彈性力學(xué)的半逆解法

1、第 頁(yè)彈性力學(xué)的半逆解法研究指導(dǎo)老師：劉平姓名：曹天閣班級(jí)：研13學(xué)號(hào)：M13746彈性力學(xué)的半逆解法研究姓名：曹天閣學(xué)號(hào)：M13746摘要:利用應(yīng)力平衡方程和相容方程的特點(diǎn)，根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件以應(yīng)力分量的函數(shù)表達(dá)式作為試函數(shù)求解彈性力學(xué)問題。這種方法簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。本文推薦用剪應(yīng)力函數(shù)求解問題較為容易。關(guān)鍵詞:彈性力學(xué);解析法;應(yīng)力函數(shù)THESEMI-REVERSEMETHODTOSOLVEPROBLEMSOFTHEELASTICITYAbstract:Stresscomponentfunctionsareusedtosolvetheproblemsofelasticitybasedon

2、theequilibriumequationsandstresscompatibleequationaccordingtoboundaryconditions。Shearstressfunctionisrecom2mendedtosolvetheelasticityproblems。Keywords:elasticity;analysismethod;stressfunction半逆解法是圣維南于1856年提出來(lái)的，它是求解彈性力學(xué)問題十分重要的方法，在彈性力學(xué)中占有極重要的地位。半逆解法通常根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件以及結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)湊合出某應(yīng)力分量的待定函數(shù)式，再根據(jù)假設(shè)的該應(yīng)力分量函數(shù)式通過

3、積分求出應(yīng)力函數(shù)從而求得各應(yīng)力分量1。這種方法較為有效，但通過解平衡方程求應(yīng)力函數(shù)時(shí)要做消元運(yùn)算，升高了微分方程的階數(shù)，以至于運(yùn)算過于復(fù)雜，很有改進(jìn)的必要。實(shí)際上，按應(yīng)力求解時(shí)只要各應(yīng)力分量滿足平衡方程、應(yīng)力相容方程和邊界條件，則是問題的解?？梢钥闯?，在不考慮體積力的情況下各應(yīng)力分量均取為常量是可以滿足所有方程的。為此，我們可以在假設(shè)某一應(yīng)力分量，利用平衡方程求出其余的應(yīng)力分量后再代入相容方程求解。這樣，由于未經(jīng)過消元運(yùn)算，所以方程的階數(shù)較低，可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。如果所設(shè)函數(shù)不是問題的解，還可以通過放松邊界條件，進(jìn)而求出一組近似解2。由平衡方程可以看出，通過假設(shè)剪應(yīng)力函數(shù)而用平衡方程求出其余應(yīng)力

4、分量較方便。11,gT!-i1*F圖1受均布載荷的簡(jiǎn)支梁(1)第 頁(yè)1用應(yīng)力分量函數(shù)求解彈性力學(xué)問題的實(shí)例1.1受均布載荷的簡(jiǎn)支梁y平面問題的平衡方程與相容方程是xy+dxTOC o 1-5 h z8tdoV2(0+o)二0 xy把(1)式的前兩式分別對(duì)y與x求偏導(dǎo)并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到(2)V4T=0 xy由式可以看出：函數(shù)的指數(shù)一般不超過3次，可以用三次多項(xiàng)式求解，也可以直接利用材料力學(xué)結(jié)果求解代入方程(1)的前兩式積分后可以得出6qx2yh32qy33qx2h+g(x)(3)(5)把(3)式代入方程(1)的第三式可求出f(y)一4qy3+Ay2+D+Eg(x)二-Ax2+

5、Bx+C利用邊界條件y=-h/2時(shí)，Oy=-q;y=h/2時(shí)，得到A=B=0，Cq/2;利用端部L截面合及合力矩條件Jh2Qd=0,J2oydJ-h2xy-h2xh2Ty-hxy-2dy=-ql,得到H二6qLh33q_5h，K=0。受均布載荷的簡(jiǎn)支梁應(yīng)力解為o=空(L2-x2)+竺(也-3)xh3hh25第 頁(yè)(6)a=-q(Z+1)(空-1)2y2hh6qx加2、p二一(-y2)xyh341.2半無(wú)限平面受法向集中力的弗拉芒解3圖2半無(wú)限平面受集中力對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于梁高度的地基梁，可簡(jiǎn)化為集中力用作用半無(wú)限平面上的平面應(yīng)變問題(見圖2)。利用極坐標(biāo)求解，極坐標(biāo)下的平面問題平衡方程與相容方程是

6、do機(jī)a-aTOC o 1-5 h z嚴(yán)+恥+p膽=0 HYPERLINK l bookmark39 dpdpp HYPERLINK l bookmark41 dTda2(7)(8)pk+d+乩二0 HYPERLINK l bookmark45 dppdp考察主應(yīng)力坐標(biāo)系下的拉梅-麥克斯韋爾方程3daa-a小 HYPERLINK l bookmark49 1+12=0dsp12daa-a八2+12=0dsp21式中，s，s分別為主應(yīng)力坐標(biāo)系下a，a方向的曲線坐標(biāo);p，p分別為主應(yīng)力坐121212標(biāo)系下曲線坐標(biāo)的曲率半徑。根據(jù)邊界條件和對(duì)稱性知道s為直線束，而s為圓弧。所以必有T二0，利用12p

7、p兀式積分得到a二f(p)。根據(jù)邊界條件可知，當(dāng)0=，a二f(p)二0。把這一結(jié)果2代入平衡方程的另一式，則有dop4+q二0dpp解得o二型，再帶入相容方程PP(10)pdp+p2d2JOP_0，得至方程(10)的解是F(0)二Acos0+Bsin，所以(11)_(Acos+Bsin利用分布在半徑為p的半圓上op的合力為F的條件，可得到（11）式中的代定常數(shù)A_丄,B_0。由此得出，弗拉芒解為2兀Fcos02兀p，O0_0,Tp(12)1.3薄板柱面彎曲的近似解一個(gè)對(duì)邊簡(jiǎn)支，長(zhǎng)為b，寬為a（ab）,厚度為t的薄板受集度為q的均布載荷作用（見圖3）,下面給出近似解?？臻g問題不計(jì)體積力的平衡方程

8、和相容方程為(13)V4T=0,V4T=0,V4t=0 xyyzzx由于把y向的長(zhǎng)度b視為無(wú)限長(zhǎng)的柱面彎曲，則該問題簡(jiǎn)化成兩維問題，所有應(yīng)力分量均不含自變量y。顯然各應(yīng)力分量均取為常量是可以滿足所有方程的，或者各分量增加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，它們?nèi)阅軡M足所有方程。為此，可以參考材料力學(xué)中梁的解，取二0，y1zzb=2q(云-)2(1+_)，T=0，T=0。原方程組為z2ttxyyz(13)Txz=-2qx把所取的應(yīng)力分量分別代入(13)式中的各方程，可以求(14)1z2=-3qx石+匸)+xf(z)+F(z)把(14)式代入相容方程(22+2q、x2z2丿13z+44t(1、1z3一3qx2+丿V4t13丿xf(z)+F(z)二0解之可得到問題的解=-2q(1-12t丿(1+7)，T=Txyyz(15)這個(gè)結(jié)果對(duì)相對(duì)兩邊受約束的狹長(zhǎng)板來(lái)說(shuō)也有相當(dāng)滿意的精度，而且與一般求解板的位移法相比其求解過程大大簡(jiǎn)化了。2結(jié)論通過以上實(shí)例可以看出，直接按應(yīng)力的平衡方程及相容方程通過用應(yīng)力分量函數(shù)的方法求解彈性力學(xué)問題可以大大簡(jiǎn)化求結(jié)果程。由材料力學(xué)中儒拉夫公式的推導(dǎo)過程及彈性力學(xué)理論分析的結(jié)果知道，彈性體內(nèi)的剪應(yīng)力對(duì)邊界條件敏感性較差，借用材料力學(xué)的剪應(yīng)力函數(shù)求解往往能得出較為滿意的結(jié)果。認(rèn)真分析彈性體內(nèi)各應(yīng)力分量的分布特