專題7 第2講 數(shù)形結(jié)合思想

1、3/3第2講數(shù)形結(jié)合思想思想概述數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想數(shù)形結(jié)合思想的應用包括以下兩個方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學問題的本質(zhì)；(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確方法一利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)與方程、不等式問題利用函數(shù)圖象可直觀研究函數(shù)的性質(zhì)，求解與函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題例1已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(|x|，xm，,x22mx4m，xm，)其中m0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_思

2、路分析方程fxb有三個不同的根函數(shù)yfx的圖象和直線yb有三個交點畫函數(shù)圖象答案(3，)解析作出f(x)的圖象如圖所示，當xm時，x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.批注正確作出兩個函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵，直觀是本解法的最大優(yōu)勢例2當x(1,2)時，不等式(x1)2logax恒成立，則底數(shù)a的取值范圍為_答案a|1a2解析設(shè)y(x1)2，ylogax，在同一坐標系中作出它們的圖象，如圖所示若0a1，則當x(1,2)時，(x1)21，,loga21，)解得1a2，所以底數(shù)a的取值范圍為a|1a2方程解的個數(shù)問題可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函

3、數(shù)圖象的交點個數(shù)問題；fxgx可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yfx和函數(shù)ygx圖象的位置關(guān)系問題.方法二利用數(shù)學概念、表達式的幾何意義求解最值、范圍問題向量、復數(shù)、圓錐曲線等數(shù)學概念具有明顯的幾何意義，可利用圖形觀察求解有關(guān)問題；靈活應用一些幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，如斜率、距離公式等例3已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2 C.eq r(2) D.eq f(r(2),2)思路分析求|c|的最大值考慮向量a，b，c的幾何關(guān)系通過幾何意義觀察|c|的最值答案C解析如圖，設(shè)eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,

4、sup6()c，則eq o(CA,sup6()ac，eq o(CB,sup6()bc.由題意知eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()，O，A，C，B四點共圓當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|eq o(OC,sup6()|eq r(2).例4設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點，則點P到點A(1，1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為_答案eq r(5)解析如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1，由拋物線的定義知點P到直線x1的距離等于點P到F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接

5、AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點，此時最小值為eq r(112012)eq r(5).應用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：比值可考慮直線的斜率；二元一次式可考慮直線的截距；根式分式可考慮點到直線的距離；根式可考慮兩點間的距離.方法三幾何動態(tài)問題中的數(shù)形結(jié)合對一些幾何動態(tài)中的代數(shù)求解問題，可以結(jié)合各個變量的形成過程，找出其中的相互關(guān)系求解例5已知拋物線的方程為x28y，點F是其焦點，點A(2,4)，在拋物線上求一點P，使APF的周長最小，求此時點P的坐標思路分析APF的周長最小結(jié)合拋物線定義轉(zhuǎn)化|PF|PQ|結(jié)合圖形觀察三邊關(guān)系求最值解因為(2)284，所以點A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部，如圖，設(shè)拋物線的準線為l，過點P作PQl于點Q，過點A作ABl于點B，連接AQ.則APF的周長為|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，當且僅當P，B，A三點共線時，APF的周長取得最小值，即|AB|AF|.因為A(2,4)，所以不妨設(shè)APF的周長最小時，點P的坐標為(2，y0)，代入x28y，得y0eq f(1,2).故使APF的周長最小時點P的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2).批注通過定義轉(zhuǎn)化|PF|PQ|，利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩次放