求極值的若干方法

1、 求極值的若干方法1序言一般來說函數(shù)的極值可以分為無條件極值和條件極值兩類.無條件極值問題即是函數(shù)中的自變 量只受定義域約束的極值問題；而條件極值問題即是函數(shù)中的自變量除受定義域約束外還受其它條 件限制的極值問題.下面我們給出極值的定義定義11(P136)設(shè)函數(shù)f在點Po的某鄰域U(R)內(nèi)有定義，若又行1任何點 P U (Po),成立不 等式f(P)f(P0)(或 f(P) f(P),則稱函數(shù)f在點Po取得極大(或極小)值，點Po稱為f的極大(或極小)值點.極大值、極小值統(tǒng) 稱為極值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.2求解一元函數(shù)無條件極值的常用方法導(dǎo)數(shù)法定理1 2(P142)設(shè)f在點Xo連續(xù)

2、，在某鄰域Uo(Xo；)內(nèi)可導(dǎo).(i)若當(dāng)X (Xo,Xo)時f (x) o ,當(dāng)X (Xo,Xo)時f (x) o ,則f在點Xo取得極小值.(ii)若當(dāng) X (Xo,Xo)時 f(X) o,當(dāng) X (Xo,XoN4f(X)。，則 f 在點 X。取得極大值.由此我們可以推出當(dāng)X Uo(Xo；)時，若f (X)的符號保持不變，則f (X)在Xo不取極值.定理2 2(P142)設(shè)f在Xo的某鄰域U (Xo；)內(nèi)一階可導(dǎo)，在X Xo處二階可導(dǎo)，且f (X) o, f (X) o.(i)若f (Xo) o ,則f在Xo取得極大值.(ii)若f (Xo) o,則f在Xo取得極小值.對于一般的函數(shù)我們既

3、可以利用定理1 ,也可以利用定理2 ,但對于有不可導(dǎo)點的函數(shù)只能用 定理1 .例1求函數(shù)f (X) X(X2 1)的極值.解顯然f在x 0, 1處不可導(dǎo),f (x) (3x2 1)sgn(x3 x) 其中(x 0, 1)-3令 f (x) 0,得 x , 3且f在x 0, 1處導(dǎo)數(shù)不存在.(,1)時 f (x) 0 、3f (x)單倜減?。划?dāng)x ( 1, 時 (x) 30, f(x)單調(diào)增加;,3,0)時 f (x) 0 3f(x)單調(diào)減??；當(dāng)x (0,費時f (x) 03f (x)單調(diào)增加;-3,1)時 f(x) 0, 3f(x)單調(diào)減小；當(dāng)x (1,)時f (x) 0,f (x)單調(diào)增加,

4、所以由定理1可以得到3f (x)在x 處取得極大值3紅3,在x 0, 1處取得極小值0. 9若用定理2則有 f (x) 6xsgn(x3 x) 其中(x 0, 1),當(dāng) xY3時，f (x)2通 0 ；當(dāng) x Y3 , f (x)273330,由此只能判斷出f在x3 .處取得極大值，而無法判斷在不可導(dǎo)點30, 1處是否取得極值.定理2表明若函數(shù)f(x)在穩(wěn)定點x0處的二階導(dǎo)數(shù)f (x) 0,則穩(wěn)定點x0一定是函數(shù)f(x)的極值點，但如果遇到 f(x) 0時應(yīng)用定理2無法判別，這時需借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判別.定理3 2(P143)設(shè)f在x0某鄰域內(nèi)存在直到n 1階導(dǎo)函數(shù)，在處n階可導(dǎo)，且f(k)(

5、x。) 0(k 1,2L ,n 1), f(n)(x0) 0,則(i)當(dāng)n為偶數(shù)時，f在x0取得極值，且當(dāng)f(x0) 0時取極大值，f() 0時取極小值.(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時，f在x0處不取極值.例2求函數(shù)f (x) x4(x 1)3的極值.解 由于f (x)x3(x 1)2(7x 4),因此x 0, 1,，是函數(shù)f(x)的三個穩(wěn)定點.f的二階導(dǎo)數(shù)為f (x) 6x2(x 1)(7x2 8x 2),44由此得，f (0) f ( 1) 0及f ( -) 0 .所以f(x)在x 處取得極大值.求 f的三階導(dǎo) 數(shù)f (x) 6x(35x3 60 x2 30 x 4),有f (0) 0, f ( 1

6、) 0.由于n 3為奇數(shù)，由定理3知函數(shù) f在x1處不取極值，再求f的四階導(dǎo)數(shù)f(4) (x) 24(35x3 45x2 15x 1),有f(4)(0) 0 .因為n 4為偶數(shù)，故f在x 0處取得極小值.綜上所述，f (0) 0為極小值,f( 4) (7)4(7)36912823543為極大值.2.2對某些復(fù)雜函數(shù)求極值的特殊方法對某些比較復(fù)雜(比如含根號)的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)、穩(wěn)定點比較困難，計算容易出錯，這時我們 可以利用f(x)與fn(x)有相同的極值點(極值的類型可能不同) 這一特點，把復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為般函數(shù)再求解.推論13(P36)設(shè)x0為f(x)的極大(小)值點，則有:D如果f(x) 0

7、,則f(x)與fn(x)有相同的極值點和極值.2)如果f(x) 0,則f (x)與f 2n 1(x)仍有相同的極值點，但f(x)與f 2n (x)的極值的類型恰恰相反，即x0為f2n(x)的極小(大)值點.例3 求函數(shù)y (x 8)2 5/(x 1)4的極值.解 因為 y5 (x 8)10(x 1)4,所以 TOC o 1-5 h z 59410393(y )10(x 8) (x 1)4(x 8) (x 1)2(x 8) (x 1) (7x 11). , 5、_11令(y )0,得 X 1 , x28, x3 y ,11. 5._5 11. 5._5故當(dāng) x (, 1) (y,8)時，(y)

8、0, y 單倜減，當(dāng) x ( 1,y) (8,)時，(y)0, y單調(diào)增，所以y5在x 1,x 8處取得極小值0 ,根據(jù)推論1得y在x 1和x8處取得極小值0,在411 一 一 45 2 18 丁x 處取得極大值(竺)2(18)5.7771145 10 18 4在x 一處取得極大值(一)(一)777若直接用對函數(shù)求導(dǎo)的方法可得42(x 8)( x 1)石i(xi8)2(x 1)石2(x 8)( x421) (x 8)5i(x 1)5顯然導(dǎo)數(shù)較復(fù)雜，求穩(wěn)定點比較困難，且有不可導(dǎo)點，直接求導(dǎo)數(shù)容易出錯.由上述方法可知穩(wěn)定點，導(dǎo)數(shù)不存在的點是連續(xù)函數(shù)可能的極值點，此外函數(shù)可能的極值點還能是第一類間斷

9、點.我們假設(shè)f(x)在xo的某鄰域(xo,xo)內(nèi)有定義，xo是f(x)的第一類間斷點，根據(jù)極值的定義可得到f (x)在x0處求極值的兩個推論4( P11) .推論2 如果f(xo)lim f(x)且f(xo)lim f(x)則f(x)在點小處取得極大值x xo 0 x xo of(xo).推論3 如果當(dāng)x (xo,xo)時，f (x)單調(diào)增加，當(dāng)x (xo,xo)時，f(x)單調(diào)減少，且f(xo)lim f(x)、f (xo)lim 則在點處取得極大值f (x).x x) ox xo o類似地可以推出極小值.x3x, x o例4 求函數(shù)f (x)的極值.x 3, x o.解當(dāng) x o 時，f

10、 (x) (x3x) 3x3x(Inx 1), TOC o 1-5 h z 人，1令f (x) o得穩(wěn)定點x -,e11 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 當(dāng) o x 時，f (x) o ；當(dāng) x 一時，f (x) o, ee HYPERLINK l bookmark58 o Current Document ，、一1 一一 1、，1;故f (x)在x 一處取極小值f (一)(一). ee e又當(dāng)x o時f(x) 1 o, f(x)單調(diào)增加；當(dāng) o x 1時 f(x) 3x3x(Inx 1) o, f(x)單調(diào)減少，且 elim f (x) 3

11、X 0f(0),Inx3 limx 0 lim f (x) lim e3xInxe 又x 0 x 013 lim _xe0 1 f(0).所以f(x)在x 0有極大值f(0) 3.3求解二元函數(shù)無條件極值常用的方法利用判別式求極值定理4 i(p137 P138)設(shè)二元函數(shù)f在點P0(X0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點，則有如下判別式： 當(dāng)fxx(B) 0, (fxxfyy fP。)0時，f在點R取得極小值;2 .(ii)當(dāng) fxx(F0) 0, ( fxx fyyfxy)(R) 0 時，f 在點 P0 取得極大值;(iii)當(dāng)(fxxfyy fxy)(B)

12、0時，f在點P0不能取得極值；(2)當(dāng)(fxxfyy fxy)(P0) 0時，不能肯定f在點已是否取得極值.這是對二元函數(shù)求極值比較實用的方法，但在用這個方法時需要注意一些問題.1)(fxxfyy fxy)(P0) 0時，可能有極值也可能沒有極值，需要另作討論.例如函數(shù)f(x,y) x4 y6與g(x,y) x4 y6 ,容易驗證這兩個函數(shù)都以點(0,0)為穩(wěn)定點，且在點(0,0)處都滿足(fxx fyyfxy)(0,0)0 ,但f (x, y)在點(0,0)處取極小彳1,而g(x, y)在點 (0,0)處不取極值.2)如果函數(shù)在個別點的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點顯然不是穩(wěn)定點，但也可能是極值點，因

13、此我們 在討論函數(shù)的極值問題時，對這些點也應(yīng)當(dāng)考慮.例如函數(shù)z &_y2 ,顯然在點(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但是該函數(shù)在點(0,0)點卻具有極小值.一般在高等數(shù)學(xué)教材中，對像這樣的二元函數(shù)并沒有明確給出在偏導(dǎo)數(shù)不存在處求極值的方法，他們只是根據(jù)初等數(shù)學(xué)中函數(shù)圖像的性質(zhì)推斷出在 該點能否取極值.對此我參考對特殊一元函數(shù)求極值的方法推導(dǎo)出了對特殊二元函數(shù)求極值的一般 解法.3.2二元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在處求極值的特殊方法命題1設(shè)(x0, y0)為f (x, y)的極大(小)值點，則有：1) f 2n 1(x,y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型，即(x0,y0)也為f2n 1(x, y)

14、的極大(小)值點；2)當(dāng)f(x,y) 0時,f 2n(x, y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型,即(xo,y0)為f 2n(x, y)的極大(小)值點；當(dāng)f(x, y) 0時，f 2n(x, y)與f (x, y)仍有相同的極值點，但它們的極值類型 恰恰相反，即(xo，y0)為f2n(x, y)的極小(大)值點.下證結(jié)論1) , 2 ),1)證 由極值的定義知，若(x0,y0)是f (x,y)的極大(小)值點，則對于 (x0, y0)的某一鄰域 內(nèi)的任一點(x,y)都有 f (x, y)f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y),故有2n 12n 12n 12n 1 z、f

15、 (x, y) f(x, y)(或 f (x, y) f(x, y).匚上 什(2n 12n 12n 12n 1 .反之，右 f (x,y) f(x0,y0)(或 f (x,y) f(x0,y。)，則有f (x,y) f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y。)，_ 2n 1即f (x, y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型.2)當(dāng)f (x, y) 0時，結(jié)論很明顯，證略.下證當(dāng) f (x, y) 0時，由于f (x, y) 0 ,故f即 f2n(x, y) f2n(x0,y0).例5 求函數(shù)z (x2分析：直接對z求偏導(dǎo)，f (x, y) f (x0,y。)，2n 1(x,

16、 y) f (x, y) f2n 1(x, y)f (x, y),所以(x, y)是f (x, y)的極小值點.22 1二x y 二y )2(12 y2)2(0 a b)的極值.a bx1 2x- ( )y2y1 ( )x2 2y-x2( 2,2)yy( 2,2)x,2則有 zx, aa b, zy f a bbx122yl22,22xy，|,22xy(x y )(12/)(x y )(12：)a ba b所以有證 不妨設(shè)(x0,y0)是f (x, y)的極大值點，則對(xO, y)的某鄰域內(nèi)有f (x, y)f(x0,y0),顯然計算相當(dāng)麻煩，且(0,0)點為函數(shù)z的不可導(dǎo)點，但也可能是函數(shù)

17、的極值點，故直接求導(dǎo)不可取,這時可利用命題1來求解.22解令f z (xy2)(i2%)(0a b)，需先對函數(shù)f求偏導(dǎo)，令fx2x1解得穩(wěn)定點(0,0) , (0,f xx因為在點(0,0)有 ACB2在點(0,=)有 AC ,2B2而在點(fy2y12x2-2a1(a(二a1、22)xb0,0.(a2_ 212x2C fxy,0)，2(3a0,且有A0,且有A*)y2, b b2 嗎 A)a2五,0)有AC B 0,故函數(shù)fxy12y2丁,11、4(/它所0,故點(0,0)為函數(shù)f的極小值點;0,故點(0,子)為函數(shù)f的極大值點;, , a -f在點(-y=,0)不取極值.bb又因為z0,

18、從而由命題1可得函數(shù)z在點(0,0)取得極小值0,在點(0, 7)取得極大值-.4求解隱函數(shù)無條件極值的常用方法4.1利用顯函數(shù)極值問題的相應(yīng)結(jié)論定理5 5(P26) 設(shè)函數(shù)f(x,x2,L ,xn,y)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 fy(X,x2,L ,xn,y) 0 ,則由方程 f(x1,x2,L ,xn,y) 0 所確定的 n 元函數(shù) y y(x1，x2,L 兇)在 點 P0(x,X2,L ,x0)取得極值的必要條件是：fxi(x0,x,L x0, y0) 0 (i 1,2,L ,n)其中0 0 0 0f (Xi ,X2,L Xn,y ) 0.右記 hj0000、fxXj (Xi ,X2

19、,l Xn,y )0000 、fy(Xi ,X2,L Xn, y )(i, j 12L,n),H(P0) (hij)nn .那么，當(dāng)H(P0)為正定矩陣時，y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0處取得極小值；當(dāng) H(P0)為負(fù)定矩陣時,y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0處取得極大值；當(dāng)H(P0)為不定矩陣時，y y(x, x2,L , Xn)在P0處不取例6求由方程2x2解令 f (x,y) 2x2得極值.y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0所確定的函數(shù)z z(x, y)的極值.22一一一.、一 .一yz2xy2x2y4z 4 ,解萬程組fx 4X 2y 2 0, fy 2y 2x

20、 2 0, f 2x2 y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0.解得穩(wěn)定點為 R(0,i,i), P2(0,1,3),進(jìn)而可得fxX 4,fxy2,fyy2, fz2, fz(P2) 2,H(P)所以H(P2)顯然H (P)為正定矩陣，H (P2)為負(fù)定矩陣.由定理5可知函數(shù)zz(x, y)在點P(0,1)處取得極小值1,在點P2(0,1)處取得極大值3.4.2利用拉格朗日乘數(shù)法6(P167)這種方法是把原方程中的隱函數(shù)設(shè)為目標(biāo)函數(shù)，把原方程設(shè)為約束條件，將隱函數(shù)極值問題轉(zhuǎn) 化為求條件極值的問題.例7 求由方程2x2 2y2 z2 8xz z 8 0所確定的隱函數(shù) z z(x, y)的極

21、值.解 取目標(biāo)函數(shù)f (x, y,z) z ,約束條件為原方程，作輔助函數(shù)_ 2_ 22一一L(x, y,z, ) z (2x2yz8xzz 8),解得115由于故所求之點P(,0,7值點.由此得所求函數(shù)LxLyLz2x0,2y1,穩(wěn)定點15Lxx 4fxx fyyf 21 xy0,0,8xz耳嚀,。,z 8 0.8), P2( 2,0,1),Lxy0，Lyy2160(0),7)，P2(2,0,1)均為極值點，且當(dāng)0時為極大值點，當(dāng)0時為極小z z(x, y)的極大值為一，極小值為1.同樣例1也可以用這種方法求解.5求解條件極值的常用方法5.1代入法化為無條件極值問題這種方法一般是從條件方程(

22、以二元條件極值為例)(x, y) 0中解出顯函數(shù) y y(x)代入z (x,y(x)中化為無條件極值問題，從而使問題簡化.將代入求函數(shù)f(x,y)在條件xy 1 0下的極值.f(x,y),得x2 (1x)2 2x2由二次函數(shù)的頂點式可知當(dāng)1 ,一時，f取得極小值 2顯然用這種方法比拉格朗日乘數(shù)法更簡潔，但在求解過程中要注意幾個問題:1)這種方法適合用于比較簡單的、含自變量較少函數(shù)，一般不超過三個;對有些約束條件較復(fù)雜、不易從約束條件中解出顯函數(shù)的函數(shù)，這時不適合用代入法求解;3)在求解過程中如果不注意代入的條件則可能導(dǎo)致不完整甚至錯誤的答案7( P42)例如求解原點到曲面(xy)2z21的最短

23、距離.用代入法求解時，如果將Z2 1 (x y)2代222、uux 2y 0, 一入u x y z得uxy1(x y) 1 2xy，由得可能的極值點為uy 2x 0.22P(0,0,1)與P2(0,0, 1),此時R, P2到原點的距離均為1,而曲面(x y) z1存在到原點的11 TOC o 1-5 h z 距離比1小的點，比如P( 一, 一,0)就是這樣的點，因此用代入法求解時， 這樣的最短距離不存在. 而 22 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 111 1用拉格朗日乘數(shù)法求解時，則可得到二個可能的極值點分別是P3(-, 1,0)與P4(，

24、1,0),且從222 2幾何圖形不難看出 P3 , P4正是兩個最值點，最短距離為? .原因是求u x2 y2 z2在約束條件(x y)2 z2 1的最值時，x與y的取值范圍必須滿足x y 1 ,而將z2 1 (x y)2代入222 一一u x y z后得u 1 2xy , x與y的取值氾圍都已是(，).利用拉格朗日乘數(shù)法用拉格朗日乘數(shù)法可求解含更多自變量的條件極值且無需解出顯函數(shù)，其方法簡捷.但其不足之處是所求的點只是可能的極值點，在解題過程中通常是根據(jù)問題的實際情況來推測.若想要確定該點是否是極值點及在該點的極值類型則需要根據(jù)拉格朗日函數(shù)L的二階微分符號來判斷.定理6 8( P257 P2

25、58)設(shè)P0是拉格朗日函數(shù)L的穩(wěn)定點，則21)若d L(P0) 0,則函數(shù)f在P。取條件極?。?2)若d L(P0) 0,則函數(shù)f在P。取條件極大.42222一，例 9 求函數(shù) f (x1，x2,x3,羽)x1x2x3x4在條件akxk1(ak0,k 1,2,3,4)下的k 1極值.4解 設(shè)拉格朗日函數(shù)為L(x1, x2, x3,x4)x；x；x；x：(akxk1),k 1對L求偏導(dǎo)并令它們都等于 0,則有 TOC o 1-5 h z Lxi 2xiai 0,Lx22x2a20,LX32x3a30,LX42X4氏0,4 akxk 1 0. k 13,2akk 1解得Xi Mi 1,2,3,4)

26、, 2 ak k 1 ,2.又當(dāng) I、時， 2 ak k 1 2_220,14d L 2(d X1 L d X4)所以當(dāng)xi Y(i 1,2,3,4)時，f取得極小值，極小值為 a： k 1運用梯度法求條件極值n 1,L ,Xn)igrad i(X1,X2,L ,Xn),鉆i 1的4) 0,(i 1,2,L ,n 1).將梯度法用于求條件極值問題，方程組解就是所求極值問題的可能極值點9( P35).例109( P35)試求n個正數(shù)，其和為定值n X1X2L Xngradf (一，X2 i(X1,X2,L ,l的條件下，什么時候乘積最大，并證明1， 一(X1 X2 LXn).n證本題的實質(zhì)是求y

27、 f(x1, x2,L,xn)x(x2Lxn在條件x1x2Lxnl下的最大值問題.根據(jù)本文定理，列出下列方程組，求解可能的極值點grad(x1X2L %)grad(x1 X2 LXn l),x1 x2 Lxn l.進(jìn)一步求解得容易得到X2X3L XnLX1X2LxnXiXn ,L1.X2根據(jù)題意，則（-,-,L ,-）是唯一的極大值點L , XiX2 L Xn 11,1L ,1 ,也是最大值點.所以l nf(X1,X2,L ,Xn)一n即 n X1X2L Xn1 ,.一(X1 x2 L n利用球面坐標(biāo)求條件極值利用空間坐標(biāo)點M的直角坐標(biāo)（X,y, z）與球面坐標(biāo)（，,）之間的關(guān)系，應(yīng)用這一變換

28、可求解含平方和（或可化為含平方和）運算的條件極值問題10( P96)例111（P96）求函數(shù)uX2y2z2在條件（X y）2z21下的極值.解 利用球面坐標(biāo)法，由目標(biāo)函數(shù) u X2 y2 z2 ,可設(shè) x布sincos , y 而sin sin ,z Vu cos ,代入約束條件可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 2sin2 (2 sin2 ) 1 2u HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 31 1(當(dāng) -, 一時取等號)，于是u ,故所求極小值為u . HYPE

29、RLINK l bookmark122 o Current Document 422利用球面坐標(biāo)求解條件極值問題其解法優(yōu)于代入法、乘數(shù)法，且解法簡潔，省去了對極值充分 性的考慮，比一般的方法省事許多，同時所獲得極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?6極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別及最值應(yīng)用在日常生活、工程技術(shù)與生產(chǎn)實踐中，我們常會遇到這樣的問題：在一定的條件下，怎樣才能 使產(chǎn)品最多而用料最省，成本最低而利潤最大等，這些問題通常都?xì)w結(jié)為數(shù)學(xué)中的最值問題.下面我們給出最值的定義12（ P80）定義2設(shè)函數(shù)f在區(qū)域D上連續(xù)，如果存在 D中的點F0, P使得f（Po） M , f （P1） m, 且對于任意的點 P

30、D都有m f （P） M ,則稱M為f在D上的最大值，m為f在D上的最小值，Po稱為最大值點，P稱為最小值點.最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點與最小值點統(tǒng)稱為最值點最值和極值在某種程度上有相似點，也有不同點，了解了極值與最值的關(guān)系有助于求解函數(shù)的最值極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：1 ）極值是函數(shù)在某點的局部性質(zhì)，而最值是函數(shù)在區(qū)域的整體性質(zhì)；2）在給定的區(qū)域上極值可能有多個，而最大（?。┲底疃喔饔幸粋€；3）在區(qū)間內(nèi)部最值一定是函數(shù)在某個區(qū)域的極值，極值未必是最值；4）極值點不能是邊界點，最值點可以為邊界點；5）如果函數(shù)的最值在某個區(qū)域內(nèi)取得，該點一定是極值點；6）在整個區(qū)域上極小值可能大于極大值，

31、而最小值一定不大于最大值所以要求函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，只要比較函數(shù)在所有穩(wěn)定點、不可導(dǎo)點和區(qū)域的邊界點上的函數(shù)值，就能從中找出函數(shù)在該區(qū)域上的最大值與最小值通常在求閉區(qū)域上的多元函數(shù)的最值時，都按下列步驟進(jìn)行第一步：在區(qū)域內(nèi)部求出函數(shù)的所有穩(wěn)定點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點；第二步：計算在這些點處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的函數(shù)值；第三步：比較上述所求值的大小，最大（小）者為最大（?。┲翟趯嶋H問題中，根據(jù)對問題的分析知函數(shù)的最值存在，而函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部只有一個穩(wěn)定點，則函數(shù)在該點的值就是所求的最大（?。┲道?127（ P176） 假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品， 兩個市場的需求價格分別是 P118 2Q1 ，P212Q2 （單位：萬元噸），Q1，Q2分別表示該產(chǎn)品