控制系統(tǒng)的數(shù)學模型課件

1、5.3 傳遞函數(shù)一、衍生：傳遞函數(shù)，設(shè) 則有。 其中隨形式而變， 而 完全由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)確定。令,則有 網(wǎng)絡(luò)為例。以瞬態(tài)和結(jié)果的關(guān)系1、定義：對于線性定常系統(tǒng)來說，當初始條件為零 時，輸入量拉氏變換與輸出量拉氏變換之 比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 反映了系統(tǒng)自身的動態(tài)本質(zhì)，表達了傳遞信號的性質(zhì)和能力，故稱它為RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。數(shù)值來決定，且若不變，則的特性完全由將 傳到了的形式與傳 遞 函 數(shù)(續(xù))設(shè)線性定常系統(tǒng)的微方一般形式為：當初始條件為零時，根據(jù)拉氏 變換有： 傳 遞 函 數(shù)(續(xù)) 是復變量s 的函數(shù)，故稱為復放大系數(shù)。 為復數(shù)， 可見：有了微分方程，可以直接寫出其傳遞函數(shù)，與 c(t)

2、有關(guān)的項為分母，與 有關(guān)的項為分子。 傳 遞 函 數(shù)(續(xù))第二章 數(shù)學模型例2. RLC網(wǎng)絡(luò)：微分方程 則傳遞函數(shù) 傳 遞 函 數(shù)(續(xù))第二章 數(shù)學模型2性質(zhì)與說明：（1）傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式，具有復變 函數(shù)的所有性質(zhì)，且所有系數(shù)均為實數(shù)。例1. RC網(wǎng)絡(luò)：微分方程則傳遞函數(shù)（2）傳函是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之 間關(guān)系的表達式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié) 構(gòu)和參數(shù)，而與 r(t) 的形式無關(guān)，也不反映系 統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。（3）傳函是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學模型， 而形式上和系統(tǒng)的動態(tài)微方一一對應。但只適 用于線性系統(tǒng)且初始條件為零的情況下，原則 上不能反映系統(tǒng)在非零初

3、始條件下的全部運動 規(guī)律。 傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型（4）傳函是系統(tǒng)的數(shù)學描述，物理性質(zhì)完全不同的系 統(tǒng)可以具有相同的傳函。在同一系統(tǒng)中，當取不 同的物理量作輸入或輸出時，其G(s)一般也不相 同，但卻具有相同的分母。該分母多項式稱為特 征多項式。(形成的方程叫特征方程）（5）傳函是在零初始條件下定義的，控制系統(tǒng)的零初 始條件有兩方面的含義： 指r(t)是在 時才作用于系統(tǒng)，在t =0- 時， r(t)及其各階導數(shù)均為零。傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型指r(t)加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即c(t)及其各階導數(shù)在 時的值也為零。 傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型

4、例5無源RC網(wǎng)絡(luò)求 。 復阻抗法解： 傳遞函數(shù)（續(xù)）（1）零、極點表示法： 當時，G(s) = 0. 為傳函的零點。 當 時，G(s) =為傳函的極點。4傳函的其他表示法：而 傳遞系數(shù)。(根軌跡中叫根軌跡增益) (2）時間常數(shù)表示法： 其中放大系數(shù)。傳遞函數(shù)的表示方法（續(xù)）第二章 數(shù)學模型(3) 二項式表示法：如為一對共軛復數(shù)，則有或傳遞函數(shù)的表示方法（續(xù)）第二章 數(shù)學模型 系統(tǒng)可能還會有零值極點，若為個，則有： 在此：（4）一般表示法：第二章 數(shù)學模型二、典型環(huán)節(jié)及其傳函：從上述傳函的一般表示中看出，任何系統(tǒng)均由等環(huán)節(jié)組成，此為典型環(huán)節(jié)。（一）比例環(huán)節(jié)：1、微分方 程：c(t)=Kr(t)2

5、、傳函：G(s)=K. 既無零點也無極點。第二章 數(shù)學模型3、響應：若r(t)=1(t)，則c(t)=K 1(t)。 輸出與輸入成比例，不失真也不延時，如無彈性 變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等。典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二章 數(shù)學模型1.微分方程：2.傳遞函數(shù)： 只有一個零值極點。（二）積分環(huán)節(jié)：3.階躍響應：第二章 數(shù)學模型時所需的時間。 其中T=RC是 增長到 象積分器： 典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二章 數(shù)學模型1微方：有一個負極點 2傳函：3響應：（三）慣性環(huán)節(jié)：第二章 數(shù)學模型如RC網(wǎng)絡(luò)、LR回路。（四）微分環(huán)節(jié)：1微方：2傳函：，只有一個零值零點。 典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二

6、章 數(shù)學模型則 階躍函數(shù)因此微分環(huán)節(jié)能預示的變化趨勢。脈沖函數(shù),3響應：，則因此典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二章 數(shù)學模型運放組成的微分器：實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，如右圖的RC網(wǎng)絡(luò)：當時，才有典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二章 數(shù)學模型（五）一階微分環(huán)節(jié)：1微方：2傳函：有一個負值零點 同樣實際中常帶有慣性，如右圖的RC網(wǎng)絡(luò)：第二章 數(shù)學模型令只有當時，才有典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）第二章 數(shù)學模型（六）振蕩環(huán)節(jié)：1微方：2傳函：有兩個極點： 為兩個不相等的負實根。一對共軛復數(shù)根。第二章 數(shù)學模型（輸出延遲 后復現(xiàn)輸入）（七）延遲環(huán)節(jié)：典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)） 如樞控電機、R-L-C 網(wǎng)絡(luò)、動力系等。

7、 2.響應：當時，圖所示。四種不同的響應如第二章 數(shù)學模型3處理方法：展開成泰勒級數(shù)：很小時，可將為超越函數(shù)，當2傳函：如皮帶傳輸機、晶閘管整流裝置等。 1微方：典型環(huán)節(jié)及其傳函（續(xù)）即將延遲環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)。第二章 數(shù)學模型 復阻抗法：只適用于電網(wǎng)絡(luò)，方便、實用。利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求?。汉喕嬎恪⒎浅７奖?。實驗法：實際測量，多用頻率特性。1.直接法：列出微分方程傳函。 拉氏變換 三、傳函的求取:第二章 數(shù)學模型2-4結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖既能方便地求傳遞函數(shù)，又能形象直觀地表明動態(tài)信號在系統(tǒng)中的傳遞過程。它是一種數(shù)學模型，可以進行代數(shù)運算和等效變換，是求取傳遞函數(shù)的有利工具。一基本

8、概念：以RC 網(wǎng)絡(luò)為例：i第二章 數(shù)學模型結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型1定義：由具有一定函數(shù)關(guān)系組成的、并標明信號傳遞方向的系統(tǒng)方框圖稱為動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。2組成：4個基本單元。信號線：帶箭頭的直線，表示信號傳遞的方向， 線上標注信號所對應的變量，信號傳遞 具有單向性。 引出點：信號引出或測量的位置，從同一信號線上取出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。 結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型比較點：表示兩個或兩個以上信號在該點相加減， 運算符號必須表明，一般正號可省略。 函數(shù)方框：表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞 關(guān)系，方框的輸出信號等于方框的輸 入信號與方框中G(s)的乘積。 結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型比較點函數(shù)

9、方框引出點帶箭頭的線如RC網(wǎng)絡(luò)：結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型2對上述微分方程進行拉氏變換，并做出各元 件的結(jié)構(gòu)圖。二、結(jié)構(gòu)圖的建立：1建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程（分清輸 入、輸出，負載效應）。3按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各單 元結(jié)構(gòu)圖連接起來，其輸入在左，輸出在右。第二章 數(shù)學模型解：第一種方法： 例1如圖RC網(wǎng)絡(luò)。結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型 結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型第二種方法： 可見：一個系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)圖不是唯一的 。第二章 數(shù)學模型例2、 兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)。對嗎？第二章 數(shù)學模型兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型可見：后一級網(wǎng)絡(luò)作為前一級網(wǎng)絡(luò)的負載，對前級網(wǎng)絡(luò)的

10、電流i1產(chǎn)生影響，這就是負載效應。因此不能簡單的用兩個單獨網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖的串聯(lián)來表示。兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型但是若在兩級網(wǎng)絡(luò)之間接一個ri很大而r0很小的隔離放大器就可以。此時放大器的ri很大，負載效應已消除，使后級不影響前級。 兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型例3、前面列微分方程時的速度控制系統(tǒng)。第二章 數(shù)學模型速度控制系統(tǒng)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型建立結(jié)構(gòu)圖的目的是求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，對系統(tǒng)性能進行分析。所以對于復雜的結(jié)構(gòu)圖就需要進行運算和變換，設(shè)法將其化為一個等效的方框，其中的數(shù)學表達式即為總傳遞函數(shù)。這一步驟相當于對方程消元。 三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換：變換前后，輸入輸出總

11、的數(shù)學關(guān)系應保持不變總傳遞函數(shù)等效原則：第二章 數(shù)學模型（一）串聯(lián)：串聯(lián)后總傳函等于各環(huán)節(jié)的傳函之乘積若有個環(huán)節(jié)串聯(lián)，則有第二章 數(shù)學模型（二）并聯(lián)： 個環(huán)節(jié)并聯(lián)，則有并聯(lián)后總傳函等于各環(huán)節(jié)的傳函之代數(shù)和第二章 數(shù)學模型（三）反饋聯(lián)接：“-”正反饋；“+”負反饋。故有第二章 數(shù)學模型，稱單位反饋，則有前向通道傳函，反饋通道傳函。結(jié)構(gòu)圖的等效變換（續(xù)）例4：例1的網(wǎng)絡(luò)，第一個圖:第二章 數(shù)學模型第二章 數(shù)學模型第二個圖:第二章 數(shù)學模型第二個圖:第二章 數(shù)學模型例5：例2所示兩個網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：只采用三個基本等效法則能求出網(wǎng)絡(luò)的傳函嗎？第二章 數(shù)學模型（四）比較點的移動：1. 前移：結(jié)構(gòu)圖的等效變換（

12、續(xù)）變后變前第二章 數(shù)學模型后移:結(jié)構(gòu)圖的等效變換（續(xù)）變前 變后第二章 數(shù)學模型3.互換:只要兩個比較點緊緊相鄰,就可以互換. (五)引出點的移動:1. 前移:結(jié)構(gòu)圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型后移:3.互換: 結(jié)構(gòu)圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型有多種方法，考慮負載效應，變換時考慮交叉。 例5：例2所示兩個網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：第二章 數(shù)學模型兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型按第一種移動方法：第二章 數(shù)學模型兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）例6：教材上的例215。第二章 數(shù)學模型2-5 信號流圖與梅遜公式 方框圖雖對于分析系統(tǒng)很有用處，但遇到結(jié)構(gòu)復雜的系統(tǒng)時，其簡化和變換過程往往顯得煩瑣，還得分

13、清比較點和引出點，一般二者不交換。因此可采用信號流圖，簡單易繪制。 一、基本概念1組成：兩個基本單元 如:第二章 數(shù)學模型1）節(jié)點表示變量和信號的點，用小圓圈表示。2）支路起于一個節(jié)點，止于另一個節(jié)點，此間 不包含或經(jīng)過第三個節(jié)點，支路上的箭頭方向表 示信號傳遞方向。 傳函寫在箭頭旁邊，稱為支路傳輸。 2術(shù)語：(1) 輸入支路進入節(jié)點的支路。(2) 輸出支路離開節(jié)點的支路。信號流圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型(3)源節(jié)點也叫輸入節(jié)點，即只有輸出支路的節(jié)點， 一般表示系統(tǒng)的輸入變量。如(4)匯節(jié)點也叫輸出節(jié)點，即只有輸入支路的節(jié)點， 一般表示系統(tǒng)的輸出變量。如(5)混合節(jié)點既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)

14、點， 相當于方框圖中的引出點和比較點。如信號流圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型混合節(jié)點的信號為所有的支路引進信號的迭加，且此信號可通過任何一個具有單位傳輸?shù)妮敵鲋啡〕觥Ｈ鐝?取出變?yōu)?。(6)通路也叫通道、路徑。凡從一個節(jié)點開始，沿 著支路箭頭方向連續(xù)經(jīng)過相連支路而終止到另一個 節(jié)點（或同一節(jié)點）的徑路稱為通路。(7)開通路若通路與任一節(jié)點相交不多于一次 ，且 起點與終點不為同一點，稱為開通路。信號流圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型(8)閉通路若通路與任一點相交不多于一次，但起 點與終點為同一點，則稱為閉通路、回路、回環(huán)。(9)自回路從一點開始，只經(jīng)過一個支路，又回 到該點的回路。如： (10)不接觸回路不

15、具有任何公共點的回路。信號流圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型(11)前向通路若從源節(jié)點到匯節(jié)點的通路上，通 過任何節(jié)點不多過一次，則稱為前向通路。（12)前向通路傳輸前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e 稱為前向通路傳輸或增益。 (13)回路傳輸閉通路(回路)上各支路傳輸?shù)某朔e 稱為回路傳輸或增益。信號流圖（續(xù)）第二章 數(shù)學模型（1）信號流圖是表達線性方程組的一種數(shù)學圖形。 當系統(tǒng)由微方（或差方）描述時，應先變換成 代數(shù)方程并整理成因果關(guān)系形式。（2）節(jié)點標志系統(tǒng)的變量。每個節(jié)點標志的變量是 所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié) 點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。（3）支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時

16、，被乘以支路增益而變換為另一信號。3性質(zhì)：（4）支路表示一個變量與另一個變量之間的關(guān)系， 信號只能沿箭頭方向流通。第二章 數(shù)學模型 (5)對于給定的系統(tǒng)，節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此，其信號流圖不是唯一的。4信號流圖的繪制：信號流圖（續(xù)） 1) 由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖 任何線性數(shù)學方程都可以用信號流圖表示，但含有微分或積分的線性方程，一般應通過拉氏變換，將微分或積分變換為關(guān)于的代數(shù)方程后再畫信號流圖。繪制信號流圖時，首先要對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列；然后，用標明支路第二章 數(shù)學模型2) 由系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖：(1)將輸入量、輸出量、引

17、出點、比較點以及中間變 量均改為節(jié)點。(2)用標有傳函的定向線段代替各環(huán)節(jié)的方框。二者都是數(shù)學模型，具有一一對應的關(guān)系，在布局上很相似，并有等效對應關(guān)系。但信號流圖省略了環(huán)節(jié)的方框，不必區(qū)分比較點和引出點，所以更簡單。信號流圖（續(xù)）增益的支路，根據(jù)數(shù)學方程式將各節(jié)點變量正確連接，便可得到系統(tǒng)的信號流圖。第二章 數(shù)學模型例如： 第二章 數(shù)學模型結(jié)構(gòu)圖與信號流圖的關(guān)系（續(xù)）第二章 數(shù)學模型1、串聯(lián)支路的合并： 串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。2、并聯(lián)支路的合并： 并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)拇鷶?shù)和。3、混合節(jié)點得消除： *消除混合節(jié)點后應保持輸出節(jié)點的信號關(guān)系不變。(1)二. 信號流圖的

18、等效變換（自學，只需了解）第二章 數(shù)學模型(2) 信號流圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型4.回路和自回路的消除:(1).(2).實際上abc第二章 數(shù)學模型可見：與結(jié)構(gòu)圖消除反饋的等效變換是相似的注意 或(3)均可串并、消回路。信號流圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型不能直接消回路即有例：注意信號流圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型例1：兩級RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：信號流圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型 信號流圖的等效變換（續(xù)）第二章 數(shù)學模型三梅遜公式及其應用： 信號流圖雖比結(jié)構(gòu)圖簡單，但通過等效變換來簡化系統(tǒng)也很麻煩。利用梅遜公式可以不必簡化流圖，直接寫出從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的總傳輸系統(tǒng)總傳函。

19、 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道數(shù)目。其中, 第條前向通道的總傳輸。流圖特征式，計算公式為： 第二章 數(shù)學模型其中，流圖中所有不同回路的回路傳輸之和。所有互不接觸回路中，每次取其中兩 個回路傳輸?shù)某朔e之和。所有互不接觸回路中，每次取其中三 個回路傳輸?shù)某朔e之和。 觸的回路后的特征式。條前向通道特征式的余子式，其第中除去與第值為條前向通道相接其中，流圖中所有不同回路的回路傳輸之和。所有互不接觸回路中，每次取其中兩 個回路傳輸?shù)某朔e之和。所有互不接觸回路中，每次取其中三 個回路傳輸?shù)某朔e之和。 梅遜公式及其應用（續(xù)）第二章 數(shù)學模型例2仍為兩級RC網(wǎng)絡(luò)：有三條回路：解：只有一條前向通道： 第二章

20、數(shù)學模型且有兩個回路互不接觸： 在此故兩級RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型例3試用梅遜公式確定如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由圖可知，系統(tǒng)有3條前向通路，其增益分別為P1P2P3第二章 數(shù)學模型例3（續(xù)）有4個單獨的回路，各回路增益分別為L1L2L3L4第二章 數(shù)學模型例3（續(xù)）且有第二章 數(shù)學模型例4：如圖系統(tǒng)。 解：有兩條前向通道：梅遜公式同樣可以在結(jié)構(gòu)圖中使用第二章 數(shù)學模型均接觸。五個回路：第二章 數(shù)學模型閉環(huán)系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)如圖2-5 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(一)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳函 ：外作用有： 是根軌跡和頻率特性兩大分析方法的主要數(shù)學模型，它是前向通道和反饋通道的傳函之乘積。第二章 數(shù)學模

21、型1閉環(huán)傳函(二)作用下的閉環(huán)傳函：2給定誤差傳函： 稱為偏差，也叫誤差。令第二章 數(shù)學模型3單位反饋系統(tǒng)： 1擾動閉環(huán)傳函 ：作用下的閉環(huán)傳函：(三)令第二章 數(shù)學模型2擾動誤差傳函 : 同時作用下的閉環(huán)系統(tǒng)： 利用迭加原理有：(四)和第二章 數(shù)學模型 由以上各式可以看出，系統(tǒng)在各種情況下的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)都具有相同的分母多項式 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式。而稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。第二章 數(shù)學模型例1: 系統(tǒng)如圖所示。解:第二章 數(shù)學模型一.基本概念:1脈沖響應：在零初始條件下，線性系統(tǒng)對理想脈 沖輸入信號的響應。2單位脈沖信號： 27 脈沖響應函數(shù) 當時,第二章 數(shù)學模型2）脈沖響應函數(shù)：

22、設(shè)線性系統(tǒng)的傳函為，則有時刻的，出現(xiàn)在1）面積為理想脈沖為：脈沖響應函數(shù)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型二、應用：，求其 。 例1：已知解： 則線性系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)。根據(jù)拉氏變換的唯一性定理，也是一種數(shù)模。 故求 :1由脈沖響應函數(shù)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型 一一對應，所以就系統(tǒng)動態(tài)特性而言，他們包含相同的信息，故若以脈沖信號作用于系統(tǒng)，并測定其輸出響應，則可獲得有關(guān)系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息。對于那些難以寫出其傳函的系統(tǒng)，無疑是一種簡便方法。2利用求取任意下的輸出響應：已知單位脈沖為，面積為時則為若脈沖出現(xiàn)在時刻，則為 。脈沖響應函數(shù)（續(xù)）第二章 數(shù)學模型脈沖響應函數(shù)（續(xù)） 用無限多個互相聯(lián)接的實際脈沖近似表示，脈沖寬度為現(xiàn)將在時刻的幅則值為。面積為發(fā)生在時刻且面積為第二章 數(shù)學模型又線性系統(tǒng)服從迭加原理，系統(tǒng)的輸出應為所有脈沖響應函數(shù)之和：脈沖響應函數(shù)（續(xù)）