數(shù)字通信技術(shù)043

1、014.4 卷積編碼 (續(xù))2五、軟判決譯碼和硬判決譯碼1、信道模型從數(shù)學(xué)上看，信道實(shí)際上是從發(fā)空間X到收空間Y一個(gè)概率映射函數(shù)3五、軟判決譯碼和硬判決譯碼離散無(wú)記憶信道 (DMC)Discrete Memoryless Channel 用一個(gè)離散輸入碼元集、一個(gè)離散輸出碼元集，以及一組條件概率來(lái)描述。其中i代表調(diào)制器M 進(jìn)制輸入碼元， j 代表解調(diào)器Q 進(jìn)制輸出碼元，P(j|i)代表發(fā)送 I 時(shí)收到j(luò)的概率。 x1x2xMy1y2yQ:P1|1P2|1P1|2P2|2PQ|M4五、軟判決譯碼和硬判決譯碼離散無(wú)記憶信號(hào)在時(shí)刻 i 的輸出僅與時(shí)刻 i 的輸入有關(guān)輸出與輸入的數(shù)目有限5五、軟判決譯

2、碼和硬判決譯碼二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道(BSC) Binary Symmetric ChannelDMC 的一個(gè)特例， 輸入和輸出字符集只包含二進(jìn)制元素0和1，條件概率是對(duì)稱(chēng)的： 1-p0 0 p 1 1-p6對(duì)于BSC信道，解調(diào)器的輸出包含離散元素0和1，因此說(shuō)解調(diào)器對(duì)每個(gè)碼元有一個(gè)硬判決(hard decision)。譯碼器是在解調(diào)器硬判決基礎(chǔ)上譯碼的，因此BSC信道的譯碼稱(chēng)為硬判決譯碼(hard-decision decoding)。 五、軟判決譯碼和硬判決譯碼7五、軟判決譯碼和硬判決譯碼高斯信道 (Gaussian Channel)具有離散的輸入字符和連續(xù)的輸出字符。信道給碼元加上均值為 0 、

3、方差為2的高斯分布的噪聲， 對(duì)所有的接收隨機(jī)變量z，其在輸入碼元為uk 條件下的概率密度函數(shù)為： 8五、軟判決譯碼和硬判決譯碼當(dāng)解調(diào)器的輸出包括連續(xù)字符或者該字符的量化值（超過(guò)兩個(gè)電平）時(shí)，則稱(chēng)解調(diào)器進(jìn)行軟判決(soft decision)。解調(diào)器將這些量化后的編碼碼元輸入譯碼器，因?yàn)樽g碼器的操作是在解調(diào)器軟判決基礎(chǔ)上的，所以這種高斯信道的譯碼稱(chēng)為軟判決譯碼 (soft-decision decoding)。9五、軟判決譯碼和硬判決譯碼2、硬判決譯碼與軟判決譯碼的定義對(duì)于輸入為二進(jìn)制碼元的信道，在傳輸過(guò)程中受到噪聲的污染，成為取值連續(xù)的信號(hào)。當(dāng)解調(diào)器的判決輸出為二電平信號(hào)時(shí)，則對(duì)應(yīng)于每一個(gè)二進(jìn)

4、制的輸入碼元，解調(diào)器輸出一個(gè)相應(yīng)的二進(jìn)制碼元0或1，此時(shí)我們說(shuō)解調(diào)器對(duì)每個(gè)碼元進(jìn)行硬判決。當(dāng)解調(diào)器判決時(shí)所設(shè)置的量化電平數(shù)為L(zhǎng)(L2)時(shí)，則對(duì)應(yīng)于每一個(gè)二進(jìn)制的輸入碼元，解調(diào)器輸出一組n比特的二進(jìn)制序列，并且L2n，即L個(gè)量化電平被編為n比特的二進(jìn)制序列。這種多電平的判決被稱(chēng)為軟判決。10事實(shí)上，譯碼器的輸入就是解調(diào)器的輸出。當(dāng)譯碼器對(duì)解調(diào)器的硬判決輸出進(jìn)行譯碼時(shí)，稱(chēng)為硬判決譯碼(hard-decision decoding)；當(dāng)譯碼器對(duì)解調(diào)器的軟判決輸出進(jìn)行譯碼時(shí)，稱(chēng)為軟判決譯碼(soft-decision decoding)。通常，我們將信道考慮成對(duì)稱(chēng)信道。典型的硬判決信道就是二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信

5、道。典型的軟判決對(duì)稱(chēng)信道是2電平輸入，8電平輸出的信道，即1比特輸入，3比特輸出。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼11s1/s2的似然函數(shù)與硬判決/軟判決輸出的對(duì)應(yīng)關(guān)系s1和 s2分別對(duì)應(yīng)于信道輸入為“1”和“0”，z為信道輸出。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼12五、軟判決譯碼和硬判決譯碼可信度在最大似然譯碼中，每個(gè)碼元的似然函數(shù)p(z/si) 越大，說(shuō)明接收到的z是si的可能性越大。因此 反映了接收信號(hào)是si的可信程度（以下簡(jiǎn)稱(chēng)可信度）。對(duì)于軟判決譯碼，可以用編碼來(lái)表示可信度。130 1 10 1 00 0 10 0 01 0 01 0 11 1 01 1 1判決位可信度可信度取的是補(bǔ)碼五、軟判決譯碼

6、和硬判決譯碼143、軟判決viterbi譯碼硬判決和軟判決維特比譯碼的主要區(qū)別是，軟判決算法不使用漢明距里，而采用歐氏距離作為距離量度。譯碼時(shí)取歐氏距離小的分支，舍棄歐氏距離大的分支。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼15硬判決譯碼與軟判決譯碼五、軟判決譯碼和硬判決譯碼16六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能1、譯碼約束度考察viterbi譯碼的特點(diǎn)在viterbi譯碼過(guò)程中，“加比選”的結(jié)果是得到了一條漢明距離累加值小的幸存路徑，丟棄了其它漢明距離累加值大的路徑。17A丟棄路徑幸存路徑六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能18六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能19六 卷積碼viterbi譯碼算

7、法的性能經(jīng)過(guò)了初始狀態(tài)后，網(wǎng)格圖中每個(gè)時(shí)刻需保留的 幸存路徑數(shù)等于網(wǎng)格圖的狀態(tài)數(shù)2k(N1)。路徑收斂：網(wǎng)格圖中共有2k(N-1) 條幸存路徑，當(dāng)對(duì)某些路徑的考慮長(zhǎng)到一定程度時(shí)，不正確的路徑不斷地淘汰，并在幸存路徑的末端出現(xiàn)了收斂現(xiàn)象。討論：當(dāng)差錯(cuò)模式超出卷積碼的糾錯(cuò)能力時(shí)，是否能出現(xiàn)收斂現(xiàn)象？20四條幸存路徑收斂區(qū)六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能21六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能譯碼深度：顯然，在收斂現(xiàn)象出現(xiàn)前的幸存路徑都需要存儲(chǔ)。由于收斂的時(shí)間不確定，譯碼時(shí)通常設(shè)置一固定觀察路徑的長(zhǎng)度M ，稱(chēng)譯碼約束度或譯碼深度。譯碼深度M和狀態(tài)數(shù)2k(N-1)決定了需要存儲(chǔ)的內(nèi)容。譯碼深度

8、M取得太大，需要存儲(chǔ)的內(nèi)容太多；如果取得太小，則在判決時(shí)路徑還可能還沒(méi)有收斂，造成判決出錯(cuò)。譯碼約束度M一般通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬確定。226.3106.46.7*7.2*56.56.87.2546.77.27.43765Eb/n0譯碼約束度編碼約束度硬判決Viterbi譯碼所需要的Eb/n0值（pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能234.4274.54.95.254.75.05.345.15.25.73765Eb/n0譯碼約束度編碼約束度軟判決Viterbi譯碼所需要的Eb/n0值（pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能24六

9、 卷積碼viterbi譯碼算法的性能2、編碼增益編碼增益是衡量整個(gè)差錯(cuò)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)。編碼增益與許多因素有關(guān)卷積碼編碼增益在不同的誤比特率條件下是不相同的，誤比特率越低時(shí)，編碼增益越大；編碼約束長(zhǎng)度越大，編碼增益越高；編碼效率越低，編碼增益越大；譯碼約束長(zhǎng)度越大，編碼增益越高；軟判決電平數(shù)越高，編碼增益越高。 25卷積碼(n,k,N)編碼增益（dB）Pe=10-3Pe=10-5Pe=10-73，1，74.25.76.22，1，73.85.15.82，1，63.54.65.32，1，53.34.34.93，2，43.14.65.23，2，32.94.24.74，3，32.64.24.84，3

10、，22.63.63.9BPSK或QPSK調(diào)制，加性高斯白噪聲信道，3-bit軟判決Viterbi譯碼 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能26量化比特?cái)?shù)Eb/n0（dB）編碼增益34.94.744.84.854.74.9編碼增益與量化比特?cái)?shù)的關(guān)系 （pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能274.5 RS碼28一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、有限域（加羅瓦域，Galois Field，GF）對(duì)于任何質(zhì)數(shù)q ，存在一個(gè)有限域，表示為GF(q)，其中包含q個(gè)元素?？梢詫F(q)延伸為一個(gè)含有qm個(gè)元素的域，稱(chēng)為GF(q)的擴(kuò)展域，表示為GF(qm)，m是一個(gè)非零的正整數(shù)。 G

11、F(q)是GF(qm)的一個(gè)子域。例如， GF(2)是GF(2m)的一個(gè)子域，類(lèi)似于實(shí)數(shù)域是復(fù)數(shù)域的一個(gè)子域。在GF(2m)中，除了數(shù)字0和1，還有一個(gè)特殊的元素，用一個(gè)新的符號(hào)表示， GF(2m)中的任何非零元素都可以由的冪次表示。29元素的無(wú)限集F，就是根據(jù)元素0,1,形成的，后一個(gè)元素通過(guò)前一項(xiàng)乘以而得到。為了從F中得到有限元素的集合GF(2m)，必須對(duì)F域施加一個(gè)條件，使它只能含有2m個(gè)元素并且對(duì)乘法封閉。元素集對(duì)乘法封閉的條件可由下面的不可約多項(xiàng)式表示：根據(jù)這個(gè)限制條件，任何冪次2m-1的域元素都可降階為如下所示的冪次小于2m-1的元素。一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)30因此，從無(wú)限序列F中形成的有限

12、序列如下：因此，有限域GF(2m)的元素由下式給出：一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)312、自然基底（基底元素）展域GF(qm)中的每一個(gè)元素都可以用次數(shù)低于m的的多項(xiàng)式表示。即GF(qm)中m個(gè)元素集合1, 2, ,m-1是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。因此稱(chēng)這組元素為自然基底或基底元素，也稱(chēng)為本原基底。例如， 在GF(23)中， 1, 2就是它的自然基底。這可以在后面通過(guò)求本原多項(xiàng)式f(x)=1+x+x3的根來(lái)說(shuō)明。一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)323、有限域元素的多項(xiàng)式表示在有限域GF(2m)中，2m個(gè)元素中的任意一個(gè)都可以由階數(shù)小于或等于m-1的一個(gè)多項(xiàng)式表示。多項(xiàng)式的階數(shù)是它的最高冪指數(shù)，多項(xiàng)式的變量x在GF(2)上。將GF(2m)中的每

13、個(gè)非0元素用多項(xiàng)式i(x)表示，其系數(shù)至少有一個(gè)不為0。對(duì)于i=0,1,2, ,2m-2,有：一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)334、有限域GF(2m)中的加法有限域中兩個(gè)元素的加法定義為兩個(gè)元素的多項(xiàng)式中同冪次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行模2加，即：5、有限域的本原多項(xiàng)式GF(q )上的一個(gè)m階的不可約多項(xiàng)式f(x)，如果f(x)能整除xn+1的最小正整數(shù)n滿(mǎn)足n=2m-1，則該多項(xiàng)式是本原的。一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)34一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6、有限域本原多項(xiàng)式的根代數(shù)基本定理證明，對(duì)于GF(q )上冪次為m的多項(xiàng)式f(x)，必然有m個(gè)根。然而， GF(q )中的元素，例如 GF(2)中的元素0和1，不能滿(mǎn)足多項(xiàng)式f(x)有m個(gè)根的要求，即f(x)

14、 m個(gè)根不在GF(q )中，而在其它域中。例如， GF(2)上的本原多項(xiàng)式f(x)=1+x+x3有三個(gè)根，這三個(gè)根位于擴(kuò)展域GF(23)中。一個(gè)本原多項(xiàng)式的根必須有至少一個(gè)本原元素。所謂本原元素，即該元素所在域中的所有元素都可以通過(guò)該元素冪次的不斷升高來(lái)得到。 35例：求f(x)=1+x+x3的根。解：用來(lái)定義f(x)的根，然后通過(guò)枚舉找到所有的根。 令 f()=0，即1+3=0，則3=1+ 4= 3= (1+)= +2 同理： 5=1+2 6=1+2 7=0=1 枚舉：（1） f(0)=1，所以 0=1不是根， （2） f()=0，所以是根 （3） f(2)=0，所以2是根 （4） f(4)

15、=0，所以4是根 其余元素均不是根。一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)36根據(jù)上例的計(jì)算，結(jié)合基底元素的定義，可以得到多項(xiàng)式為f(x)=1+x+x3的GF(23)中，基本元素x0,x1,x2與GF(23)中8個(gè)元素的影射關(guān)系。見(jiàn)下表。一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)37GF(23)中8個(gè)元素與基本元素x0,x1,x2 的影射關(guān)系一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)38二、RS碼1、RS碼的定義在有限域GF(2m)(m1)中，以該域元素為根的，且碼長(zhǎng) 為n=2m-1的本原BCH碼稱(chēng)為RS碼。（比較：BCH碼的碼字取自GF(q)域，而其生成多項(xiàng)式的根則取自GF(qm)域）2、RS碼的生成多項(xiàng)式RS碼中，碼字取值的域與其生成多項(xiàng)式的根的域完全相同，均取自GF(2m

16、)(m1)域 。因此，RS碼生成多項(xiàng)式可以由一次多項(xiàng)式的乘積構(gòu)成。即：39 3、RS碼的距離特性 RS碼最有價(jià)值的特點(diǎn)是：其最小距離dmin比監(jiān)督位個(gè)數(shù)多1，即：如果可糾正的錯(cuò)誤碼元數(shù)為t，則有n-k=2t。由線(xiàn)性碼理論可知，有n-k個(gè)校驗(yàn)位的線(xiàn)性分組碼所能得到的最大的最小距離是n-k+1。可見(jiàn)，RS碼是一個(gè)有最大的最小距離的線(xiàn)性分組碼。因此，RS碼常表示為（n，k，dmin），RS碼也常常表示為（2m-1， 2m-1-2t）。二、RS碼40例：設(shè)GF(23),構(gòu)造一個(gè)t=2的RS碼解：因?yàn)镚F(23),所以m=3，n=23-1=7 又因?yàn)閠=2，所以n-k=4，k=3 因此，這是一個(gè)八進(jìn)制的

17、（7,3,5）RS碼，生成多項(xiàng)式為： 在上式中，加法按照二進(jìn)制域計(jì)算，即+1= -1，并且按照mod2的規(guī)則運(yùn)算。二、RS碼41二、RS碼4、RS碼的編碼原理與BCH碼相同，用信息多項(xiàng)式乘以生成多項(xiàng)式就可以得到碼字多項(xiàng)式。編碼電路BCH碼的結(jié)構(gòu)相似，所不同的是：反饋支路所乘的系數(shù)不再是二進(jìn)制的1或0，而是m進(jìn)制的元素，或者說(shuō)是m個(gè)二進(jìn)制比特。42二、RS碼（7，3，5）RS碼的編碼器框圖43二、RS碼5、RS碼的譯碼RS碼的譯碼原理也與前面所述的循環(huán)碼的相同，但是具體實(shí)現(xiàn)則要復(fù)雜得多。而且隨著m和t的增加，復(fù)雜度增加。因?yàn)閷?duì)于二進(jìn)制碼，只要找到錯(cuò)誤的位置，就可以通過(guò)取反實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)。而對(duì)于非二進(jìn)制的RS碼，不但要找到錯(cuò)誤的位置，還要知道這些位置上的正確取值。 44二、RS碼6、 RS碼的糾錯(cuò)能力糾正t個(gè)符號(hào)錯(cuò)誤的RS碼參數(shù)如下碼長(zhǎng)n = 2m-1符號(hào),或m(2m-1)比特信息