高考數(shù)學(xué)立體幾何專題

1、專題三立體幾何專題【命題趨向】高考對(duì)空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上，著重考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷及空間角等幾何量的計(jì)算.既有以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的試題，也有以解答題形式出現(xiàn)的試題.選擇題、填空題大多考查概念辨析、位置關(guān)系探究、空間幾 何量的簡(jiǎn)單計(jì)算求解，考查畫(huà)圖、識(shí)圖、用圖的能力；解答題一般以簡(jiǎn)單幾何體為載體，考 查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及空間幾何量的求解問(wèn)題，綜合考 查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.試題在突出對(duì)空間想象能力考查的同時(shí)， 關(guān)注對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，關(guān)注對(duì)條件或結(jié)論不完備情形下的開(kāi)放性問(wèn)題的探究.【考點(diǎn)透析】立體幾

2、何主要考點(diǎn)是柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特 征、三視圖、直觀圖，表面積體積的計(jì)算，空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系判斷 與證明，空間向量在平行、垂直關(guān)系證明中的應(yīng)用，空間向量在計(jì)算空間角中的 應(yīng)用等.【例題解析】題型1空間幾何體的三視圖以及面積和體積計(jì)算例1某幾何體的一條棱長(zhǎng)為 7,在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為J6的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為 a和b的線段，則a + b的最大值為A. 2 2B, 2、3C. 4D. 2 5分析：想像投影方式，將問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)具體的空間幾何體中解決.解析：結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算，如圖設(shè)長(zhǎng)方體的高寬

3、高分別為m, n,k,由題意得 Jm2 +n2 +k2 =用,4m2+k2=J6= n=1,Jl+k2 =a, ,1 +m2 = b,所以(a2 1)+(b2 1) = 6-2.2_22_2_22 一.=a2 +b2 =8, (a+b) =a +2ab+b =8+2ab8 + a +b =16= a+b4當(dāng)且僅當(dāng)a = b =2時(shí)取等號(hào).點(diǎn)評(píng)：本題是高考中考查三視圖的試題中難度最大的一個(gè)，我們通過(guò)移動(dòng)三個(gè)試圖把問(wèn)題歸結(jié)為長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線在三個(gè)面上的射影，使問(wèn)題獲得了圓滿的解決.例2下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是A. 9 bB. 10 冗 C. 11 uD.

4、12 7t正視圖側(cè)視圖O俯視圖分析：想像、還原這個(gè)空間幾何體的構(gòu)成，利用有關(guān)的計(jì)算公式解答.解析：這個(gè)空間幾何體是由球和圓柱組成的，圓柱的底面半徑是1,母線長(zhǎng)是3,球的22.半徑是1 ,故其表面積是 2冗父1父3+2父n父1 +4n父1 =12幾，答案D.點(diǎn)評(píng)：由三視圖還原空間幾何體的真實(shí)形狀時(shí)要注意“高平齊、寬相等、長(zhǎng)對(duì)正”的規(guī)則.例3已知一個(gè)正三棱錐 P - ABC的主視圖如圖所示，若PC =后，則此正三棱錐的全面積為 .分析：正三棱錐是頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱錐，根據(jù)這個(gè)主試圖知道，主試圖的投影方向是面對(duì)著這個(gè)正三棱錐的一條側(cè)棱，并且和底面三角形的一條邊垂直，這樣就知

5、道了這個(gè)三棱錐的各個(gè)棱長(zhǎng).解析：這個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是3、高是J6 ,故底面正三角形的中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離是 3 = : 3 ,故這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是,、,3：62=3,由此知道這個(gè)正32三棱錐的側(cè)面也是邊長(zhǎng)為 3的正三角形，故其全面積是 4 x 32 = 973 ,答案9百.4點(diǎn)評(píng)：由空間幾何體的一個(gè)視圖再加上其他條件下給出的問(wèn)題，對(duì)給出的這“一個(gè)視 圖”要仔細(xì)辨別投影方向，這是三視圖問(wèn)題的核心.題型2空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷例4已知m,n是兩條不同的直線， 久，P為兩 個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若 m_La,n_LP, m_Ln,則a_l_F；若 m/a,n/P,m_Ln,則

6、a / B ；若 m_l_,n/ P,m _Ln,則 ctP ；若 m_L%n/ S 產(chǎn) / P ,則 m _L n .其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號(hào)）分析：根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)作出判斷.解析：我們借助于長(zhǎng)方體模型解決.中過(guò)直線m,n作平面1 ,可以得到平面a,P所成的二面角為直二面角，如圖（1）,故a _L P正確；的反例如圖（2）；的反例如圖（3）；中由m a,a |_| P可得m 1 P ,過(guò)n作平面飛可得n與交線g平行，由于m _L g,故m _1_ n點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)的教材對(duì)立體幾何處理的基本出發(fā)點(diǎn)之一就是使用長(zhǎng)方體模型，本題就是通過(guò)這個(gè)模型中提供的空間

7、線面位置關(guān)系解決的，在解答立體幾何的選擇題、填空題時(shí)合理地使用這個(gè)模型是很有幫助的.例5設(shè)m, n是兩條不同的直線，a, P是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A.若m_Ln,m_Lo（,nP,則口 B .若mo（,nP,aP,則mnC.若 m _La,n P, 口 P ,則 m _L n D .若 m n, mc（, n P，則u P分析：借助模型、根據(jù)線面位置關(guān)系的有關(guān)定理逐個(gè)進(jìn)行分析判斷.解析：對(duì)于a / P ,結(jié)合m _La,n/ P,則可推得m _L n .答案C.點(diǎn)評(píng)：從上面幾個(gè)例子可以看出， 這類空間線面位置關(guān)系的判斷類試題雖然形式上各異， 但本質(zhì)上都是以空間想象、空間線面位置關(guān)系

8、的判定和性質(zhì)定理為目標(biāo)設(shè)計(jì)的，主要是考查考生的空間想象能力和對(duì)線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理掌握的程度.題型3空間平行與垂直關(guān)系的證明、空間幾何體的有關(guān)計(jì)算 （文科解答題的主要題型）例efI_ BDi ；第二問(wèn)轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證6.如圖所示，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD ABC1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn).（1）求證：EF / 平面 ABC1D1；（2）求證：EF_LB1C;（3）求三棱錐VB_EFC的體積.分析：第一問(wèn)就是找平行線，最明顯的就是明；第三問(wèn)采用三棱錐的等積變換解決.解析：（1）連結(jié)BD1,如圖，在ADD1B中,E、F分別為D1D , DB的中點(diǎn)，則EF /DiBD

9、iBu 平面 ABC1D1 H EF/平面 ABC1D1 .EF值平面ABGD(2)B1c _ ABBiC _ BC1AB, BiCu 平面 ABCiDiB1C _L 平面 ABCi Di 1BDi u 平面 ABCi DiB1c _ BDi=：EF _ BiCEF /BDiABD BCi -B(3) ；CF _L平面 BDDiBi , CF _L 平面 EFB1 且 CF = BF = ” ,：EF=1bDi=73, BiF = JbF2 + BB； = J(V2)2+22 ;而,B1E = BD廠DE2 = 12 (2.2)2 =3 EF2 +BF2 = B1E2即/EFB =90,_ 1

10、Vb1 _EFC - Vc _B1EF = S B1EF CF 3i i一EF BiF CF 3 2i i x x73x 疵x 近=i .3 2點(diǎn)評(píng)：空間線面位置關(guān)系證明的基本思想是轉(zhuǎn)化,根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第二問(wèn)是證明線線垂直，但問(wèn)題不能只局限在線上, 要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上(或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上， 證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又得借助于線線垂直,斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的.立體幾何中的三棱柱類似于平面幾何中的三角形，通過(guò) 在不 可以通過(guò)“換頂點(diǎn)”實(shí)行等體積變換，這也是求點(diǎn)面距離的基本方法之一.例7

11、.在四棱錐P -ABCD 中，/ABC =/ACD =900 , /BAC =/CAD =600 , PA _L平面ABCD , E為PD的中點(diǎn)，PA =2AB =2 . (1)求四棱錐P ABCD的體積V;(2)若F為PC的中點(diǎn)，求證 PC _L平面AEF ；(3)求證CE /平面PAB .分析：第一問(wèn)只要求出底面積和高即可； 第二問(wèn)的線面垂直通過(guò)線線垂直進(jìn)行證明； 第 三問(wèn)的線面平行即可以通過(guò)證明線線平行、 利用線面平行的判定定理解決， 也可以通過(guò)./ACM =600.而/BAC=600,PN .證明面面平行解決，即通過(guò)證明直線CE所在的一個(gè)平面和平面 PAB的平行解決.解析：(1)在 R

12、t AABC 中，AB=1/BAC=60 . BC=3, AC=2.在 RtAACD 中，AC =2,/ACD=60, CD =2T3,AD =4.11115 TOC o 1-5 h z . SABCD = AB BC AC CD = 132 2 3=.3 .22222則 V5 .3 2 =5 .,3 . 3 23(2) PA =CA, F 為 PC 的中點(diǎn)， . AF _L PC . PA，平面 ABCD , PA1CD , . AC _L CD , PAQ AC = A, . . CD _L 平面 PAC , CD .L PC . E 為 PD 中點(diǎn)，F(xiàn) 為 PC 中點(diǎn)，. EF / CD

13、，則 EF _L CD , AF。EF = F , PC _L 平面 AEF .(3)證法一：取AD中點(diǎn)M ,連EM ,CM .則EM / PA，: EM 0平面PAB , PA 仁平面PAB ,EM / 平面 PAB .在 RtAACD 中，/CAD =60 , AC =AM =2 ,MC / AB . MC 0平面PAB , AB 仁平面PAB ,MC / 平面 PAB . EM CMC = M , 平面 EMC /平面 PAB . EC u 平面 EMC , EC / 平面 PAB .證法二：延長(zhǎng) DC ,AB ,設(shè)它們交于點(diǎn) N ,連 PN . /NAC =/DAC =600, AC

14、_L CD ,.C為ND的中點(diǎn).E為PD中點(diǎn)，. EC /.EC 遼平面PAB , PN仁平面PAB , EC / 平面 PAB .點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)高考對(duì)立體幾何與大綱的高考有了諸多的變化.一個(gè)方面增加了空間幾何體的三視圖、 表面積和體積計(jì)算，拓展了命題空間；另一方面刪除了 三垂線定理、刪除了凸多面體的概念、正多面體的概念與性質(zhì)、球的性質(zhì)與球面距離， 刪除了空間向量，這就給立體幾何的試題加了諸多的枷鎖，由于這個(gè)原因課標(biāo)高考文科的立體幾何解答題一般就是空間幾何體的體積和表面積的計(jì)算、空間線面位置關(guān)系的證明(主要是平行與垂直)題型4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用例8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCDAB

15、C1D1中，E、F分別為AD9DCG的 中點(diǎn).(1)求證：EF /平面 ACD1 ；(2)求異面直線EF與AB所成的角的余弦值；(3)在棱BBi上是否存在一點(diǎn)P ,使得二面角P-AC P的大小為30：?若存在，求 出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.B【解析】解法一：如圖分別以 DA,DC,DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D -xyz ,由已知得D (0,0,0卜A(2,0,0卜B 2,2,0、C 0,2,0、4 2,2,2、Di (0,0,2 )E(1,0,2 卜、F(0).(1)取 ADi 中點(diǎn) G ,則 G (1,0,1 ),TTCG=(1,-2,1),又 EF =(-

16、1,2,-1 ),由 EF =-CG ,. eF與CG共線.從而EF / CG ,. CG仁平面ACD , EF0平面ACD ,EF /平面 ACD1 .(2) AB = (0,2,0 ),cos：葭彘：=JF5l一 A, |EF|.|AB| 2V63異面直線EF與AB所成角的余弦值為 歷. 3(3)假設(shè)滿足條件的點(diǎn) P存在，可設(shè)點(diǎn)P(2,2,t) (0t 2),平面 ACP 的一個(gè)法向量為n =(x, y,z5皿n AC =0, 不則w I APn AP = 0.=0,2,tACI -2x 2y = 0, = (-2,2,0 ), _/_ 2y tz = 0,2取 n=(1,1,-；).易知

17、平面ABC的一個(gè)法向量 BB1 =(0,0,2),依題意知，： BB1 ,n； =30；或 150 ,| -4|8s BBi，n；.t 4 -y2一 434,即3=(2 + ),解得t =t24t2.6P ,當(dāng)BP的長(zhǎng)為時(shí)，二面角P - AC - B3.6匚(0,2，在梭BB1上存在一點(diǎn) 3的大小為30” 解法二:AC =(-2,2,0 ),(1)同解法一知 EF = (1, 2： )1 , AD =(-2,0,2 ),1EF = AC - ADi , . EF、AC、AD1 共面.又 EF 0平面 ACD1 ,EF /2平面ACD1 .(2)、(3)同解法一.解法三：易知平面 人0的一個(gè)法向

18、量是 DB1=(2,2,2).又EF =(1,2,1 ),由EF DB1 =0 .,EF _L DB1，而 EF 0平面 ACD1 , . EF / 平面 ACD1 .(2)、(3)同解法一.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想像能力、推理論證能力和探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.利用空間向量證明線面平行的方法基本上就是本題給出的三種，一是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的一條直線的方向向量共線，二是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面、根據(jù)共面向量定理作出結(jié)論；三是證明直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直.例9已知幾何體 A-BCED的三視圖

19、如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形.(1)求異面直線 DE與AB所成角的余弦值；(2)求二面角A-ED B的正弦值；(3)求此幾何體的體積 V的大小.A俯視圖(1)取EC的中點(diǎn)是F ,連結(jié)BF ,則BF|_| DE ,/FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE 與 AB 所成的角.在 ABAF 中，AB = 4衣，BF =AF =2 韭.異面直線DE與AB所成的角的余弦值為(2) AC _L平面 BCE ,過(guò) C 作 CG _L DE 交 DE 于 G ,連結(jié) AG .可得DE，平面ACG，從而AG _L DE , ，/AGC為二面角AEDB的平面角.在 Rt M

20、CG 中，NACG =90, AC = 4 ,“8、5、5CG =,tan/AGC =.52Asin . AGC,5一 3面角AEDB的的正弦值為“、1八一一、，.(3) V = Sbced AC =16，幾何體的體積 V 為 16. 3方法二：(坐標(biāo)法)(1)以C為原點(diǎn)，以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則 A(4,0,0), B(0, 4,0) , D(0,4,2) , E(0,0,4 ),T TDE =(0, 42), AB =(-4,4,0),T T . 10cos DE,AB = 5，異面直線DE與AB所成的角的余弦值為 義05(2)平面BDE的一個(gè)法向量為

21、CA = (4,0,0),設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為n=(x, y,z), T . T T Tn _ AD,n _ DE, AD =(-4,4,2), DE -(0, -4,2)二0,二0從而-4x 4y 2z = 0, -4y 2z = 0 ,令 y =1,則：=(2,1,2) , cosCA,n r-2 3二面角A-ED -B的的正弦值為.3，1(3)V ,Sbced AC 16 ,幾何體的體積 V 為 16. 3點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法、考查二面角的求法和多面體體積的求法.空間向量對(duì)解決三類角(異面直線角、線面角、面面角)的計(jì)算有一定的優(yōu)勢(shì).對(duì)理科考生 來(lái)說(shuō)除了要在空間向量解決

22、立體幾何問(wèn)題上達(dá)到非常熟練的程度外，不要忽視了傳統(tǒng)的方法，有些試題開(kāi)始部分的證明就沒(méi)有辦法使用空間向量.題型5距離(點(diǎn)到平面，線與線、線與面、面與面)求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題例10如圖，正三棱柱 ABC MB1cl的所有棱長(zhǎng)都為2, D為CC1中點(diǎn)(I )求證：ABi，平面 A1BD ；(n)求二面角 a_aD _B的三角函數(shù)值；(出)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運(yùn)算能力.解答過(guò)程：解

23、法一：(I )取BC中點(diǎn)O ,連結(jié)AO .ABC為正三角形，,-p AO BC .1正三棱柱 ABC-A1B1cl中，平面 ABC，平面BCGB1,AO 平面 BCCi Bi -連結(jié)BO,在正方形BB1cle中，O, D分別為BC, CCi 的中點(diǎn)，BO BD ,二 ABi BD -在正方形 ABBA中，ABLAB，二AB，平面ABD-(II)設(shè)AB與A B交于點(diǎn)G ,在平面A BD中，作GF，A D于F ,連結(jié)AF ,由(I )得AR，平面A BD -j.AFAD, ，/AFG為二面角 AADB的平面角.在4AAD中，由等面積法可求得 AF =紀(jì)5 ,又 TagJab =6,AG .2 si

24、n/AFG =AF 4_55所以二面角AAD-B的正弦值為 也4（山） AABD 中，BD=AD=T5, AB =272, SA ABD =而，Sabcd =i -在正三棱柱中， A到平面BCCBi的距離為 8.設(shè)點(diǎn)C到平面abD的距離為d .由 VA, _BCD=VC 21BD，付 3 s BCD LT3 = 3 SA A1BD _d 53Sa bcd 2S ABD2，點(diǎn)C到平面ABD的距離為解法二：（I ）取BC中點(diǎn)O, ABC為正三角形，AO 2連結(jié)AO.;在正三棱柱ABC -ABC 中，平面 ABC,平面 BCGBi，二 AD 1 平面 BCCi B -取BG中點(diǎn)O1，以。為原點(diǎn),OB

25、 , OO,，OA的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 B(1,0,0), D(1,1,0), A(0,2,神),A(0,0,察). AB1 =(1,2, - 3)，BD =(-210)，鼠=(-1,2,園V ABi_BD =-2+2+0=0，AB1LJbA =+4-3=0,二 AB1 BD，AB, BA j.ABi,平面 AiBD .（n ）設(shè)平面A1AD的法向量為nKx, y, z).AD=(1,1,73), AA =(0,2,0).AD =0,AA =0,!-x y -：;3z =0, 2y =0，Zfy =0, x - - . 3 z.令7=1得門(mén)=（3,01）為平面

26、A AD的一個(gè)法向量.由（I）知AB1，平面ABD，T、一一，二AB1為平面ABD的法向重面角A-ADB的大小為arccos4（出）由（n） , ab1為平面ABD法向量,；京=（,0,0）,短=（12,同.點(diǎn)C到平面ABD的距離d =吧空_PI =W2 .一 AB1-2.2 2小結(jié)：本例中（出）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法,把不易直接求的 B點(diǎn)到平面AMBi的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面AMBi的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法； 解法一采用了等體積法， 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何 作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法例2. 如圖，已知兩

27、個(gè)正四棱錐 P-ABCDf QABCD勺高分別為1和2, AB=4.（I ）證明PQL平面ABCD（n）求點(diǎn)P到平面QAD勺距離.命題目的：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 .過(guò)程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離 和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一 般方法.解答過(guò)程：方法一 （I）取AD的中點(diǎn)，連結(jié) PM QM 因?yàn)镻- ABCDf Q-ABCDTB是正四棱錐， 所以ADL PM AD QM從而ADL平面PQIM 又PQU平面PQM所以PQL AD 同理PQLAB所以PQL平面 ABCD11（I

28、I） 連結(jié) OM 則 OM =AB=2= OQ.22所以/ MQP45 .由（I）知 ADL平面PMQ所以平面 PMQ平面 QAD過(guò)P作PH, QMF H, PFU平面 QAD從而PH的長(zhǎng)是點(diǎn)P到平面QAD勺距離.3, 2 又 PQ =PO QO =3, PH =PQsin45 =.即點(diǎn)P到平面QAD勺距離是W2.22方法二(I )連結(jié) AC BD 設(shè) AC BD =O .由P-ABCDf Q- ABCDTB是正四棱車B,所以 POL平面ABCD QOL平面ABCD從而P、O Q三點(diǎn)在一條直線上，所以 PQL平面ABCD(n )點(diǎn) D的坐標(biāo)是(0, 2& ,0), AD =(-26,-2五,0

29、),= (0,0,3),設(shè) =(x, y, z)是平面QAD勺一個(gè)法向量，由n AQ =0n AD u0-,2x +z =0 x y =0所以點(diǎn)P到平面QAD勺距離d題型6割補(bǔ)法：割補(bǔ)法主要是針對(duì)平面圖形或空間圖形所采用的一種幾何變換，其主要思 想是把不規(guī)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)則問(wèn)題，這個(gè)方法常常用來(lái)求不規(guī)則平面圖形的面積或不規(guī)則空間幾何體的體積.例6. 1若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3,則其外接球的表面積是 .分析：將其補(bǔ)成一個(gè)正方體.解析：這樣的三棱錐實(shí)際上是正方體被一個(gè)平面所截下來(lái)的，我們考慮在原來(lái)的正方體中解決這個(gè)問(wèn)題.設(shè)原來(lái)的正方體的棱長(zhǎng)為J3,則本題中的三棱錐和原來(lái)的正方體具

30、有同一個(gè)外接球，這個(gè)球的直徑就是正方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)度為73父/3 = 3,即球的半徑是3 ,故這個(gè)球的表面積是 4nf3 1 =9幾.22點(diǎn)評(píng)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐習(xí)慣上稱為“直角三棱錐，它就隱含在正方體之中，在解題中把它看作正方體的一個(gè)部分，在整個(gè)正方體中考慮問(wèn)題，往往能化難為易，起到意想不到的作用.例6. 2如圖，已知多面體 ABC -DEFG中，AB, AC, AD兩兩互相垂直，平面 ABC/ 平面 DEFG ,平面 BEF II 平面 ADGC , AB =AD =DC =2 , AC =EF =1 ,則該多面體 的體積為A. 2B. 4C. 6D. 8分析：這個(gè)幾何體即可以看作

31、兩個(gè)三棱柱拼合而成的，也可以看作是從一個(gè)正方體割下來(lái)的.解析一(割)：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH _LDG于H ,連結(jié)EH ,這樣就把多面體分割成一 個(gè)直三棱柱 DEH -ABC和一個(gè)斜三棱柱 BEF -CHG .于是所求幾何體的體積為1V =$ DEHAD +SAbefDE =一父2父1 X2+I-X2X1 父2=4.2解析二（補(bǔ)）：如圖，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為 2的正方體，那么顯然所求的多面體的體積即為該正方體體積的一半.于是所求幾何體的體積為vM 23 =4 .2點(diǎn)評(píng)：割補(bǔ)法是我們解決不規(guī)則空間幾何體體積的最主要的技巧，其基本思想是利用割補(bǔ)將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則空間幾何體加以解決.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一、

32、選擇題.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（不考慮接觸點(diǎn)）（ ）A. 6,37： B. 18 J3 4二 C. 18 2、13 二D.32 二正叔用左鞅用.某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是（）A. 3.23 B. . 2 3 3 C. 2.2 -3.3D. 3.2-2 3正福用上視圖3.已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為 則此幾何體的外接球的表面積為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，（ ）A.C.16n3B.D.332 Ji3一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45：，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯 TOC o 1-5 h z

33、 形，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A - -B. 1 C. 12D. 2 2 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 222一個(gè)盛滿水的三棱錐容器 S - ABC ,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D, E,F ,且知SD: DA=SE: EB=CF : FS=2:1 ,若仍用這個(gè)容器盛水， 則最多可盛原來(lái)水的（）A 23B. 19C 30D. 2329273127點(diǎn)P在直彳5為2的球面上，過(guò) P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是（ ）A,空B.遮C UD. U5555.正方體ABCD ABCD中，AB的中點(diǎn)

34、為 M ,DD的中點(diǎn)為N，異面直線BM 與CN 所成的角是（）A 30；B. 90；C. 45D. 60：.已知異面直線a和b所成的角為50 P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,b所成角都是30 的直線有且僅有（）A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條.如圖所示，四邊形 ABCD 中，AD/BC, AD= ARN BCD= 45 / BAD= 90,將 ABD沿BD折起，使平面 ABD _L平面BCD ,構(gòu)成三棱錐 A-BCD ,則在三棱錐A BCD中，下列命題正確的是（）A.平面ABD _L平面ABCB.平面 ADC _L平面BDCC.平面ABC _L平面BDCD.平面 ADC _L平面ABC

35、.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：x、y、z均為直線； x、y是直線，z是平面； z是直線，x、y是平面； x、y、z均為平面.其中使“乂，2且丫，2n x / y”為真命題的是（）A. B. C. D. .已知三條不重合的直線 m、n、l兩個(gè)不重合的平面 a、口，有下列命題若 m/ /n, n 二G，則 m/ /二；若 l_Lu, m_LP 且 l|_m,則 a|_|P；若 mu a, mu a, m|_| B ,n _ B ,則 口口 B ；若 s_lP, uP|P=m，nuP, n_Lm,則n_La.中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D, 4.直線AB與直

36、二面角a -l -P的兩個(gè)面分別交于 A,B兩點(diǎn)，且A, B都不在棱上，設(shè)直線AB與平面a, P所成的角分別為 句中，則9十中的取值范圍是A (0,-) B . 0二C.(三，二)D. -2222二、填空題.在三B隹 PABC 中，PA = PB = PC =2 , /APB =/BPC =/CPA = 30 , 一只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)沿三棱錐的側(cè)面繞一周，再回到A點(diǎn)，則螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是.四面體的一條棱長(zhǎng)為 X,其它各棱長(zhǎng)為1,若把四面體的體積 V表示成X的函數(shù)f(x則f(X )的增區(qū)間為,減區(qū)間為.如圖，是正方體平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中： BM與ED平行； CN與BE是異面直線；CN與B

37、M成60角； DM 與BN垂直.以上四個(gè)說(shuō)法中，正確說(shuō)法的序號(hào) 依次是.已知棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCDABC1D1中，E是AB1的中點(diǎn)，則直線 AE與平面 ABCi Di所成的角的正弦值是 .三、解答題.已知，如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖.(1)該空間幾何體是如何構(gòu)成的；(2)畫(huà)出該幾何體的直觀圖；(3)求該幾何體的表面積和體積.如圖，已知等腰直角三角形RBC,其中/RBC=90。，RB = BC = 2 .點(diǎn)A,D分別是RB , RC的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ARAD沿著邊AD折起到A PAD位置，使PA _L AB ,連結(jié)PB、PC .(1)求證：BC _L PB ；(2)求二面角 A-CD -P的平

38、面角的余弦值.RAB1 一.如下圖，在正四梭柱 ABCD - ABC1D1中，AA1 = AB ,點(diǎn)E, M分別為AB,CC1的 2中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A,B,M三點(diǎn)的平面 ABMN交C1D1于點(diǎn)N .(1)求證：EM 平面 ABGD1 ；(2)求二面角BANB1的正切值；(3)設(shè)截面 ABMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1,V2 (V1 V2),求V1 :V2的值.如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面為直角梯形， ADBC ,/BAD = 90： PA垂 直于底面ABCD , PA = AD = AB = 2BC = 2 ,M ,N分別為PC , PB的中點(diǎn).(1)求證：PB _L D

39、M ； (2)求BD與平面ADMN所成的角；(3)求截面ADMN的 面積.如圖，正方形 ACDE所在的平面與平面 ABC垂直， M是CE和AD的交點(diǎn),AC _L BC ,且 AC = BC .(1)求證：AM _L平面EBC ;(2)求直線AB與平面EBC所成的角的大?。?3)求二面角 A EBC的大小.已知斜三棱柱 ABC ABG , / BCA = 90 , AC = BC = 2 , A在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D ,又知BA -L AC1.(1)求證：AC1 _L平面ABC；(2)求CC1到平面AAB的距離；(3)求二面角 A ABC的一個(gè)三角函數(shù)值.【參考答案】1.解析：C該

40、幾何體是正三棱柱上疊放一個(gè)球.故其表面積為3父2父3+2父史乂21 2 3 +4n1- =18+ 2百+兀.422.解析：b這個(gè)空間幾何體的是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為J3的正方形、高為 J3的四棱柱，上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為&的正方形、高為J2的四棱錐，故其體積為3.解析：C由三視圖知該幾何體是底面半徑為 1,高為13的圓錐，其外接球的直徑為4.解析：D如圖設(shè)直觀圖為 OABC,建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則,在原來(lái)的平面圖形中 OC _LOA,且 OC =2 , BC=1, OA = 1+2x =1 + 72 ,21故其面積為-12.2 2 2 ,25.解析：D當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，

41、容器盛水最多Vxde1ssDE h1Vc _SAB1 一 一一SD SE sin DSE h 3SDSE 1TlSASB h23 3 27最多可盛原來(lái)水得42327 27B.解析：A設(shè)三邊長(zhǎng)為x,2 X, y ,則5x2 +y2 = 4 ,令 x =cosG, y =2sin 日,二 3x +y =3卷 cos6 +2sin 日 AC ,即cos6 sin 中=cos . y ,故 B 中,即 e 十中 ,而當(dāng) A B_L l時(shí),2.解析：2金 將如圖三棱錐 P-ABC ,沿棱PA展開(kāi)得圖，螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程應(yīng)是 AA,又: /APB =/BPC =/CPA = 300 , /APA = 90

42、 ,，AA=2jW .盛，*315.解析： 如圖，逐個(gè)判斷即可.f (x) =2癢F ,利用不等式或?qū)?shù)即可判斷. 4.解析： 匯 取CD的中點(diǎn)F ,連接EF交平面ABC1D1于O ,連AO .由已知正方體， 5112易知EO _L平面ABC1D1 ,所以ZEAO為所求.在RtMOA中，EO =- EF =萬(wàn)AD =,AE =1(1)2 +12 =巫，sinZEAO = =.所以直線AE與平面ABCR所成的角.22AE 5的正弦值為工.5AB.解析：(1)這個(gè)空間幾何體的下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正方形高為1的長(zhǎng)方體,上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為 2的正方形高為1的四棱錐.(2)按照斜二測(cè)的規(guī)則

43、得到其直觀圖，如圖.(3)由題意可知，該幾何體是由長(zhǎng)方體 ABCD -ABCD 與正四棱錐P-ABCD 構(gòu)成的簡(jiǎn)單幾何體.由圖易得：A B= A D2 , AA 1 , P O, 取 AB中點(diǎn) Q , 連接PQ ,從而P Q=J PO+ O2 Q= 12力2金,所以該幾何體表面積1S =- AB BC CD DA PQ AB BC CD DA AA AB AD =4.2 12.，一116體積 V=2M2M1+，M2M2M1=W.331 一18.解析：（1） .點(diǎn) A、D 分別是 RB、RC 的中點(diǎn)，AD/BC, AD = 1 BC .2 ./PAD =/RAD=NRBC=90 /. PA 1 AD . PA 1 BC ,. BC _L AB, PA Cl AB = A, . . BC _L 平面 PAB .