教師三項基本功

1、數(shù)學教師的“三項基本功”鄭毓信（2012，4）簡介1965年畢業(yè)于江蘇師范學院（現(xiàn)蘇州大學）數(shù)學系；曾在中學長期任教；現(xiàn)為南京大學哲學系教授、博士生導師。1992年起享受政府特殊津貼。主要研究領域：數(shù)學哲學；科學哲學；數(shù)學教育與科學教育。已出版著作28部，發(fā)表論文300多篇。背景課改十年的總結與反思：“立足專業(yè)成長，關注基本問題?！保?010）進一步的思考：一線教師如何實現(xiàn)自己的專業(yè)成長？一個相關的問題數(shù)學教師是否應當具有自己特殊的基本功？ 數(shù)學教師的三項基本功：（1）善于舉例； （2）善于提問；（3）善于比較與優(yōu)化。這方面的具體工作鄭毓信，“數(shù)學教師的三項基本功”，人民教育，2008年第18

2、、19、20期連載，并已被收入“人民教育創(chuàng)刊60周年系列叢書”。鄭毓信，數(shù)學教師的三項基本功，江蘇教育出版社，2011必要的提醒 面對任一新的主張或時髦潮流，我們都應冷靜地思考：什么是這一主張或口號的主要內涵？這一主張或口號能為我們提供什么新的啟示和教益，特別是，具有怎樣的現(xiàn)實意義？什么是其固有的局限性或可能的消極后果？基本認識“三項基本功”集中反映了數(shù)學與數(shù)學教學（教育）的特殊性?！叭椈竟Α辈粦焕斫獬蓡渭兊募寄埽磺∏∠喾?，只有聯(lián)系深層次的教學思想和教育思想我們才能真正理解它們的內涵和意義。我們并應聯(lián)系自己的個性特征創(chuàng)造性地對此加以應用。 一、“善于舉例”與數(shù)學教學從“什么是數(shù)學”談起？

3、一個基本論點：“數(shù)學：模式的科學”（mathematics：the science of patterns）數(shù)學所反映的不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質。 進一步的分析數(shù)學基本特性：抽象性。“善于舉例”的兩個具體涵義：（1）如何能為抽象的數(shù)學概念舉出適當?shù)膶嵗?？?）如何能夠幫助學生由具體實例抽象出相應的數(shù)學概念？學習心理學研究的相關結論“概念定義”與“概念意象”的必要區(qū)分。概念意象的多元性：它“由所有的相關實例、反例、事實和關系組成?！保ňS納與赫什科威茲，1980）（1）什么是“適當?shù)睦印?？標準之一：相對于學生的可接受性；標準之二：典型性，即是能為相

4、應的數(shù)學抽象提供必要的基礎。這方面的一個基本事實：舉例并非一件易事。例1 “范例教學法”（R. Davis)為了幫助學生掌握負數(shù)的概念，特別是有理數(shù)的運算（如4 - 10 = ?），教師采用了一個裝有豆子的口袋，再在桌上擺上一些豆子。教師先在口袋中裝入4 棵豆子，同時在黑板上記下“4”這樣一個數(shù)字；然后從口袋中拿出10棵豆子，這時黑板上就出現(xiàn)了“4 - 10”這樣一個算式。教師接著提問：（1） 現(xiàn)在口袋里的豆子與一開始相比是變多還是變少了？（2） 少了多少？ 相關的分析這些實物和動作對于學生來說都是十分熟悉的。好的“認知基礎”并應具有這樣的性質：它能“自動地”指明相關概念的基本性質或相關的運算

5、法則。這就是指，借助于這一實例學生可以順利地作出相應的發(fā)現(xiàn)。如學生在此顯然就可借助所說的實例順利地實行 4 - 10、5 8等運算，而無須依賴于對相應法則的機械記憶。例2 “植樹問題”的教學我們應當如何看待“植樹問題”的教學：這一問題所發(fā)揮的究竟是案例的作用、還是應當集中于“三種情況”的區(qū)分以及相關規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與應用？“模式的建構”比“三種情況”的區(qū)分”更加重要，這也就是指，我們在教學中應當更加關注如何能以“植樹問題”為背景抽象出普遍的數(shù)學模式：“分隔問題”。 （2）如何幫助學生由實例抽象出相應的數(shù)學概念？關鍵之一：去情境；一個辯證的關系：范例的作用與必要的抽象；相關理論：“變式理論”（“概念變

6、式”）。核心思想：如何通過適當?shù)淖兓瘞椭鷮W生掌握相關概念的本質?！案拍钭兪健钡闹饕獌热荩海?）“標準變式”與“非標準變式”： 教學中不應局限于平時經常用到的一些實例，而應有意識地引入一些“非標準變式”，從而就可防止學生將相關實例的一些非本質特性誤認為概念的本質特性。（2）“概念變式”與 “非概念變式”：“非概念變式”大致地就相當于“反例”，這也就是指，除去“正例”以外，我們在教學中還應給出若干“反例”，這樣通過對照就可幫助學生更好掌握概念的本質。例 “認識分數(shù)”引入：“分蛋糕”。教師并通過簡短討論引出了這樣一個結論：“將一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2?！眴栴}：如何以“變式理論”（概念變

7、式）為指導設計教學從而幫助學生較好掌握分數(shù)的本質？（1） 分割的對象顯然未必一定要是蛋糕，也可以是紙片或別的什么東西；對于分割對象的外形我們也不應作任何限制：它們既可以是圓形，也可是方形或任何其它形狀。（2）對分割方法也可作出一定變化。如就長方形紙片的分割而言，可以橫著折，也可以豎著折，還可鈄著折；另外，除去各個“正例”以外，我們也應引入一定的“反例”，如按照中位線分割的梯形等 （3）作為進一步的抽象，我們又應由1/2逐步擴展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。從而，如果仍然集中于“將一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2”這一論述，我們就可以說，除去分割的對象與方法以外，我們也應對“平均

8、分成兩份”中的“兩份”以及所說的“每份”作出適當變化。（4）這事實上也可被看成“非標準變式”的一個實例，即分配的對象也可以是2個蛋糕、3個蛋糕，而未必一定要是1個蛋糕容易看出，這一變化事實上也就意味著我們已經將分析的著眼點由“（平均）分配”這一實際活動轉移到了部分與整體之間的關系，后者并就意味著對于分數(shù)本質更為深入的認識。新的重要發(fā)展：由“變式理論”到“多元表征理論”傳統(tǒng)的研究：主要集中于如何能夠通過適當?shù)呐e例幫助學生較好掌握概念的本質（單一表征）。新的認識：更加強調概念內在表征（概念意象）的多元性，以及各方面的必要互補與思維的靈活性一些相關的提法布魯納（1964）的三種意象形式：動作的、圖像

9、的，和符號的；Lesh & Laudan（1983）的“五個維度”：實物操作，圖像，日常語言，符號語言、現(xiàn)實情景。 必要的概括教學中應當很好處理形式與非形式之間的關系。特別是，我們既應高度重視由實例向嚴格定義的必要過渡，同時又應適當?shù)摹暗问健?，并高度重視認識活動的復雜性（多元性）與整合性。一些具體的教學建議（1）視覺形象與符號表征的必要互補：當前應當加強的環(huán)節(jié)：“教師用手勢說明自己的表征；或者教師使用空間表征，比如代數(shù)學習中的箭頭說明自己的表征；教師并有意識地促使學生建構和運用表征；教師要求學生以手臂、手指或身體移動等展現(xiàn)表征的肌體運動；”（普雷斯梅杰，2006） （2）日常語言與數(shù)學語言

10、的必要互補教學中不應停留于嚴格的數(shù)學語言，而應注意應用日常語言對相關內容作出必要的解釋。這事實上也就是比喻與類比何以在數(shù)學教學中同樣具有廣泛應用的重要原因，教師并應要求學生用自己的語言說出對數(shù)學概念的理解，甚至是感受。關鍵：我們既應對學生的非正規(guī)解釋持接受與理解的態(tài)度，同時又應注意維護數(shù)學的正式意義。 例 正方形的認識教師：“什么是正方形？”學生：“方方正正就是正方形?！苯處煟骸笆裁词欠椒秸?？”學生：“就是四邊相等?！苯處熢诤诎迳袭嫵隽庑?，問：“這個圖形是否是正方形？”學生：“不是，因為它不正?！苯處熡衷诤诎迳袭嬕粋€矩形，問：“這是否正方形？”學生：“不是！因為這個圖形不方?！苯處煂W生回答

11、得正確的結論寫在黑板上，回答不正確的不寫，最后加以補充總結，抽象出正方形的定義。（3）操作性認識與結構性認識的必要互補當前應當加強的環(huán)節(jié)：活動的內化；由操作性認識向結構性認識的必要過渡。相關的論述：“對概念教學，課改以后更為強調概念的生成，這是正確的。但不能忽視對概念本身的分析，這可是基本功。”（陳永明，2008）更為一般的分析具體內涵：“為了理解一個概念，一般說，一是正反舉例；二是扣住定義的關鍵詞語；三是注意特殊情況；四是與有關概念進行比較，找出概念的區(qū)別和聯(lián)系?！?（陳永明，2008）更為一般的論述：概念的生成、分析與組織。數(shù)學活動的兩個基本形式（1）概念的生成、分析與組織；（2）問題的提

12、出與解決。舉例與“問題解決”“要求學習者解決問題時，必須通過提供相關案例向學習者提供他們不具備的經驗通過在學習環(huán)境中展示相關案例，向學習者提供了一系列的經驗和他們可能已經建構的與這些經驗有關的知識，以便與當前的問題進行對比。”（喬納森 ）相關的經驗“我提倡一題一課，一課多題一節(jié)數(shù)學課做一道題目，以一道題為例子講解、變化、延伸、拓展，通過師生互動、探討、嘗試、修正，最后真正學到的是很多題的知識?！保ɡ畛闪?，2010）更為一般的主張“雙基教學”的必要發(fā)展：基本技能，不應求全，而應求變；基礎知識，不應求全，而應求聯(lián)。例 回到“植樹問題”問題：教學中是否應當特別重視“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都

13、不種”這樣三種情況的區(qū)分，并要求學生牢牢地記住相應的計算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”），從而在面對新的類似問題時就能不假思索地直接應用？有益的思考就“植樹問題”而言，在現(xiàn)實中是否真的只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這樣三種情況？ 對于其它的可能情況我們又是否也應要求學生總結出相關類型，并牢牢記住相應的“規(guī)律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”）？ 插入：一個“反例”教學中的“病態(tài)現(xiàn)象”（施銀燕，小學教學，2011年第4期）：“小明踢球，從3時踢到5時，他踢了幾小時？”我的孩子有得3小時的，通過數(shù)數(shù)就能檢驗出是錯誤的，他們卻深信不疑：我們學過植樹問題，5-3+1=3

14、?！辈煌慕Y論所謂的“加一”、“減一”等法則都是針對具體情況作出的變化從而，在此所需要的就不是“規(guī)律的應用”；而是思維的靈活性，也即如何能夠通過基本模式的適當變化適應變化了的情況?；仡櫍夯痉▌t的學習，不應求全，而應求變！ 小結“善于舉例”的主要意義即是有利于真正實現(xiàn)“理解學習”。相關的研究不應局限于如何能夠針對具體的教學內容選擇出適當?shù)摹袄印?，而應更加重視如何很好地去處理?shù)學的形式方面與非形式方面之間的關系?；炯寄艿膶W習，不應求全，而應求變。二、“善于提問”與數(shù)學教學1. “問題”對于數(shù)學和數(shù)學教學的特殊重要性。（1）從數(shù)學的角度看：數(shù)學發(fā)展的基本模式：問題問題解決新的研究問題 。這就是

15、指，“問題”可以被看成數(shù)學研究活動的實際出發(fā)點。每個數(shù)學分支并都具有自己特殊的基本問題，相應的理論正是圍繞這些問題得到建立的。（2）從教學的角度看教學活動實現(xiàn)”雙中心”的關鍵。中國數(shù)學教學的一項優(yōu)秀傳統(tǒng)：“教師試圖獲得一種平衡，教學也就變得既以學生為中心又以教師為中心?！保?馬飛龍， “什么是好的教學？”，人民教育，2009年第8期） 國際上的相關研究“那些自詡為絕對真理的建議，無論認為教學應當完全以學生為中心，還是認為教學應當完全由教師主導，都得不到研究的支持，因此不應當遵循。采取何種教學方法應當根據(jù)具體情況來決定?！保绹鴶?shù)學咨詢委員會最終報告）進一步的思考在教學中如何才能真正做到既尊重學

16、生在學習活動中的主體作用，同時又能充分發(fā)揮教師的主導作用？一些相關的經驗“河南省濮陽市第四中學教學改革紀實” （人民教育，2009年第6期） ：“老師和學生都應以問題為中心進行雙向的互動，實現(xiàn)雙主體的雙互動?！薄斑|寧省調兵山市教育內涵發(fā)展紀實”，人民教育，2011年第20期）：“2003年教育局提出以問題為中心設計課堂教學， 經過8年摸索和實踐，形成教學模式，2011年正式命名為問題引導教學法?！保?）聚焦數(shù)學教學數(shù)學教學中調動學生好奇心、上進心的一個有效手段。教師在教學中應當善于提出既有一定挑戰(zhàn)性、同時又與學生的認知水平相適應的問題，從而就能很好調動學生的好奇心，積極地去進行學習，包括深入地

17、去進行思考。必要的提醒：對于“問題情境”的正確理解“問題情境”不應簡單地被等同于“生活情境”。一個有益的分析： 關于“情境設計” 與“啟發(fā)性導入”的比較。（張奠宙，2010）相關的論述中國的數(shù)學課堂中有許多獨特的導入方式，除了現(xiàn)實“情境呈現(xiàn)”之外，還包括“假想模似”、“懸念設置”、“故事陳述”、“舊課復習”、“提問誘導”、“習題評點”、“鋪墊搭橋”、“比較剖析”等手段。從學生的日常生活情境出發(fā)進行數(shù)學教學，只能是啟發(fā)性“導入”的一種加強和補充，不能取消或代替“導入”教學環(huán)節(jié)的設置。 “導入的價值和實行的辦法是要思考的問題”教學中的關鍵如何很好地去處理教學的“預設性”與“生成性”之間的關系，也即

18、如何能夠圍繞核心問題去進行教學，同時又能使之真正成為學生自己的問題，包括針對學生的具體情況作出必要的調整？例1 “異分母分數(shù)加減法”的教學（吳正憲） 教師出示了這樣3道題：1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 1/7=？請同學們試做。學生做完訂正后，老師又提了這樣幾個問題：問題1：這3道題同學們都把異分母轉化為同分母分數(shù)，轉化時要注意什么？問題2：轉化的目的是什么？問題3：通過計算，你認為異分母分數(shù)加減法的計算方法是什么？問題4：在計算時要注意什么問題？例2 “百分數(shù)的意義”的教學（黃愛華） 教學中教師首先要求學生自由地提出各種與百分數(shù)直接相關的問題；但與“放任自流”不同，

19、教師通過對學生提出的問題進行梳理歸納出了以下幾個問題：問題1：什么是百分數(shù)的意義？問題2：百分數(shù)有什么好處？問題3：在什么情況下用百分數(shù)？問題4：百分數(shù)與分數(shù)比較有什么不同？2. 聚焦數(shù)學思維現(xiàn)實分析：重視課堂提問是中國數(shù)學教學的又一重要特色。存在的問題：“問題”多而不精。方向：努力增強課堂提問的“啟發(fā)性”。例 韋達定理的教學兩種不同的提問方式和教學設計：（1）先列表讓學生填充，然后問：你認為根與系數(shù)有什么關系？（2）直接問：什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根與系數(shù)可能存在什么樣的關系？如何去作出發(fā)現(xiàn)？又應如何去證明？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2X2X -12 = 0X

20、2 6X +5 = 0X2 2X -35 = 0“啟發(fā)性”的基本涵義既有一定的啟示意義，即是有利于促進學生的發(fā)展；但又非對于學生的硬性規(guī)范，而是有一定的開放性或自由度，也即能給學生的獨立思考留下充分的空間。更為一般的論述“教師的工作是通過向學生問他們應當自己問自己的問題來對學習和問題解決進行指導。這是參與性的，不是指示性的；其基礎不是要尋找正確答案，而是針對專業(yè)的問題解決者當時會向自己提出的那些問題?！保ò屠寂c達菲）“像數(shù)學家那樣去提出問題、分析問題、解決問題”。核心思想：“善于提問”與“幫助學生學會數(shù)學地思維”。數(shù)學教育的重要生長點。什么是一堂好的數(shù)學課？應當超越知識的教學并努力實現(xiàn)數(shù)學教

21、育的“三維目標”。核心：用思維方法的分析帶動具體知識的教學，并通過思維方法的學習幫助學生逐步養(yǎng)成相關的“情感態(tài)度與價值觀”。數(shù)學教學的適當定位：智性教學。插入：教師的三個境界僅僅停留于知識的層面：教師匠；能夠體現(xiàn)數(shù)學的思維：智者；無形的文化熏陶：大師！“善于提問”與數(shù)學地思維（1）：聚焦“問題解決”波利亞的貢獻：波利亞：“問題解決”現(xiàn)代研究的主要奠基者。代表性著作：怎樣解題；數(shù)學的發(fā)現(xiàn)；數(shù)學與猜想。主要工作：“數(shù)學啟發(fā)法” （解題策略）的研究實質：“一些定型的問題和建議”。解題過程的四個步驟：（1）弄清問題；（2）擬定計劃；（3）實現(xiàn)計劃；（4）回顧。（1）“弄清問題”。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)

22、是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 例 “找次品問題”的教學問題：如果243個產品（螺絲釘）中有一個次品（較輕），用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？教學中的兩個關鍵：（1）如何幫助學生很好地理解題意？（2）特殊化方法的適當應用。 具體化（1）弄清條件。什么是天平的主要特點？對于所需檢驗的產品、特別是次品我們知道些什么？ （2）明確目標。什么是“至少稱幾次能保證將把它找出來”的準確涵義？ 教學建議第一，教學中不應停留于詞語的分析，而應通過實例使學生獲得切實的體驗。 第二，就所說的特例而言，我們并可首先圍繞日常生活中經

23、常會想到的一些問題去組織學生進行討論，如“如果運氣好的話，只要稱幾次就可以了？”“如果有幾種不同的稱法，這幾種方法中哪一種方法最好？”關鍵教學中必須超越日常生活過渡到數(shù)學思維，后者又不僅是指用數(shù)學語言去逐漸取代日常語言，包括由不精確的語言逐步過渡到精確的表述，更是指這樣一種思維方式：我們在此所關注的已不是現(xiàn)實中究竟會出現(xiàn)什么樣的情況，而是如何能夠基于各種可能性的綜合思考得出普遍性的結論。對于波利亞的“超越”背景：20世紀80年代的改革運動：“問題解決”實踐中的問題：為什么學了“數(shù)學啟發(fā)法”學生還是不會解題？認識的重要發(fā)展：除去“解題策略”以外，我們還應高度重視其它的一些環(huán)節(jié)，特別是，元認知的發(fā)

24、展，正確觀（信）念的養(yǎng)成。聚焦“元認知”：一項比較研究不成功的解題者往往采取“盲目干”的作法，即是不加思考地采取某一方法或解題途徑，或總是在各種可能的“解題途徑”之間徘徊，而對自己在干什么、特別是為什么要這樣干始終缺乏明確的認識；另外，在沿著某一解題途徑走下去時，又往往不能對自己目前的處境作出清醒的評估并由此而作出必要的調整，卻只是“一股勁地往前走”，直至最終陷入了僵局而一無所措?！昂玫慕忸}者”在采用某一方法或解題途徑前能對各種可能性進行仔細的考慮；在整個解題過程中也能始終作到“心中有數(shù)”，即清楚地知道自己在干什么和為什么要這樣干；他們并能對目前的處境作出清醒的自我評估，從而就能夠及時作出必要

25、的調整；即使出現(xiàn)了錯誤他們也不會輕易地拋棄已有的工作，而是力圖從中吸取有益的成分；最后，在成功地解決了問題以后，他們又能自覺地對所已進行的工作作出回顧，特別是深入地思考是否還存在更為有效的解題途徑 相應的教學措施元認知：對于自身所從事的認識活動的自我意識、自我評估與及時調整。元認知與“教師的適當提問”：什么？為什么？如何？更高的目標：幫助學生養(yǎng)成相應的提問習慣?！吧朴谔釂枴迸c數(shù)學地思維（2）：努力提高學生提出問題的能力 “問題解決”這一數(shù)學教育改革運動的又一重要啟示或教訓。關鍵：“取得解答，繼續(xù)前進?！焙诵模焊叨戎匾晫W生提出問題能力的培養(yǎng)。 從數(shù)學思維的角度看數(shù)學家們總是不滿足于某些具體結果或

26、結論的獲得，而是希望能夠獲得更為深入的理解，后者不僅直接導致了對于嚴格的邏輯證明的尋求，也促使數(shù)學家積極地去從事進一步的研究，如在這些看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統(tǒng)一的數(shù)學結構？等等；數(shù)學家們也總是希望能達到更大的簡單性和精致性，如是否存在更為簡單的證明？能否對相應的表述方式（包括符號等）作出改進？等等。 兩個基本認識（1）應當同樣重視學生解決問題能力與提出問題能力的提高。（2）正如“解題策略”的學習，學生提出問題能力的提高也有一個后天學習的過程，我們并應深入地去研究相應的“提問策略”?，F(xiàn)實中應當注意糾正的現(xiàn)象：（1）滿足于“簡單模仿”；（2）將“創(chuàng)

27、新”等同于“標新立異”。例 “提問與“從眾”（祝家林）相關信息：故事書每套12元，連環(huán)畫每套15元，科學書每套18元。原題：買5套故事書和2套連環(huán)畫，一共要付多少錢？解答：125+152=60+30=90（元）提問與“模仿”教師：誰還能再提一個問題？（1）買3套故事書和5套連環(huán)畫，一共要付多少錢？ （2）買4套故事書和3套連環(huán)畫，一共要付多少錢？（3）買2套故事書和6套連環(huán)畫，一共要付多少錢？關鍵教師在這方面應當發(fā)揮重要的指導作用，即如通過對于學生所提出的各種問題的及時評價作出必要的引導；另外，教師在教學中也應切實起到“身傳言教”的作用。加強自身學習的必要性。提出問題的具體策略一般化。 求變（

28、加大難度）。 反向思維（focus backward）例1 回到“找次品問題”原先的問題：如果243個螺絲釘中有一個次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？一般化：如果n個螺絲釘中有一個次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？求變（1） 如果事先只知道“次品重量不一樣”，而不是“次品較輕”，結果有什么不同？（2）如果事先知道有兩個次品，而不是只有一個次品較輕，結果有什么不同？例2 錢幣問題（反向思維）原題：試計算出3個5角的硬幣與4個1元的硬幣的總面值。 問題1：如何用5角的硬幣與1元的硬幣合成5元5角？問題2：能否完全用5角的硬幣合成5元5角？問題3：能否完全用1元的硬幣合成5元

29、5角？問題4：如果用5角與1元的硬幣合成5元5角，怎樣搭配可以使得所使用的硬幣的數(shù)目最少？不同的視角：“提出問題”與學會學習相應的提問策略：（1）為什么？（2）同與不同？（3）回頭看。小結“善于提問”的基本意義之一即是有利于學生學會數(shù)學地思維。這并直接關系到了教學中如何能夠很好地調動學生的學習積極性，真正實現(xiàn)教學活動的“雙中心”。 三、“善于優(yōu)化”與數(shù)學教學 1. “優(yōu)化”對于數(shù)學學習的特殊重要性。應有的思考：什么是學生數(shù)學思維發(fā)展過程的主要形式，是“同化”還是“順應”？有益的視角：語文教學反照下的數(shù)學教學“如果說語文教學是一種以情感帶動知識學習的情知教學，那么，數(shù)學教學就主要是以知貽情”，即

30、是希望通過數(shù)學學習“幫助學生養(yǎng)成一種新的精神；一種新的認識方式；一種新的追求；一種不同的美感；一種深層次的快樂：由智力滿足帶來的快樂；一種新的情感：超越世俗的平和；一種新的性格：善于獨立思考，不怕失敗，勇于堅持?！?相關的結論數(shù)學學習主要是一個文化繼承的過程，特別是，我們即應清楚地看到數(shù)學思維與相應的“情感、態(tài)度與價值”的后天獲得性。相關的理論分析數(shù)學發(fā)展的兩個不同方向：“水平方向”上的發(fā)展，與“垂直方向”上的發(fā)展?！皵?shù)學的學習不是一個連續(xù)過程，它必須重新組織、重新認識，有時甚至要與以前的知識和思考模式真正決裂?！?（M. Artique，2004）插入：一個值得思考的問題“學生主動探究”作為

31、一種教學方法是否有其一定的局限性或適用范圍？進一步的結論應當明確肯定“優(yōu)化”對于數(shù)學學習的特殊重要性，反對放任自流。具體涵義：（1）顯性層面：方法的改進；結論的推廣；更好的表述方法的引入；（2）隱性層面，觀念的更新，新的品格的養(yǎng)成；例 學生的“規(guī)律性錯誤”有理數(shù)乘除法教學中經?？梢钥吹降囊粋€現(xiàn)象：盡管兩個問題具有完全相同的數(shù)學結構，學生卻采用了不同的運算去進行求解：（1）某種奶酪的售價為每公斤28元，5公斤這樣的奶酪售價是多少？（2）某種奶酪的售價為每公斤27.5元，0.92公斤這樣的奶酪售價是多少？ 分析大多數(shù)學生正是通過先前的學習逐漸形成了關于乘除運算的一些觀念，特別是，由于學生在開始學習

32、乘除法時所接觸到的都是自然數(shù)，因此就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數(shù)變大，除法則總是使數(shù)變小?！?相關的結論這正是數(shù)學教學中所說的“優(yōu)化”的一個重要涵義：我們應當幫助學生及時糾正各種不恰當或錯誤的觀念，包括對知識與認知結構等作出必要的調整與發(fā)展。 2. 教學中如何實現(xiàn)“優(yōu)化”？關鍵：應使“優(yōu)化”成為學生的自覺行為，而不是外部的強制規(guī)范。一些特別重要的環(huán)節(jié)：（1）多元化；（2）比較；（3）反思。進一步的分析（1）多元化應當被看成優(yōu)化、特別是比較的必要前提。從而，我們在教學中就不應為了“多元化”而多元化，更不是越多越好！比較的主要功能：誘發(fā)反思與總結，從而就能自覺地實現(xiàn)優(yōu)化。 例1 “問題解決

33、”的教學（解題策略：畫圖）問題：動物車展，第一天賣了65輛車，第二天銷量增加了1/5，問：第二天賣了多少？教學重點：畫圖策略相關的思考為了促進學生間的積極互動，我們在課堂上是否應當充分展示各種不同的畫法，即是讓更多學生向其它學生展示自己的畫法，如直接畫65個小圈，畫5個圈去代表65輛車，等等？教學中的常態(tài)上來展示的學生越多，效果似乎就越差：大多數(shù)學生對于其它學生所采取的方法往往視而不見，根本不予關心，更不用說與自己的方法進行比較。 回顧：教學中的關鍵環(huán)節(jié)第一，加強比較；第二，通過比較誘發(fā)反思與總結，從而使得優(yōu)化真正成為學生的自覺行為。例2 “估算教學實錄”（吳正憲） 引入（1）：“青青和媽媽一

34、起到超市購物，一共買了五種商品，媽媽帶了200元錢，不知夠不夠？”。引入（2）：“曹沖稱象：六次稱石頭所得出的重量分別為328、346、307、377、398和352斤。大象大概重多少？”教學實錄（1）教師以實例為背景并通過實際估算和交流總結清楚地展示了估算方法的多樣性。幾種不同的估算方法：生1采取了所謂的“小估”、即是往小里估的方法3006=1800；生2采取了大估、也即往大里估的方法： 4006=2400：也有學生（生3）堅持認為精確計算要比估算好。 教學實錄（2）師：“我們繼續(xù)研究，精確值是2108千克。同學們，看著這個精確計算的結果，再看看同學們估的結果：2400，2100，2080，

35、1800此時此刻，你想對剛才自己的估算結果作一點評價或思考嗎？”生1：“我估的是1800。我覺得我估得太少了，那些數(shù)當中有一個是398，我把它估成300了，與實際結果差的就遠些了，現(xiàn)在我覺得應該估成400就更好了，我估少了。”師：“你很善于思考，其實你估的結果已經可以了，但是你還能在與他人的比較中發(fā)現(xiàn)問題，進行調整，老師為你這種精神而感動?！睅煟骸按蠊涝谀哪兀磕阋欢ㄓ筛卸l(fā)，說說看。”生：“我感覺我估大了。我把307這樣的數(shù)看成400了，估得有些遠了。如果縮小一點，可能就估得準一點。我很佩服湊調估，人家在估算中還能調整調整，這樣估比較接近準確值?！睅煟骸捌鋵嵞阋呀浐懿诲e了，你不僅主動地反思自己

36、結果離得遠了點，更讓我感動的是你還在反思中發(fā)自內心地去欣賞別人，發(fā)現(xiàn)同學們好的方法，這樣學習進步會更快。”師：“好了，同學們，你們做出了很好的自我評價。那么，用精算的那兩個同學你們算對了嗎？”生3：“我覺得這些數(shù)相加的確不是很好算，再說求大象的體重，沒有必要精算。我那樣一個數(shù)一個數(shù)的算太麻煩了，太慢了。這時用估算還是比我的方法好?！睅煟骸澳惆l(fā)現(xiàn)這里就問你大象大概重多少不需要精算，估算就得了唄，是吧？（生1點頭）感謝你！”從教學的角度看教師在必要時并可通過適當?shù)呐e例與提問促進學生的總結與反思。“三項基本功”的辯證關系：優(yōu)化是目標；適當?shù)呐e例與提問則是實現(xiàn)這一目標的有效手段。進一步的分析（2）背景

37、：時代所賦予教育的一個重要使命，即應努力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神（與實踐能力）。應有的認識：創(chuàng)新標新立異！核心：創(chuàng)新一定是一種“優(yōu)化”（創(chuàng)新的合理性）！當前的一個缺失兩種不同的思考方式：即興型的思考與長時間的思考。當前教學中的一個常見問題：集中于即興型思考能力的培養(yǎng)。應當培養(yǎng)學生的長時間思考。相關的論述“我認為思考問題的態(tài)度有兩種：一種是花費較短時間的即席思考型；一種是較長時間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。但是，現(xiàn)在的教育環(huán)境不是一個充分培養(yǎng)長期思考型的環(huán)境。沒有長期思考型訓練的人，是不會深刻地思考問題的。無論怎樣訓練即席型思考

38、，也不會掌握前面談過的智慧深度?！保◤V中平佑）進一步的分析（3）另一應當防止的傾向：強制的統(tǒng)一；恰恰相反，教學中應當允許一定的“路徑差”與“時間差”，同時又應堅持“優(yōu)化”這樣一個目標。一些相關的提法：“教師不要太聰明”；“道法自然”；“不著痕跡的引導”。教學工作藝術性的又一重要體現(xiàn)。（4）必要的提醒除去所已提及的各個方面，我們并應從更為廣泛的角度理解“優(yōu)化”的涵義?！罢Z言”的優(yōu)化：特別是，相對于由“非數(shù)學語言”向純粹的“數(shù)學語言”的過渡這一顯性涵義以外，我們還應看到詞語的擴展、功能的強化（更加精確、強大，以及由單純的交流過渡到論證的功能），直至語言基本性質的變化（“非個性化”、“客觀化”與“標準化”，歐內斯特語），等等。小結“優(yōu)化”正是數(shù)學學習的基本形式。我們并應聯(lián)系數(shù)學教育的基本目標更為深入地理解“優(yōu)化”的特殊重要性。我們在教學中并應努力使之成為學生的自覺行為，而并非外部的強制規(guī)范?？偨Y：數(shù)學教師的三項基本功：（1）善于舉例； （2）善于提問；（3）善于比較與優(yōu)化。注意三者的辯證關系，并能結合自己的個性特征創(chuàng)造性地加