定積分的換元積分法和分部積分法課件

1、第六節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法 定積分的換元積分法定積分的分部積分法小結、思考題習題解答一、定積分的換元法 例1 計算 解 令sinx=u=u3+C u=sinx回代sin3x+C (1) 于是 =(10)= (2) 分析解題過程在(1)式先求出u2的原函數(shù)u3 ，然后作變量回代 得到原函數(shù)sin3x，最后在(2)式中作雙重代換， 在x=0，x=時 以sin0=0， sin=1代入得到定積分注意 當x=0，時， u=sin0=0，u=sin=1 ，如果直接對u2的原函數(shù) u3 作u從0 到1的雙重代換，與變量回代后對sinx從0到的雙重代換， 完全是等效的可見在求定積分時變量回代實屬多

2、余，其實在實施換元 積分限0， u=sinx的同時，也改變原x的為u的對應限0，1，即 =， 能得到同樣結果 在一定條件下，把“換元新元的原函數(shù)回代作雙重代換”得 定積分的過程，改為“換元、換積分限新元的原函數(shù)在新積分限上作雙重代換”得定積分，是可以得到相同結果的 定理1 設(1)f(x)在a，b上連續(xù)；(2)(x)在a，b上連續(xù)， 且(x)0， x(a，b)；(3)(a)=，(b)=，則 令u=(x)，x=au= x=b u= 定理2 設(1)f(x)在a，b上連續(xù)； (2)(t)在，上連續(xù)， 且(t)0， t(，)；(3)()= a，()=b.則 令x=(t)， t=x=at= x=b 注

3、意兩個定理中0的條件，是新、老積分區(qū)間一一對應 的保障，不可忽視，缺少這個條件可能會出現(xiàn)謬誤結果例如 令u=x2;x=1，u=1=0， 實際上， =(x)=x2， (x)=2x在 (1，1)有零點x=0 ，是產(chǎn)生錯誤的原因 例2 計算下列定積分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 解：(1) u= x2;x=0，u=0;x=1，u=1= (2)= 令u=1+x2;x=0，u=1;x=2，u=5如果對不定積分換元法很熟悉，那么未必非要換元u=1+x2，可以直接寫成 = (3)= 令u=cosx;x=0，u=1;x= ，u=0= 如果對不定積分換元法熟悉，可以省卻換元和換積

4、分限過程， 可以直接寫成 = 記住的是“換元變限，不換元限不變”的原則 (4)= (5)令t=，即x=t2，dx=2tdt；當x=1， t=1， x=4，t=2，即 x 從14 t 從12 應用定理2得 = (6)令x=asint， dx=acostdt；當x=0，t=0， 當x=a， t=，即 x 從 0a t從0 應用定理2得 = a2 = = 證 本例所證明的等式，稱為奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質(zhì)在理論和計算中經(jīng)常會用這個結論 從直觀上看，性質(zhì)反映了對稱 區(qū)間上奇函數(shù)的正負面積相消、偶函數(shù)面積是半?yún)^(qū)間上面積的兩倍這 樣一個事實 a圖4-6-1xyOaa圖4-6-2xyOa 例4 計算

5、下列各定積分： (1)；(2) 解：(1)由于是，上的偶函數(shù)， ，是，上的奇函數(shù)， 所以 =+=2+0=2=2 (2)由于x2|x|是1，1上的偶函數(shù)，所以 =2=2= 應用換元公式時應注意:（1）（2）例5 計算解令例6 計算解例7 計算解原式奇函數(shù)例8 計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積定積分的分部積分公式推導二、定積分的分部積分法 例9 計算 解 先用分部積分法求xcosx的原函數(shù)： =xsinx+cosx+C， =xsinx+cosx=11=2 分部與雙重代換同時進行，即以下面方式完成： =xsinx=0+cosx=2， 定理3(定積分的分部積分公式) 設u(x)，v(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則或簡寫為 例10 求定積分：(1)；(2) 解 (1)= =0+2=2 (2)= =(e 2-1）+ =(e 2-1）+ =(e 2-1）+移項得2=(e 2-1）所以 =(e 2-1）2 例11 計算解例12 計算解幾個特殊積分、定積分的幾個等式1、定積分的換元