高數(shù)數(shù)學(xué)極限總結(jié)

1、函數(shù)極限總結(jié)一.極限的產(chǎn)生極限理論是研究關(guān)于極限的嚴(yán)格定義、 基本性質(zhì)和判別準(zhǔn)則等問題的基礎(chǔ)理 論。極限思想的萌芽可以追溯到古希臘時(shí)期和中國戰(zhàn)國時(shí)期，但極限概念真正意義上的首次出現(xiàn)于沃利斯的無窮算數(shù)中，牛頓在其自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 一書中明確使用了極限這個(gè)詞并作了闡述。但遲至18世紀(jì)下半葉，達(dá)朗貝爾等人才認(rèn)識(shí)到，把微積分建立在極限概念的基礎(chǔ)之上， 微積分才是完善的，柯西最 先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴(yán)格定義(e - 6和e -N定義)。從此，各種極限問題才有了切實(shí)可行的判別準(zhǔn)則，使極限理論成為了微積分的工具和基礎(chǔ)。1二.極限知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.極限定義2oAX f m.x

2、函數(shù)極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的X0某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù) A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e (無論它多么小)，總存在正數(shù) ，使得當(dāng)X滿足不等式 0 |x-Xo| 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式：|f(x) A|那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x) ?當(dāng)X-X0時(shí)的極限，記作 TOC o 1-5 h z 單側(cè)極限：左極限：lim f(x)人或他)a(x左)-X X.右極限：lim f(x) A或 f(x) a(x右)X x定理：lim f(x) A f(x)f(x)a X X0函數(shù)f (X)當(dāng)X X0時(shí)極限存在的充分必要條件是左、右極限各自存在且相等即 f(X0)f(X0) |jm f(x)X X

3、02.極限概念函數(shù)極限可以分成X , X ,X , X X0以X X0的極限為例，f(x)在點(diǎn)X0以A為極限的定義是：對(duì)于任意給定的正數(shù)e (無論它多么小)，總存 在正數(shù)6 ,使得當(dāng)X滿足不等式0 V憂-沏|8時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(X)都滿足不 等式：|f(X)-A| e ,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(X)當(dāng)x-x。時(shí)的極限。函數(shù)極限具有唯一性、局部有限性、局部保號(hào)性 23,存在準(zhǔn)則有些函數(shù)的極限很難或難以直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個(gè)常用的判定數(shù)列極限的定理。準(zhǔn)則I ,如果數(shù)列Xn , yn及Zn滿足以下條件：(1)從某項(xiàng)起，即 n0 N ,當(dāng)n n0時(shí)，有y Xn Zn;(2

4、) ljm yn a ； lim Zn a , XX那么數(shù)列Xn的極限存在，且|jm Xn a X準(zhǔn)則 J 如果(1)當(dāng) X U(x0,r)(或 |x| M )時(shí)，g(x) f (x) h(x) lim g(x) A lim h(x) Al 勺 X X0, X Xo)(X )(X )那么！jm f(X)存在，且等于Ao (X )夾逼定理：(1)當(dāng)！ U(%，r)時(shí)，有農(nóng)(幻4f4加刈?成立(2) (幻一劭=劭=A?,那么，f X0極限存在，且等于A【準(zhǔn)則I ,準(zhǔn)則I 合稱夾逼定理】準(zhǔn)則n：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限f(x)N,準(zhǔn)則R / :設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo的某個(gè)左(右)鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則

5、在X0的左(右)極限f (x ) f x 必定存在3單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)增加(減少)有上(下)界的數(shù)列必定收斂?？挛鳒?zhǔn)則：數(shù)列收斂的充分必要條件是任給0 ,存在N(),使得當(dāng)nN時(shí)，有| Xn Xm | 成立。2極限運(yùn)算相關(guān)法則、定理及推論.設(shè)a、B為同一極限過程下的無窮小0 (無窮小).窮小之積為無窮小0 (無窮小)推論：.常數(shù)與無窮小之積為無窮小.有限個(gè)無窮小之積為無窮小.有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小.函數(shù)極限運(yùn)算法則定理：設(shè) limf(x) 0 , limg(x) B 則lim f(x) g(x) lim f (x) lim g(x) A Blim f (x) ? g(x) lim f(x

6、)?lim g(x) A? B0,則1imf(x)g(x)lim f(x) Alim g(x) B推論1.如果lim f (x)存在,而c為常數(shù)那么lim cf (x) clim f (x)推論 2. f(x) A n N 則 limf(x)n lim f (x) n定理(復(fù)合函數(shù)求極限法則)設(shè)函數(shù)y f g(x)是由函數(shù)u g(x)與函數(shù)y f(u)復(fù)合而成，f g(x)在點(diǎn)x。的某去心鄰域內(nèi)有定義，若lim g(x) u。，lim A且存在。o,當(dāng) x 47 x xox U (x。，0)時(shí)，有 g(x)mx。 -Hx 則om氣lu兩個(gè)重要極限：.|向slnx i TOC o 1-5 h z

7、 .|im (1 -)x e 即若 lim f(x) 0(f(x) 0), xxi則 lim(1 f (x)f(x) e常用等價(jià)無窮?。寒?dāng) x 0 時(shí)，x sin x tan x arctanx arctan x ln(1 x)nx xx . b .燈1 x - , e 1 x , 1 - cosx 一 , (i ax) abx n2計(jì)算極限方法總結(jié)(1)直接帶入求極限2例 1. lim(8x 3x 1)11m 8x2 3x 1lim8x2 lim 3x lim 1x 1x 1x 128limx 3limx 1x 1x 12(2)約零因子求極限例2.求極限limx4 1x 1去?！菊f明】x-1

8、表明x與1無限接近，但x 1。所以x-1這一零因子可以約(x 1)(x 1)(x2 1)2【斛】Im (x 1)iixm(x 1)(x 1) 4(3)分子分母同除求極限(公式法)32例3.求極限l(m篙 【說明】一型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限，可通過分子分母同除來求?！窘狻縧imx3 2 x x 3x3 11 x 1lim 1 3x33-gx【注】(1)般分子分母同除x的最高次方(2)limxnn 1anx_an 1x_mm 1bmxbm 1xa。bom 曳m bn(4)分子(分母)有理化求極限例4.求極限lim (x2 3xx2 1)【說明】分子分母有理化求極限，是通過有理化去除無理式【

9、解】 _ _lim( x2 3x2 1) limxx.x2 1)(, x2 3 , x2 1) x2 3、x2 12lim x2 3 x2例5.求極限iim v，tanx 1x 0【解】limx 0limx 01tan x 1 sin x 1x3lim1tan x sin xx3 , tan x 1 . sin x 1 mx3tanx sin x 1x3 . tanx 1 sin x 1 tan x sin x【注】本題除使用分子有理化方法外，及時(shí) 分離極限式中的非零因子 是解題的關(guān)鍵。(5)應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限【說明】兩個(gè)重要極限是limsin x一1 x1 和 lim(1 2xxx例6.

10、求極限lim 上x x-1【說明】用第二個(gè)重要極限時(shí)主要搞清楚步驟：先湊出1,在湊后湊指數(shù)部分?！窘狻? x1lim 1 x 1lim 1 x 1xx 1x2(6)用等價(jià)無窮小兩代換求極限【說明】(1)常見的等價(jià)無窮小有：當(dāng) x-0 時(shí)，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x ) =ex-1 ,xabx, a 1 xlna (a 0,a 1),12b1-cosx= -x , (1 ax) 2(2)等價(jià)無窮小量代換，只能代換極限式中的 囚式;(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。xln(1 x) 例7.求極限1tm不嬴1m。 xxln(1 x)1 cosxx?

11、x1m 1 X2x2例8.求極限limx 01xln(1 x),3tan xX n SImoxX3n la1 2xsin x x cosx 121則x31m3x21m 3x26(7)用洛必達(dá)法則求極限2、例9.求極限lim1 x 10ln cos2x ln(1 sin x)2x【說明】一和2型的極限，可通過洛必達(dá)法則來求。 0【解】2ln cos2x ln(1 sin x)lim2)lim2sin 2x sin 2x 2cosx 1 sin x2x. sin 2x 211m 2x cos2x11 sin2 x【注】有許多變動(dòng)上限的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解。例10.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，

12、且f(0)0,求極限limx0(x t)(t)dtxx f (x t)dt 0【解】由于xx t u 0f (x t)dt f (u)( du) 0 xxf (u)du 于是0，(8)用對(duì)數(shù)恒等式求lim f (x)g(x)極限例11.求極限lim 12ln(1 x) xx 0 xx 02ln(1 x )limx 0 x2e e2.2 1 ln 1 x2_ 1 ln 1 x lim【斛】lim 1 1n 1 x x 網(wǎng) ex exx 0 x 0【注】對(duì)于1形勢(shì)的未定式lim f(x)g(x),也可用公式lim f(x)g(x)1 elimf(x)1g(x)g(x) lim g (x)ln f (x)因?yàn)?limf(x) elim g(x)ln(1 f (x) 1) lim g(x)( f (x) 1) ee.一1c x例12.求極限lim/t 1【解11原式=則xlne2 cosx一3,2