有t的式子表示，進而可得的橫坐標的取值范圍.15如圖，已知點是軸左側(cè)（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設中點為，且，證明：；（3）若是曲線（）上的動點，求

24、面積的最小值.【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）直接利用拋物線定義得到答案.（2）設，根據(jù)中點在拋物線上得到，同理得到是二次方程的兩不等實根，計算得到答案.（3）設，代換得到計算得到答案.【詳解】（1）焦點坐標為（1,0），準線方程為x1，所以，焦點到準線的距離為2.（2）設，則中點為，由中點在拋物線上可得，化簡得，顯然，且對也有，所以是二次方程的兩不等實根，所以，.（3），由（1）可得，此時在半橢圓上，所以，所以，即的面積的最小值是.【點睛】本題考查了面積的最值問題，證明坐標關系，綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.16設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB【答案】(1)(2)見解析【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題解：（1）設切點，坐標分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標