2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專(zhuān)題第2講《等差、等比數(shù)列的證明》（解析版）

1、第2講 等差、等比數(shù)列的證明參考答案與試題解析一解答題（共22小題）1（2021江蘇月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）若為等差數(shù)列，求【解答】解：（1）證明：，其中為常數(shù)，相減可得：，可得：；（2）若為等差數(shù)列，由（1）可得：公差由，令，則：，解得：2（2021鼓樓區(qū)期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（1）求的值；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解答】（1）解：，且，解得（2）證明：由，變形為：，為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為（3）解：由（2）可得：，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，3已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列【解答】證明：各項(xiàng)均為

2、正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列4（2021春遂寧期末）已知數(shù)列中，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和【解答】證明：（1），（2分）又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列（4分）解：（2）數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，；（6分）（3）（7分）（8分）（9分）（10分）（11分）（12分）5數(shù)列滿足，（1）設(shè)，證明等差數(shù)列；（2）通項(xiàng)公式；（3）求的前項(xiàng)和【解答】（1）證明：由，得，即，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；（2）解：由（1）得，則，累加得：，已知時(shí)上式成立，；（3）解：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，6（202

3、1長(zhǎng)春月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】（）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，則，所以，有，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列（6分）（）解：由（）知，故，得，所以（12分）7（2021春沈陽(yáng)期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為3的等差數(shù)列，設(shè)（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，即，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（2）解：由（1）可得，因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1、公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，所以，兩式相減可得，所以（3）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，

4、當(dāng)時(shí)，所以，所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，又對(duì)一切正整數(shù)恒成立，所以，即，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，8（2021浙江開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且對(duì)一切均有（）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【解答】解：（）證明：對(duì)一切均有，即有，又，所以，即，所以時(shí)，得，所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，即，所以一切，；（）由，所以，先證明，對(duì)一切，令，則當(dāng)時(shí)，即在，上單調(diào)遞減，故，所以，9（2021全國(guó)卷月考）已知數(shù)列中，且滿足，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的的最小值【解答】（1）證明：因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的

5、等差數(shù)列，所以（2）因?yàn)椋?，解得，所以滿足的的最小值為1010（2021武功縣開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，由，得，兩式相減得，所以，且當(dāng)時(shí)，解得滿足上式，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，所以，所以11（2021靖遠(yuǎn)縣開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】證明：（1）數(shù)列滿足即：，整理得：（常數(shù)），故：數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：，整理得，故，所以12（2021閔行區(qū)期末）已知數(shù)列與滿足為

6、非零常數(shù)），（1）若是等差數(shù)列，求證：數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前2021項(xiàng)和；（3）設(shè)，若對(duì)中的任意兩項(xiàng)、，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，即，可得，數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）由，可得，是周期為4的數(shù)列；，可得也是周期為4的數(shù)列；，那么（3）設(shè)，可得，是為為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，那么可得由當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可知是單調(diào)遞增，那么，由當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可知是單調(diào)遞減，那么；，可得，可得中的最大值，最小值為對(duì)中的任意兩項(xiàng)、，都成立，即，解得：故得實(shí)數(shù)的取值范圍是，13（2021河南月考）數(shù)列滿足，（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求和：【解答】證明：（1）

7、數(shù)列滿足，故（常數(shù)），故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由于，整理得：，所以，故，所以14（2021春鐘祥市校級(jí)期末）已知，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，其中，2，3，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明【解答】解：（1）證明：由已知，是公比為2的等比數(shù)列解：（2）由（1）知，證明：（3）點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，又15（2021惠城區(qū)模擬）設(shè)，都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（1）試問(wèn)是否成等差數(shù)列？為什么？（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，得，（2分）（1），由得，從而當(dāng)時(shí)，代入式得，（4分）即，

8、故是等差數(shù)列（6分）（2）由，及式，式，易得， （8分）因此的公差，從而，得，即（10分）又也適合式，得，從而（14分）16（2021長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對(duì)任意正整數(shù)，都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，（）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，如果對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（）由已知，得，由得將代入得，對(duì)任意，有即是等差數(shù)列（4分）（）設(shè)數(shù)列的公差為，由，經(jīng)計(jì)算，得，（9分）（）由（1）得不等式化為即設(shè)，則對(duì)任意正整數(shù)恒成立當(dāng)，即時(shí)，不滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，關(guān)于遞減，因此，只需（1）解得，綜上，（14分）1

9、7（2021春徐匯區(qū)期末）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且記，2，3，（）求，；（）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的判斷【解答】解：（），（6分）（）由（）可得，猜想：是公比為的等比數(shù)列證明如下：因?yàn)?，又，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（12分）18（2021秋瑞安市校級(jí)期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，2，3，其中、為常數(shù)（1）求與的值（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列【解答】解：（1）由已知得，（2）證明：由（1）知所以得所以得因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，即，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列19（2021莊河市校級(jí)期中）數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，2，3，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】（1）證明：因?yàn)?/p>

10、，又，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以，所以20（2021安徽）設(shè)數(shù)列，中的每一項(xiàng)都不為0證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有【解答】證明：先證必要性設(shè)數(shù)列的公差為，若，則所述等式顯然成立若，則再證充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)所述的等式對(duì)一切都成立，首先在等式兩端同時(shí)乘，即得，所以，成等差數(shù)列，記公差為，則假設(shè)，則有：，將代入得，在該式兩端同時(shí)乘，得，把代入后，整理得由數(shù)學(xué)歸納法原理知對(duì)任何，都有所以，是公差為的等差數(shù)列21（2021春徐州期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為常數(shù)，已知對(duì)，當(dāng)，總有成立（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）探究：命題：“對(duì)，當(dāng)時(shí)，總有”是命題：“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）若正整數(shù)，成等差數(shù)列，比較與的大小，并說(shuō)明理由【解答】證明：（1）對(duì)，當(dāng)，總有成立，取，則，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為解：（2）命題是命題的充要條件由（1）可知：對(duì)，當(dāng)，總有成立，是數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件下面證明：數(shù)列是等差數(shù)列，必有：對(duì)，當(dāng)，總有成立對(duì)，當(dāng)，即對(duì)，當(dāng)，總有成立綜上可得：對(duì)，當(dāng)，總有成立，是數(shù)列是等差