黃金分割專項練習

1、黃金分割專項練習 ABC.定義：如圖1,點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,則稱點C為線段AB的黃金分割點.如圖 2, 中，AB=AC=1 , / A=36 , BD 平分/ ABC 交 AC 于點 D .(1)求證：點D是線段AC的黃金分割點;(2)求出線段AD的長.如圖，用長為 40cm的細鐵絲圍成一個矩形 ABCD (ABAD).1c40cmAB(1)若這個矩形的面積等于 99cm2,求AB的長度；(2)這個矩形的面積可能等于 101cm2嗎？若能，求出 AB的長度，若不能，說明理由；(3)若這個矩形為黃金矩形(AD與AB之比等于黃金比 返二1),求該矩形的面積.(結(jié)果保留根號)

2、29.在數(shù)學上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形,如在矩形ABCD中，當時,稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD .請你證明黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成.DC10.如圖，設 AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中點E,連接EB;延長DA至F,使EF=EB ; 以線段AF為邊作正方形 AFGH ,則點H是AB的黃金分割點.為什么說上述的方法作出的點H是這條線段的黃金分割點，你能說出其中的道理嗎？請試一試，說一說.12.已知AB=2，點C是AB的黃金分割線，點 D在AB上，且AD2=BD?AB,求興的值.五角星是我們常見的圖形，如圖所示，其中，點C, D分別

3、是線段AB的黃金分割點，AB=20cm ,求EC+CD的長.0.618時，是比較好看的黃.人的肚臍是人的身高的黃金分割點，一般來講，當肚臍到腳底的長度與身高的比為金身段.一個身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長度為多少時才是黃金身段（保留兩位小數(shù)）？.如圖，點P是線段AB的黃金分割點，且 APBP,設以AP為邊長的正方形面積為 S1,以PB為寬和以AB為 長的矩形面積為 S2，試比較&與S2的大小.,y ,., 一,人rJr - 1.如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長線上的一點，且 D為AE的黃金分割點，即AD=一通BE交DC于點F,已知AB=V5 + 1,求CF的長.AP RP

4、20.（如圖1）,點P將線段AB分成一條較小線段 AP和一條較大線段 BP,如果常嗑，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設 J=k,則k就是黃金比，并且 k-0.618.BP AB口A p圖e圖a圖3（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰4APB （如圖2）,等腰4APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為:滿足-0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義:（2）如圖1,設AB=1，請你說明為什么 k約為0.618;（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為 S1和面積為S2的兩部分（設S1V

5、S2）,如果二上，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.（如圖 s2 S3）,點P是線段AB的黃金分割點，那么直線 CP是4ABC的黃金分割線嗎？請說明理由;（4）圖3中的 ABC的黃金分割線有幾條？21.在人體軀干（腳底到肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618,越給人以美感.張女士原來腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60,她的身高為1.60m,她應該選擇多高的高跟鞋穿上看起來更美？（精確到十分位）23.如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片 ABCD ,先折出BC的中點E,再折出線段AE ,然后通過折疊 使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B；因而EB=

6、EB.類似地，在 AB上折出點B使AB =AB 這時B 就是AB的黃金分割點.請你證明這個結(jié)論.25.如圖，在 4ABC 中，點 D 在邊 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知/ ACE=108, BC=2 .（1）求/ B的度數(shù)；（2）我們把有一個內(nèi)角等于 36。的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比運二2寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由;求AD的長; 在直線AB或BC上是否存在點P （點A、B除外），使4PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點巳 簡 要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由.A.折紙與證明 用紙折出黃

7、金分割點：第一步：如圖（1）,先將一張正方形紙片 ABCD對折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的對角線BF.第二步：如圖（2）,將AB邊折到BF上，得到折痕 BG,試說明點G為線段AD的黃金分割點（AGGD）AD.三角形中，頂角等于 36的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖 1,在4ABC中，已知：AB=AC ,且/ A=36 .(1)在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D,并連接BD (保留作圖痕跡，不寫作法)；(2) ABCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；(3)設至二上試求k的值；AC(4)如圖2,在AAiBlCl中，已知AiBl=AlCl, /A

8、i=108,且A1B1=AB ,請直接寫出 , 一 的值.30.如圖1,點C將線段AB分成兩部分，如果壬卑，那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行 Ad AC課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為上 E S 1 S n八、S1, S2,如果 w二,那么稱直線D 3 l為該圖形的黃金分割線.(1)研究小組猜想：在 4ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖 2),則直線CD是 ABC的黃金分割 線.你認為對嗎？為什么？(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3)研究

9、小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交 AB于點巳再過點D作直線DF / CE,交AC于點F,連接EF (如圖3),則直線EF也是4ABC的黃金分割線.請你說明理由.(4)如圖4,點E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點 E作EF/ AD ,交DC于點F,顯然直線EF 是平行四邊形 ABCD的黃金分割線.請你畫一條平行四邊形 ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形 ABCD 各邊黃金分割點.黃金分割專項練習30題參考答案：1. (1)證明：: AB=AC=1 ,.Z ABC= ZC=1 (180 - Z A) =1 (180 - 36 ) =72 ,22 BD平分/ AB

10、C交AC于點D,.Z ABD= Z CBD= 1Z ABC=36 ,2./ BDC=180 - 36 - 72 =72 ,DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 ABDCs ABC ,BC: AC=CD : BC,即 BC =CD?AC , 2AD =CD?AC ,.點D是線段AC的黃金分割點；(2)設 AD=x ,貝U CD=AC - AD=1 - x, 2-AD =CD ?AC,2) Vs - Vs -12即AD的長為在二122 .解：(1)設 AB=xcm ,貝U AD= 根據(jù)題意得x (20-x) =99, 整理得 x2- 20 x+99=0 ,解得 xi=9, 當 x

11、=9 時，20 - x=11 ;當 x=11 時,x =1 - X, 解彳導 X1=-, X2= ,(20 - x) cm,X2=11,20- 11=9,2而 AB AD,所以x=11 ,即AB的長為11cm；(2)不能.理由如下：設 AB=xcm ,貝U AD= (20 - x) cm,根據(jù)題意得x (20-x) =101 , 2整理得 x - 20 x+101=0 ,因為uZOZ 4X101= - 4V0,所以方程沒有實數(shù)解，所以這個矩形的面積可能等于101cm2;(3)設 AB=xcm ,貝U AD= (20 - x) cm, a/r - 1根據(jù)題意得 根-x=V? x,2解得x=10

12、(遍- 1),則 20-x=10 (3 - V5),所以矩形的面積=10 (V5- D ?10 (3-V5) = (400點- 800) cm2.3.解：(1) / A=36 , AB=AC ,Z ABC= Z ACB=72 ,BD 平分/ ABC ,Z CBD= Z ABD=36 , Z BDC=72 ,AD=BD , BC=BD ,ABCA BDC ,BD CD 0n AT CDAB-BC， AC-ad52AD =AC ?CD .點D是線段AC的黃金分割點.(2)二點D是線段AC的黃金分割點，Vr -1 入AD=AC ,2 AC=2 ,AD=14.解：(1)腰與底之比為黃金比為黃金比如圖,

13、(2)作法：畫線段AB作為三角形底邊；取AB的一半作 AB的垂線 AC,連接BC ,在BC上取CD=CA .分別以A點和B點為圓心、以BD為半徑劃弧，交點為 E;分別連接EA、EB,則4ABE即是所求的三角形.(3)證明：設 AB=2 ,貝U AC=1 , BC=V5, AE=BE=BD=BC CD=n一1,AE.Vs-1 -.AB 2B5.解：(1)由于P為線段AB=2的黃金分割點,貝u AP=2 延工 1 = 4 -1,或 AP=2 - ( VS- 1) =3 - V5；(2)如圖，點P是線段AB的一個黃金分割點.AP B6.解：(1)設 AC=x ,則 BC=AB - AC=1 x, a

14、c2=bc?ab ,X2=1 x (1 - x),整理得x2+x- 1=0,解得 X1=2 1 , x2=(舍去)，所以線段AC的長度為(2)設線段AD的長度為x, AC=l ,ad2=cd?ac , -x2=i x(l - x),T+爬一 1 一旗人，X1=2-，x2= (舍去)，線段AD的長度返二IaC ;2(3)同理得到線段 AE的長度返二IaD ;2上面各題的結(jié)果反映： 若線段AB分成兩條線段 AC和BC (AC BC),且使AC是AB和BC的比例中項(即AB :AC=AC : BC),則C點為AB的黃金分割點7.解：D是AC的黃金分割點.理由如下：.在 4ABC 中，AB=AC ,

15、/ A=36 ,/ ABC= / ACB= 1_=72 ,2Z 1 = 7 2,/ 1 = Z 2=1ZABC=36 .2在 4BDC 中，Z BDC=180 - Z 2 - Z C=72 ,./ C=Z bdc ,bc=bd .Z A= Z 1 ,ad=bc . ABC 和 BDC 中，/2=/A, /C=/C,abca bdc ,迫區(qū)BD-CD又 ab=ac , ad=bc=bd , AC_ AD ) AD CD AD2=AC ?CD,即D是AC的黃金分割點8.證明：AB=AC , / A=36 ,./ ABC=1 (180 - 36) =72,2 BD平分/ ABC ,交于 AC于D,.

16、/ DBC=1 ABC= 1x72 =36 ,22/ A= / DBC ,又/ c=/c,. BCD ABC ,.工匚ID ABBC ab=ac ,BC CD 一=, AC BC AB=AC=2 , bc=Vs- 1, (Vs-1)_2=2X (2-AD),解得 AD= V5 - 1,AD : AC=(近1) : 2.點D是線段AC的黃金分割點.MBc9.證明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC ,連接EF. AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD , 又. / ADF=90 ,四邊形AEFD是正方形.BE= .1.1 - .Z .三C-B二 一|；:22二BC- 2

17、，.矩形BCFE的寬與長的比是黃金分割比，矩形 BCFE是黃金矩形. ，黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成.D F CAE B10.解：設正方形 ABCD的邊長為2, 在RtAAEB中，依題意，得 AE=1 , AB=2 , 由勾股定理知 EB=-= .TT=:AH=AF=EF - AE=EB - AE=T, HB=AB - AH=3 -“；AH2=(粕 - 1) 2=6-2遍，AB?HB=2X (3-V5) =6 -2/5, ah2=ab ?HB ,所以點H是線段AB的黃金分割點.11 .證明：(1)A=36, Z 0=72,./ ABC=180 - 36 - 72 =72 ,.

18、 / ADB=108 ,./ ABD=180 - 36 - 108 =36 ,. ADB是等腰三角形，. / BDC=180。-/ ADC=180 - 108 =72,. BDC是等腰三角形，AD=BD=B0 .(2)/ DBC=/A=36, /C=/C,ABCA BD0 , BC: A0=0D : B0 , bc2=ac ?DC , BC=AD ,AD2=AC ?dc,.點D是線段AC的黃金分割點.解： D 在 AB 上，且 AD2=BD?AB ,.點D是AB的黃金分割點而點C是AB的黃金分割點，AC=立1】AB=泥T , AD=AB AB= 1AB= JLjAB=3 &或 AD=V 1 ,

19、 AC=3 泥，CD=y-1 - (3-巫)=2而 4,.里帶. 4=12或里人用工返二.AC V5-12 AC 3-V52.解：矩形 ABFE是黃金矩形. AD=BC , DE=AB ,.AE AD-DE BC-AB BC2 _ .巡+1 5+1 _ 2_Vs _ 1=-1=iAB- AB - AB AB 詆222.矩形ABFE是黃金矩形.14.解：: D為AB的黃金分割點（ADBD）, AD= V_LaB=10 V5 - 10, EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= （10泥-10） cm .解：設他的肚臍到腳底的長度為xm時才是黃金身段,根據(jù)題意得x： 1.70=0.618,即

20、 x=1.70 X0.618Z.1 （m）.pd=VaD2 + AP=遍，答：他的肚臍到腳底的長度為1.1m時才是黃金身段.解：（1）在 RtAAPD中，AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知AM=AF=PF - AP=PD - AP=&T , DM=AD - AM=3 -巡.故AM的長為Vs - 1 , DM的長為3 - V5 j (2)點M是AD的黃金分割點.AD 2.點M是AD的黃金分割點.解：二.點P是線段AB的黃金分割點，且 APBP,. . AP2=BP 沿B , 2 八又 Si=AP , S2=PB 沿B , 1- Si=S2.解：二四邊形 ABCD為平行四邊形，/ CBF= /

21、 AEB , / BCF= / BAE , . BCFA EAB ,.圖1,即迪g,CF BA AE AB把 AD=Y-出 AB=，j+1 代入得，近_=-, 22V5+1解得：CF=2.故答案為：2 .19.解：矩形EFDC是黃金矩形，證明：:四邊形 ABEF是正方形,AB=DC=AF ,又AB=V5AD- 2AF_V5-i二AD- 2即點F是線段AD的黃金分割點. FD AF V5-1研一AD2DC 2.矩形CDFE是黃金矩形.20.解:(1)滿足IXJaL 民長一寬+長2618的矩形是黃金矩形;RP(2)由2二k 得，BP=1k=k,從而 AP=1 - k,AB由里1得，BP2=APAB

22、,BP AB即 k2= (1 - k) M ,解得k=1 一屈,2k0,k=-2用.618;2(3)因為點P是線段AB的黃金分割點，所以 期BP AB設4ABC的AB上的高為h,則APC,BPCAPXh6iBPXhAP sabk iBPXh BP . -=Z-四運甌lABXh檢.遼APC 辦帆 EFC AAEC,直線CP是 ABC的黃金分割線.(4)由(2)知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點Q,則AQ也是黃金分割線，設點W的直線均是4ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.AQ 與 CPW,則過21.解：根據(jù)已知條件得下半身長是160O.6=96cm ,設選擇的高跟鞋的高度是 xcm,則根

23、據(jù)黃金分割的定義得:160+x=0.618,解得：x勺.5cm.故她應該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美.22.解：設正方形 ABCD的邊長為2a,在 RtAAEB 中，依題意，得 AE=a, AB=2a ,由勾股定理知EB=二a,AH=AF=EF - AE=EB - AE= （“T） a,HB=AB - AH= （3-加）a；AH2= （6-2遙）a2,AB?HB=2aX （3-加）a= （6-2丫石）a： AH2=AB ?HB ,所以點H是線段AB的黃金分割點.23.證明：設正方形 ABCD的邊長為2, E為BC的中點，BE=1ae=Iab2 + BE 卜而，又 BE=BE=1 ,

24、AB =AE - BE=1, . AB： AB=（在 - 1） 1 2點B 是線段AB的黃金分割點.DC24.證明：二正方形 ABCD的邊長為2, E為BC的中點, BE=1AE=底“=后 EF=BE=1 ,AF=AE - EF=T5- 1 ,AM=AF= V5- 1 , AM : AB=（&-1） : 2,.點M是線段AB的黃金分割點.25.解：（1） BD=DC=AC .則/ B= / DCB , / CDA= / A .設 / B=x ,則/ DCB=x , / CDA= / A=2x .又/ BOC=108 , . B+Z A=108 . . x+2x=108, x=36 . ./ B

25、=36 ;（2）有三個： ABDC, AADC , ABAC . DB=DC , / B=36 ,. DBC是黃金三角形，（或: CD=CA , / ACD=180 - / CDA / A=36 . CDA是黃金三角形.或 : / ACE=108 ,./ ACB=72 ,又/ A=2x=72 ,Z A=Z ACB .BA=BC . BAC是黃金三角形.ABAC是黃金三角形，至三二，BC- 2BC=2,AC=V5- 1. BA=BC=2 , BD=AC=J-1,AD=BA - BD=2 -（近-1） =3-泥,存在，有三個符合條件的點 P1、P2、P3.AB、BC 得到點 Pi、P2.BC的交點

26、為點 P3.i ）以CD為底邊的黃金三角形：作 CD的垂直平分線分別交直線 ii）以CD為腰的黃金三角形：以點 C為圓心，CD為半徑作弧與26.證明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a ,N為BC的中點，NC=BC=a.2在 RtADNC 中，ND=7NC2+CD2=7a2+（2a） a又 NE=ND ,CE=NE - NC= ypT - 1） a. . CE （在-1）a V5-I -CD 2a 2故矩形DCEF為黃金矩形.（2） CM=AB （4 分）28 .證明：如圖，連接 GF,設正方形ABCD的邊長為1,則在 RtBCF 中，BF=9Z+cf2也,貝U A F=BF - BA 三三-1 .2設 AG=A G=x,貝U GD=1 x,在 RtAGF 和 RtA DGF 中，有 AF 2+AG5ASC S仙 c立麻_3四邊形BEFC一因此，直線EF也是ABC的黃金分割線.(7分)=DF2+DG 2,解得x=_2即點G是AD的黃金分割點(AG GD).29.解：(1)如圖所示;c圖I BCD是黃金三角形.證明如下：二.點 D在AB的垂直平分線上, AD=BD ,./ ABD= / A. / A=36