光學信息技術原理及應用(第二版)課后答案

1、2) #2) 第一章習題解答1.1已知不變線性系統(tǒng)的輸入為g(x)=comb(x)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)AIf。若b取(1)b=0.5(2)b=1.5，求系統(tǒng)的輸出g(x)。并kb丿畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：(1)g(x冃備(x)=1圖形從略，(2)g(x)=F|5(fhb(flhb(f+l)=l+?cos(2nx)圖形從略。Ix3x3xJ31.2若限帶函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換在長度L為寬度W的矩形之外恒為零,1)如果問L，b!，|b|丄，還能得出以上結論嗎?LW 答：不能。因為這時Ff(x,y)rect仃fILW丿”f(x,y)rectCf,f)。xy1.3對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應

2、為h(x,y)=7sine(7x(y)試用頻域方法對下面每一個輸入f6,y),求其輸出g6,y)。(必要時，可取合理近似)ii()fG,y)=eos4兀xg(x,y)=F-iFf(x,y)Fh(x,y)=ii=F-iF7sin(7x)6(y)ffjk7丿=cos(4nx)rectrect丄175丿f(x,y)=H+cos(8nx)rect上3V75丿g(x,y)=F-i|li+cos(8nx)rectf75jjF7sin(7x)6(y)|=F-JCl+cos(8nx*75sinc(75f)5f)Tectfj|xyk7丿J+i6(f-46(f+4*75sinc(75f)6(f)j8x8x丿xy丿

3、*5sinc(75f去flect斗*F-i5sinc(75f)5f)=rectTj=F-i=F-i(6(x)rect(f)(7丿(4)f(x,ycomb(x)*(rect(2x)rect(2y)答：g(x,y)=F-1(Fcomb(x)*(rect(2x)rect(2y)F(7sin(7x)8(y)2(comb(f匕(f瓜sincxy4(f)sineyI2丿丿1(5(f,fLo.6376(f-l,fLo.6376(f+l,f)-0.2128(f-3,f4xyxyxyxy=F-i0.256(f,fh1598(f-1,fh1598(f+1,f)-0.0538(f-3,f)-0.0538f+3,f月

4、xyxyxyxyxy=0.25+0.318cos(2nx)-0.106cos(6nx)=F-irect=F-ixy1.4給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波17rx)(x、combrect_33(50丿gi(x)=*A(x)對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。(1)H(f)=rectI2丿(2)H(f)=rect一(4丿-rect答：圖解方法是在頻域里進行的，首先要計算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形3comb(3)卜FIrect(爲=comb(3f)*50sinc(50f)sinc2fG(f)=Fg,x)=F方括號內函數(shù)頻譜圖形為：50)h/f丿一丿red圖1.4（1）sinc2

5、f圖形為：圖1.4（2）因為sinc2f的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時sinc2f的最大值小于0.04%。故圖解G（f）頻譜結果為：G(f)圖1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖1.4（4）因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達式為：s(f)+0.6858(f+3)+s(f-3)*50sinc(50f)+0.17128(f+3)+8(f-3）其反變換，即輸出函數(shù)為：rect(50)1+1.37cos2兀-+0.342cos2兀-x33該函數(shù)為限制在1-25,25區(qū)間內，平均值為1周期為3,振幅

6、為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖1.4（5）此時，輸出函數(shù)僅剩下在L2,-1及1,2兩個區(qū)間內分量，盡管在這兩個區(qū)間內輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在-1,1的零值也是不能忽略的，由于sinc2（4）=0.043sinc2（5）=0.027TOC o 1-5 h z33可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：451x0.043cos2兀x+0.027cos2兀xrect（一）_330該函數(shù)依然限制在-2,2區(qū)間內，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.

7、6的另一個余弦函數(shù)的疊加。1.5若對二維函數(shù)h（x,y）=asinc2（ax）抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答：Fh（x,y）=F4sinc2（ax）La匚（f）X丄=丄;Y32B2ax也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于l/2a,在y方向抽樣間隔無限制。1.6若只能用axb表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即comb，XcombyIY丿(xrectreJIb丿試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復g(x,y)。答：因為axb表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對精確恢復g(x,y)也有貢獻，不可省略。1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線

8、脈沖”f(x,y)=5(x)，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應稱為線響應L(x)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(f,f)，證明：線響應的一維傅里葉變xy換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿f軸的截面分布H(f,0)。xx證明：fl(x)=F(y)*h(x,y)=5(f:H(f,f)=H(f,0)yxyx1.8如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間|f|B，fB之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)g(X,y)，輸出為g(X,y)。證明，存在一個由脈沖的方o形陣列構成的抽樣函數(shù)g(x,y)，它作為等效輸入，可產生相同的輸出g(x,y)，并請o確定go(x，y)。答：為了便于從頻率域分析，分別設：物的空間頻譜像的空間頻譜等效

9、物體的空間頻譜TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark599 A(f,f)=Fg(x,y)；0 xy0A(f,f)=Fg(x,y)；ixyiA(f,f)=Fg(x,y)；等效物體的像的空間頻譜A。(fx，f=Fg。(x，y0 xy0由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在|f|BJf|B之外恒為零，故可將其記為：H(f,f)rectxyI2Bxrrect丿k利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關系為A(f,f)H(f,f)rect0 xyxyk2Bxxrfrect2Bky二A(f，f)ixy在頻域中我們構造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預

10、期作為等效物的譜，辦法是把Ao(fx，f”)叫fxrect、安置在ff平面上成矩形格點分布的每xy丿個(2Bn,2Bm)點周圍，選擇矩形格點在f、f方向上的間隔分別為2B和2B,以免xyxyxy頻譜混疊，于是A(f,f)=A(f,f)rect0 xy0 xy=A0(fx，Prect1)區(qū)藝HfXn=gm=g2Bn,fxy2Bnrfrf1rf)x-recty-*combk2B丿2Bky丿4BBYk2B丿YxJcomb對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許A(f,f)的中央一0 xy個周期成份(n=m=0)通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即(f、f(fA(f,f)H(f,f)rec

11、trect10 xyxy12B丿X12By丿二A(f,f)ixy二A(f，f)ixy圖18用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對A。和A0的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為rectA0(fX)H(fX)XXXAi(fX)=A0(fX)H(fX)XAi(fX)=A0(fX)H(fX)X題1.8 3) 既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即U(x,y)二U(x,y)ii因此，只要求出A(f,f)的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即0XYU(x,y)=F-1A(f,f)00XY帶入(1)式，并利用卷積定理得到U(x,y)=F0TlA0(fXfreCt(f)(f、l

12、2B丿rect-Yl2B丿xFX-114BBXY(f、(fAcomb1l2Bcomb-Yl2BXY2)-1A0(fX,fY)rect2Brecty-l2BYxcomb(2Bx)comb(2By)XY上式也可以從抽樣定理來解釋。(fA(fAl2B丿rectYl2B丿A0(fX,fY)rect是一個限帶的頻譜函數(shù)，它所對應的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣11列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在x方向是十，在y方向是就得到等2B2BXY效物場U(x,y)0F-1IA0(fX,fY)reCt(fA(fAl2B丿rect-Yl2B丿=U(x,y)*4BBsinc(2Bx)sinc(2By)

13、0XYXY二4BBJfXYU(g,n)sinc2B(x-g)xsinc2B(y-q)dgdn；0Xygcomb(2Bx)comb(2By)XY丄區(qū)區(qū)訂x4BBIXYn=-gm=s、nm,y_2B2B丿XY4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到U(x,y)=U(g，耳)sinc2B(xg)xsinc2B(yq)dgdq0I0XY8n=gm=gnx,y2BX、m莎丿Y利用5函數(shù)性質（1.8）式，上式可寫為U(x,y)二0n=8m=8U(g，耳)sincn2Bg)xsincm2B耳)dgdq508、nmx,y2B2B丿XY這一點源的方形陣列構成的等效物場可以和真實物體U產生完全一樣的像U.0i本題

14、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立葉逆變換，求出等效物場的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學問題的基本分析方法。第二章習題解答2.1一列波長為九的單位振幅平面光波，波矢量k與x軸的夾角為450，與y軸夾角為600，試寫出其空間頻率及z=Z平面上的復振幅表達式。答:fx唱y=尋卩Cy,z.）=皿吟呦2彳會x+尋U(0,0,0)2.2尺寸為aXb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場的角譜。答：U(x,yLrectfka丿.(cosacosP.f，A,=absincak入入丿kfcosPsincbk入2.3波長為九的單

15、位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上,在孔徑平面上有一個足夠大的模板，其振幅透過率為t(x0.5fl+cos0k2nx/、03X丿，求緊靠孔徑透射場的角譜。答:：cosacosP=0.58fcosacosPfcosacosP+025k3X8卜伍丿+8k竽+211fcosa11fcosP入丿丿kfcosP12.4參看圖2.13，邊長為2a的正方形孔徑內再放置一個邊長為a的正方形掩模，其中心落在，耳)點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出g=H=0時，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。圖2.4題答：t(x0be蠱Vrect12a丿12a丿rect

16、xyF(,y)La2sinc(2af)sinc(2af)a2sinc(af)sinc(af)exp(j2naf+f00 xyU(x,y)=exp(jkz)expjC2+y2)xj入z亠(-xAl2z“y4a2sinc2asinc2aa2sinca入z丿(y(sincaJexpl-j2naI(x,yL11“iyA4a2sinc2asinc2aa2sinca入z丿xAAsincayA(一lexp-j2nal入z丿l(xy+2.5圖2-14所示的孔徑由兩個相同的矩形組成，它們的寬度為a，長度為b，中心相距為d。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。假

17、定b=4a及d=1.5a，畫出沿x和y方向上強度分布的截面圖。如果對其中一個矩形引入位相差兀，上述結果有何變化？3)3)ayb圖題2.5(1)答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個中心在(0,2)及(0，-d的矩形孔徑振幅透22射率之和：dxt(x,y)=rect(yo)rect(-02)+rect(yo)rect(00abadx+02)1)由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場U(x,y)=1000透射光場ddyy+X丿0 x丿00U(x,y)=U(x,y)t(x,y)=rect(o)rect(一2)+rect(o)rect(一2)(2)oooooooabab由夫瑯和費衍射方程，在夫

18、瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣U(x,y)，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式(頻率坐標f=二,f=二)，x人zy人z即U(x,y)=exp(jkz)expj(x2+y2)LZzJxFu(x,y)0015 Fu(x,y)=Fab利用傅立葉變換的相移定理，得到y(tǒng)=absinc(af)sinc(bf)xexp(一j兀fd)+exp(j兀fd)yx=2absinsiny）XC0S（筈）把它帶入（3）式，則有2zsinc(學)xcos()九z九zexp(jkz)expj(x2+y2)-x2absinc強度分布(2ab丫.sinc2sinc2cos2不難看出，這一強度分布是矩孔徑

19、衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調制的結果。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：(x)t(x,y)二rect-+rect00(dF002丿dY0-02丿d異uy一=+8x,y+4）它和（1）式本質上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式導出與上述同樣的結果。代入所給條件b=4a,d=1.5a/8a2).(ax-Isinc2-V九z丿V九z(4aysinc2V九zcos2(1.5兀ayv九z沿x軸此時丁0(af)xI(f,f)=8a2sinc2xy中心光強：I(0,0)=8a2n極小值位置為：f=(n=1,2,)xax方向上強度分布的截面圖示意如下：沿y軸:此時f=0，xI(f,

20、f)=8a2sinc(4af)2cos2C.5兀af)xyyy中心光強：I(0,0)=8a2(n=1,2,)n12n極小值位置：f=及f=一y4ay3ay方向上強度分布的截面圖示意如下:2） 2） 圖題2.5（3）rectrx、orectr厶、*5r、x,y77exp一j兀+5x,y+Va丿Vb丿V002丿V002丿t(x,y)=00=rectry、r)rect*5x,y一一V才丿V0o2丿rX)oVa丿exp-j兀x,y+V002丿=rectJy-drect|I2|expj兀+rect|十Irect由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場U0(x1,y1)=1透射光場,b=4a,d=

21、1.5a時U(X1,yi)=U0(X1,yi)t(X1,yi)車|exPrx)=rectrectVa丿rx)rect十rectVa丿dy+i2b=rectrrecty0.75a*7)eXPxa丿(recty+0.75ai4a丿 由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣U（x,y），它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標f=二,f=丨），x九zy九z即xFu(x,y)003）exp(jkz)expj(x2+y2)2z利用傅立葉變換的相移定理，得到(x)(y-0.75a)0rect0-ka丿k4a丿exp-jnl+Fb0,ab0。觀察平面與光柵相距z。當

22、z分別取下列TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark183 2d2zd2zd2各數(shù)值：(1)z=z=；(2)z=十=??；(3)z=卡=冇(式中z稱作t九2九42九T泰伯距離)時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產生的強度分布。答：根據(jù)式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復振幅分布為()xU%,y-a+bcos2n0 HYPERLINK l bookmark455 00d強度分布為角譜為Aff0 xya+bcos2兀exp(j2nCf+yfVd丿oxoy場xdyoog=a6ff12卜Vf-df丿+S(f+dfT2VVxdy丿Vxdy丿丿xy傳播距

23、離z后，根據(jù)式(2.40)得到角譜Af,f丄Af,f爲jkzdxyoxyxy()b(1A(1=a6ff+-8f-,fl+SIf+-,fdy丿Vdy丿丿丿y2VVexpjkzud&f(f)SxyxyllIepjkz!1-(dI2丿丿Vd丿ffI+(f+fxdy丿Vxdy利用二項式近似有j%-71仝expjkz；1(入丫1二exp(jkz)exp(jVd丿V2Vd丿丿Vd2丿故y:aSf,fL-8f丄,f+8f+2fdyllIIep丿丿nz入jdTJ(1)z=2d2ll丿丿丿.4nd22VV與Aff)僅相差一個常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產生的強度分布與單色平面波oxy垂直照明下剛剛透過余弦型振幅

24、光柵產生的強度分布完全相同。2)A(ff憶)=expxyAnd2aSffxyJsVf-d-,f”f+d,f2VVxdy丿YT丿丿丿對應復振幅分布為z)xx-d2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark209 Ux,yLa-bcos2n-a+bcos2n一dd因而觀察平面上產生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產生的強度分布。3)zd24- HYPERLINK l bookmark575 42九xy:aSZf,f2$Vf-d,f+S|f+dfexpxy對應復振幅分布為Ux,y-expzjkz)a一jbcos2nd強度分布為z)xIx,

25、y-a2+b2cos22nd2.13圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為a，光柵整體孔徑為邊長L的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為z的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大，a應如何選擇？LL圖2.16(題2.13)答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復振幅分布可表示為ArectUC,y=exp(jkxtga(nJ)rectI*1combCrect00其角譜為A(f,f1血(x+yf瓜dy0 xy000 x0y00g(tga(n-l)

26、x入丿.tga(n-1)、x入.tga(n-l)x入=asinca=asincainc(af)comb(af)5(fXt2sincLfsincLfxy*asincx丿丿x丿b(af)5(fhsincLfsincLfxycomx丿(f-m)5(f)*L2sincLfsincLf丿丿x丿yxy若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大，應選擇Q使得tga(n-1)_m入a因而有2.14設u(x)為矩形函數(shù)，試編寫程序求p=14,1/2,3/4時，其分數(shù)階傅里葉變換,并繪制出相應U(p)G的曲線。答：根據(jù)分數(shù)階傅里葉變換定義式(2.62)G)=Fg(x)=aexpJexp-gj(2*X2)-互g(x)dx2tg

27、asina以及式ap=2(2.79)兀即可編程計算p=14，1/2，34時的分數(shù)階傅里葉變換(此處略)。第三章習題解答3.1參看圖3.5，在推導相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)(3.35)式時，對于積分號前的相位因子試問exp0(x2+y2)00.kJ2d0(x2+y2ii-M2物平面上半徑多大時，相位因子exp(X2+y2)00相對于它在原點之值正好改變n弧度?設光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應h的第一個零點的半徑是多少?(3)由這些結果，設觀察是在透鏡光軸附近進行，那么a,入和d之間存在什么關系時可以棄去相位因子exp2d(X2+y2)00解:(1)由于原點的相位為零，于是與原點位相位

28、差為兀的條件是kkr2(x2+y2)=4=兀2d002d00(2)根據(jù)(3.1.5)式,相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點(X,y)00h(x0,y0；x，N2dd0i1JfP(x,y)expJgJ(xx)2+(yy)2pxdy九di0i0Ji1B九2dd0i.(r)czrcIa丿丿1aJ(2兀ap)九2ddp0i式中r二x2+y2，而/X-x、zy-y、F)2+()2ii1）在點擴散函數(shù)的第一個零點處，J（2兀ap）=0，此時應有2兀ap=3.83，即10.61a2）將（2）式代入（1）式，并注意觀察點在原點（x=y=0），于是得ii0.61九dr=

29、o0a3)（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處的場分布，必須是物面上所有點在像面上的點擴散函數(shù)對于原點的貢獻h（x,y;0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一個00零點以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點的貢獻，那么這個貢獻僅僅來自于物平面原點附近r0.61九d/a范圍內的小區(qū)域。當這個小區(qū)域內各點的相位因子00expjkr2/2d變化不大，就可認為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設小00區(qū)域內相位變化不大于幾分之一弧度（例如兀/16）就滿足以上要求，則兀kr2/2d，r22.44JXd（4）例如X=600nm，d=600nm，則光瞳半徑a1.46mm，顯然這一條件是極易滿0足的

30、。3.2一個余弦型振幅光柵，復振幅透過率為00+1cos2吋x20放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內，與z軸夾角為。透鏡焦距為f,孔徑為D。（1）求物體透射光場的頻譜；（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大。角等于多少？求此時像面強度分布；（3）若。采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與。=0時的截止頻率比較，結論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產生的場為Aexp（jkxsin0），為確定起0見設00，則物平面上的透射光場為00U(x,y)=Aexp(jkxsin0)t(x,y)000(一sin0、1“sin0、1“si

31、n0、j2兀x+只expj2兀x(f+)+只exp-j2兀x(f-)10九丿2oo九200九其頻譜為AG，耳)=F如o(Xo,yo)sin0、o+九丿sin0sin0、o+九丿由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿g軸整體平移了sin0/九距離。2）欲使像面有強度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率P=D/4九f，于是要求csin9D芍丄-f+泌JD_4九fo九4九f由此得1）sin94f4f9角的最大值為9max.(D二arcsin14f2）此時像面上的復振幅分布和強度分布為A(U(x,y)二一expj2kx11+旳(-j2兀x.fo)A21(X-”=T+cos2兀fx403）

32、照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得九f-o4f4f0maxD_2Xf3）9二0時，系統(tǒng)的截止頻率為P二D/4九f，因此光柵的最大頻率0max=p4）比較（3）和（4）式可知，當采用0=0傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提max高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。3.3光學傳遞函數(shù)在彳=f=0處都等于1,這是為什么？光學傳遞函數(shù)的值可能大xy于1嗎？如果光學系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像，這時的光學傳遞函數(shù)怎樣？1）在（3.4.5）式中，令h(x,y)=iih(x,y)1iih(x,y)dxdy1iiii為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫成h(x,

33、y)expj2兀(gx+ny)dxdyiiiiiigH（0,0）=1=ffh（x,y）dxdyiiiig即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認定物面上單位強度點源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點擴散函數(shù)的意義（2）不能大于1（3）對于理想成像，歸一化點擴散函數(shù)是5函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1,即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。 圖3.6題 3.4當非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)h(x,y)成點對稱時，則其光學傳遞函數(shù)是Iii實函數(shù)。解：由于h(x,y)是實函數(shù)并且是中心對稱的，即有h(x,y)二h*(x,y)，IiiIiiIiih(x,y)二h(-x,-y)，應用光學傳遞函數(shù)的定義式(3.4.5)易于證明

34、IiiIiiH點,n)二H*點，耳)，即H(g，耳)為實函數(shù)。3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為d，光波長為入，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)i的截止頻率近似為多大？解：用公式(3.4.15)來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊，這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為2a/九d，由于2a很小，所以系

35、統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。i3.6試用場的觀點證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖t(x,y)(x，y)00AV0設Y是透過率函數(shù)為t(x,y)的物平面，Y是與Y共軛的像平面，即有10021111+ddf0i式中f為透鏡的焦距，設透鏡無像差，成像過程分兩步進行：射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結果形成入射到透鏡上的光場U；l這個入射到透鏡上的光場經透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場U，這個場傳到像面上形成物體的像。l為了計算光場，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場為x2+y2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark306 exp(Jkrr)2丄2丄2dg/、/

36、.7x2+y2、/.7xx+yy、7,oJJt(x,y)exp(jkQo-)exp(jkoo)dxdyg HYPERLINK l bookmark310 認d002dd00ig00這里假定t(x,y)只在物體孔徑之內不為零，所以積分限變?yōu)橥羐，此積分可以看00 x2+y2成是函數(shù)t(x,y)exp(jk00)的傅立葉變換，記為F(f,f)，其中002dxy0fx二Fd在緊靠透鏡后表面處exp(Jk)U=.0F(/,/)exp(jkJ)1”d0 xy2f這個被透鏡孔徑所限制的場，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面丫2上的光場x2+y2exp(jk-4-)2dgidU，exp(jkjX

37、iigx2+y2)exp(jkxx+yyi+-)xyx2+y2、exp(jk*)2ijXix2+y2exp(jk)和F(f,f)0exp(jk)exp(伙)xyjX2f20isexp(jk蘭少)xyix2+y2exp(jk一-)2iX20ig1由題設口，+一0iF(f,f)expjkx+yly111xx+yy(+)exp(jka)xy2f0ii并且假定透鏡孔徑外的場等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫成無窮，于是上述積分為x2+y2exp(jk-)jj/、2 HYPERLINK l bookmark69 U(x,y)二iiiiX20iF(f,f)exp(jkxygxx+yyi)

38、xyiexp(jk三2+y2ifjF(XXi+yi)xyXXg,fxX,fyX,于是得 2 x2+y2exp(jki-)2dg HYPERLINK l bookmark290 U(x,y)二iUiiid/di0F(f,f)exp(j2n(xf+yf)dfdfxyxyxygdx2+y2屮exp(jk-i)t(x,yd2dii00)exp(jkx2+y2o02d0 x2+y201)t(x,y)2d八oV0dx2+y2=-f-exP(jki)exP(jkTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark219 d2dii再考慮到xo和二之間的關系得到/dd、t(x廠y)1d1dii

39、d即得到像平面上倒立的，放大于倍的像。do3.7試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴散函數(shù)為一矩形函數(shù)L(x)=rect()其傳遞函數(shù)為H(f)二2aaxnafx對于大氣擾動系統(tǒng)，設目標物為一細線，若沒有大氣擾動，則理想成像為一條細線。由于大氣擾動，使在爆光期間內細線的像作隨機晃動，按照概率理論，可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設晃動擺幅的均方根值為a，細線的線擴散函數(shù)為1x2L（X）二気eXP（盂）對上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(f)=exp(2t2a2f2)xx3.

40、8有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n頂角a很小，當一束傍軸平行光入射其上時，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉了一角度（n-1）a，試根據(jù)這一事實，導出光束的位相變換函數(shù)t。設入射平行光與Z軸成0角入射，按傍軸條件，。角很小，入射到光楔上的光場為U=Aexp(jkxsin0)Aexp(jkx3)通過光楔后的出射光場為U=Aexp(jkxsin0(n1股Aexp(jkx0(n1其中-(n-1)a表示偏轉是順時針方向，即向底邊偏轉，又根據(jù)出射光場，入射光場和光楔變換函數(shù)三者的關系U=tU有AexpjkxB(n-1=tAexp(jkx3)21于是有t=exp-jk(n一1。AvA九v九。設

41、光波波長第四章習題解答4.1若光波的波長寬度為A九，頻率寬度為Av，試證明:為廠=632.8nm，A九=2x10-8nm，試計算它的頻寬Av。若把光譜分布看成是矩形線型，那么相干長度l=?cay證明：Av=c=1.5x104赫，l=ct=20 x103(m)九2ccAv4.2設邁克爾遜干涉儀所用的光源為九=589.0nm，九=589.6nm的鈉雙線，每一譜12線的寬度為0.01nm。(1)試求光場的復自相干度的模。(2)當移動一臂時，可見到的條紋總數(shù)大約為多少？(3)可見度有幾個變化周期？每個周期有多少條紋？答：假設每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為128vrectfv-v1(8v光

42、場的復相干度為r(t)=j)exp(j2kvt)dv0=一sinc(6vt)exp(j2兀vt)1+exp(j2兀Avt)21式中Av=v2-v1，復相干度的模為 |r(t)=|sinc(6vt)|coskAvt|由于Av沁，故第一個因子是t的慢變化非周期函數(shù)，第二個因子是t的快變化周期函數(shù)。相干時間由第一個因子決定，它的第一個零點出現(xiàn)在t=1Sv的地方，t為相ccc九2九2干時間，故相干長度1=CT=沁-0ccSvS入S入可見到的條紋總數(shù)N=?=普=58930復相干度的模中第二個因子的變化周期t=1Av,故tAvA九6可見度的變化周期數(shù)n=孑=喬=臥=01=60N58930每個周期內的條紋數(shù)

43、=982n604.3假定氣體激光器以個等強度的縱模振蕩，其歸一化功率譜密度可表示為(/)=叫)S(y-v+nvn=_(-1)2式中，Av是縱模間隔，亍為中心頻率并假定N為奇數(shù)。(1)證明復自相干度的模為Avt)Avt)(2)若=3，且0t1Av,畫出lyG)與Avt的關系曲線。證明：(1)，復相干度Y(t)與歸一化功率譜密度即光源的光譜特性間具有下列關系:YG)=JsG?(v)e-j2兀vtV0將（4.3.1）式帶入得到-v+nAv)e-j2兀vtdvY(t)=丄卜(迓25(vN0n=-(N-1/21-(N-1)2e-j2兀vtej2兀nAvTNn=-(n-1)21e-j2兀vtN/(ej2冗

44、avt)+(憂2(e-j2冗Avt)In=0-1其中n=0(j2冗Avt1ej2兀Avt(N+1)/21ej2兀avt(N-1)2()1e-j2冗Avt(N+1)/2乙e-j2兀avt力=1e-j2兀avtn=0因而j2兀Avt(N+1)/2Y(t)=丄exp(-j2兀譏)expj2兀Avt(N-1)/2+expLj2兀Avt(N-1)/2一expN-expLj2兀Avt(N+1)/2/l2-exp(j2兀Avt)-exp(-j2兀Avt)1cos2兀Avt(N一1)/2一cos2兀Avt(N+1)/2ej2兀vt-N1一cos2兀Avt1-sin兀AvtNej2兀vt-Nsin兀Avt復相干

45、度的包絡則為y(T)=|y(T)=sin兀AvtNNsin兀Avt(2)，當N=3時,yQ=si仙AvT3sin兀Avt其Y-Avt曲線如圖1所示。4.4在衍射實驗中采用一個均勻非相干光源，波長550nm，緊靠光源之前放置一個直徑1mm的小圓孔，若希望對遠處直徑為1mm的圓孔產生近似相干的照明，求衍射孔徑到光源的最小距離。答：用做衍射實驗的相干度應當用上題中提到的沃爾夫用的閾值，由理想值1下降到0.88為最大容許偏離值，因而相干面積直徑與光源半徑之間滿足下列關系：0.16九zd=a則da0.16廠隔550 x103=5.68m即光源小孔與衍射小孔之間最小相距5.68m才能在衍射實驗中較好地滿足

46、相干照明的要求。4.5用邁克爾遜測星干涉儀測量距離地面1光年（約1016m）的一顆星的直徑.當反射鏡M與M之間距離調到6m時,干涉條紋消失若平均波長兀=550nm，求這顆星的直12徑。答：e=Da=D=1013km=l.12x106km。d6x1094.6在楊氏雙孔干涉實驗中（圖4.17）,用縫寬為a的準單色非相干縫光源照明，其均勻分布的輻射光強為10，中心波長兀=600nm.（1）寫出距照明狹縫z處的間距為d的雙孔Q和Q（不考慮孔的大?。┲g的復相干因子表達式。（2）若12a=0.1mm,z=1m,d=3mm，求觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度。（3）若z和d仍然取上述值，要求觀察屏上干涉條紋

47、的對比度為0.41,縫光源的寬度應為多少?（4）若縫光源用兩個相距為a的準單色點光源代替，如何表達Q和Q兩點之間的復相干因子？12 3 圖題4.6答：根據(jù)范西特-澤尼克定理，當光源本身線度以及觀察區(qū)域線度都比二者距離z小得多時，觀察區(qū)域上復相干因子正比于光源強度分布的歸一化傅里葉變換。本題的條件能exp(j)JfIrectf二e/-j0u(AAn)=*夠滿足這個要求。因而有+yAndxdy兀ziiJiiffIrectfdxdyoka丿-*exp(jv)frectfxp一jM-x|dxfexp|-j-yAn|dyka丿l入ziJil入ziJi*=rectkjdxexp(jw)si-*-*,.f氏

48、LfAn)sincapk入z丿k入z丿P(o)n=0(4.75)sinca-k入z丿當An=0當AnH0fE2+n2)-(;2+n2)=-(p2-p2)式中屮=2zVYYV2z2i而pi和p2分別為Q1和Q2兩點到光軸的距離。(2)當a=0.1mm,z=im,d=3mm，有U(3,0)=exp(j甲)sincaf=sinc0.i0.6x10-3xlxl03丿=0.637觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度為0.637。若z和d仍然取上述值，觀察屏上干涉條紋的對比度為0.41，縫光源的寬度應為0.667x0.6x10-3xixi03a=0.133mm若縫光源用兩個相距為a的準單色點光源代替，Q和Q兩點

49、之間的復相干因12子可以表達為兩個復指數(shù)函數(shù)之和，因而隨著Q和Q兩點之間的距離按照余弦12函數(shù)方式變化。4.7一準單色光源照明與其相距為z的平面上任意兩點P和P，試問在傍軸條件下這兩12點之間的復相干因子幅值為多大？圖題4.7解：首先建立如上圖的坐標系，光源位于&n坐標原點，&n與x-y兩平面間距為z,p1與P2兩點坐標分別為(xyj與(x2,y2)，并滿足如下近軸條件：做為準單色點光源，其光源可表示為IC,n)=0C,n)其中為狄拉克函數(shù)。直接利用范西特-澤尼克定理計算復相干系數(shù)如下:MP,P)12e-何JIg-802aI8(g“)expj(Ax+Ayq)疋dq九z=expIj令(X2+y2

50、-x2-y2)因為卩(P,P)=1，由點光源發(fā)出的準單色是完全相干的，或者說x-y面上的相干面積趨于無限大4.8在圖4-18所示的記錄全息圖的光路中，非相干光源的強度在直徑為b的圓孔內是均勻的。0=10。為使物體漫反射光與反射鏡的參考光在H面上的復相干因子|卩J不小于0.88，光源前所加的小孔的最大允許直徑是多少(九=600nm)？答：小孔的最大允許直徑b=0.32x0.32x0.6.=x10-3mm=1.1x10-3mm00.175S圖題4.8第五章習題解答5.1兩束夾角為6=450的平面波在記錄平面上產生干涉，已知光波波長為632.8nm,求對稱情況下(兩平面波的入射角相等)該平面上記錄的

51、全息光柵的空間頻率。答：已知：6=45o,入=632.8nm，根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關系式2dsin(6/2)=入其中d是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對于全息干板是對稱入射的，故記錄在干板上的全息光柵空間頻率為f=(1/d)=(1/入)2sin(6/2)=1209.5l/mm故全息光柵的空間頻率為1209.5l/mm。5.2如圖5.33所示，點光源A(0,-40,-150)和B(0,30,-100)發(fā)出的球面波在記錄平面上產生干涉：B圖5.33（5.2題圖）1）寫出兩個球面波在記錄平面上復振幅分布的表達式；答：設：點源A、B發(fā)出的球面波在記錄平面上的復振幅分布分別為UA和U

52、B,則有U=2exp(jkz)exp(jk/2z)kx-x)2+(y-y)2A2AAAAU=-bexp(jkz)exp(jk/2z)#x-x)2+(y-y)2B2BBBB其中:xA=xB=0,yA=-40,zA=-150,yB=30,zB=-100;aA、aB分別是球面波的振幅；k為波數(shù)。AB2）寫出干涉條紋強度分布的表達式；1=lUA+UBl2=UUA*+UBUB*+UA*Ub+UaUB*a2+a2+a-4B-十4+aBexp(-jkz+jkz)exp-(jk/2z)(x-x)2+(y-y)24ABAAA+(jk/2z)(x-x)2+(y-y)2BBBBexp(jkz-jkz)exp(jk/

53、2z)kx-x)2+(y-y)24ABAAA-(jk/2z)(x-x)2+(y-y)2BBB（3）設全息干板的尺寸為100 x100mm2，=632.8nm，求全息圖上最高和最低空間頻率；說明這對記錄介質的分辨率有何要求？解答：設全息干板對于坐標軸是對稱的，設點源A與點源B到達干板的光線的最大和最小夾角分別為e和e,A、B發(fā)出的到達干板兩個邊緣的光線maxmin 39 y0A0A0A=tg-1zA/(yA-50)，0B=tg-1zB/(yB-50)=0-0，maxAB=0-0minBA根據(jù)全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的最高空間頻率f=(2/X)sin(0/2)cosmaxmax最低空間頻率

54、f.=(2/九)sin(0./2)cosminmin其中a角表示全息干板相對于對稱記錄情況的偏離角，由幾何關系可知cosa=sin(0+0)/2，cosa=sin(0+0)/21AB2AB將數(shù)據(jù)代入公式得fmax=882l/mm，fmin=503l/mm故全息圖的空間頻率最高為882l/mm,最低為503l/mm,要求記錄介質的分辨率不得低于900l/mm。5.3請依據(jù)全息照相原理說明一個漫反射物體的菲涅耳全息圖。為什么不能用白光再現(xiàn)？試證明如圖5.7所記錄和再現(xiàn)的菲涅耳全息圖的線模糊和色模糊的表達式(5.26)和(5.28)；為什么全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像？碎片尺寸的大小對再現(xiàn)像質

55、量有哪些影響？由全息圖再現(xiàn)的三維立體像與普通立體電影看到的立體像有何本質區(qū)別？答：九（1）首先證明（5.26）式，當卩=1。人0即記錄光與再現(xiàn)光波長相同時，5.21)式變?yōu)椋?HYPERLINK l bookmark389 xxxxic+0r HYPERLINK l bookmark391 llllic0ry.ilic0r當再現(xiàn)光源沒有展寬，即AC0，一個點光源的像的展寬，AI（Ax,Ay）與參考光源的ii展寬AR（|Ax,Ay），成正比，即：（AI）ARiRllir同樣，當參考光源沒有展寬，再現(xiàn)光源的展寬AC（|AXc，|Ay）也與像的展寬成正比（AI）ACicllic參考光源與再現(xiàn)光源同時

56、存在微小展寬其最后結果展寬是兩者之和為：AI-（AI）+（AI）iiRic(ARACYIllrr此即式（5.26）。對于色模糊，由圖5.8可以看出：A九l-A6i色散角與波長成一定函數(shù)關系，由于波長范圍A九產生的色散角為:AOA九竺因而有AI,lA九入i該式即為書上（5.27）式，根據(jù)書上P132以后分析即可證明（5.28）式。（2）由于全息圖上每一點都記錄了物體上所有點發(fā)出的波的全部信息，故每一點都可以在再現(xiàn)光照射下再現(xiàn)出像的整體，因而全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像。不過對再現(xiàn)像有貢獻的點越多，像的亮度越高。每個點都在不同角度再現(xiàn)像，因而點越多，再現(xiàn)像的孔徑角也越大，像的分辨率越高，這就

57、是碎片大小對再現(xiàn)像質量的兩個方面影響。5.4用波長九0=632.8nm記錄的全息圖，然后用九=488.0nm的光波再現(xiàn)，試問:（1）若/=10cm，l=l=像距l(xiāng)=?ocri解：根據(jù)菲涅耳全息圖物像距關系式（5.21C），像距/由下式確定i原始像：1111T=廠+卩(廠廠)icor共軛像：1111=L1(-)Illlicor其中口=X/兀，將/=/=a代入得0cr原始像距為l=-L13cmiP共軛像距為l=-L-13cmiP（2）若lo=10cm，l=20cm，/C=，/=?；解：同理，原始像距為l=屮（土-+）-g26cmor共軛像距為/-26cm（3）第二種情況中，若/C改為/C=-50c

58、m，/=?； 解：同理,原始像距為l54cm共軛像距為l-17cm4）若再現(xiàn)波長與記錄波長相同，求以上三種情況像的放大率M=？解：當九=九0時口=1,由成像放大率公式（5.25）可知M=|1-$廠I-1rc上述三種情況的放大率分別為（1）M=1；（2）M=2；（3）M=3.35.5如圖5.34所示，用一束平面波R和會聚球面波A相干，記錄的全息圖稱為同軸全息透鏡（HL），通常將其焦距f定義為會聚球面波點源A的距離zA。z圖5.34（5.5題圖）（1）試依據(jù)菲涅耳全息圖的物像關系公式（5.21）（5.22），證明該全息透鏡的成像公式為11,卩ddfi0式中4為像距，d0為物距，f為焦距，卩=N九0

59、（九0為記錄波長，九為再現(xiàn)波長），等號右邊的正號表示正透鏡，負號表示它同時又具有負透鏡的功能。證明：根據(jù)菲涅耳全息圖的物像關系公式（5.21c）和（5.22c）有111士卩(-)lllcor根據(jù)題意，已知di=li，d0=lc，lr=00；焦距f是指當九=九0時平行光入射得到的會聚點的距離，即當1=0,卩=1時的像距,此時l=f（=zA）。ciiA根據(jù)公式可得丄=1=上=丄fillioo于是有f=+1o（=Za）1111JI、卩卩故：左邊=d-T=廠廠=士卩（廠廠）=廠=f=右邊i0icoro證明完畢。（2）若已知z.=20cm，九=632.8nm，物距為d=-10cm，物高為h=2mm，物A

60、00O波長為九=488.0nm，問：能得到幾個像？求出它們的位置和大小，并說明其虛、實和正、倒。解：由已經證明了的全息透鏡成像公式可得1=丄上ddfi0根據(jù)題意有f=zA=20cm，卩=九/九0=488.0nm/632.8nm，d0=-10cm，代入上式l-16.3cm原始像得d,=-72cm共軛像根據(jù)放大率公式（525）M=rzz1-0士0z卩zri-1由本題關系可知，上式中z0=lo=f=20cm，z=/=,z=l=d=-10cm，代入rrcc0上式得06原始像高h=Mh=1.20cm-1M=028共軛像高h=Mh=0.56cm故能得到兩個像，原始像位于-16.3cm處，正立虛像，像高1.