高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五立體幾何新人教版

1、【專題五】立體幾何【考情分析】.立體幾何內(nèi)容既承擔(dān)著對邏輯思維能力的考查，又承擔(dān)著對空間想象能力的考查， 常以選擇題、填空題的形式全面考查線線、線面、面面等空間位置關(guān)系，難度適中， 縱觀歷年的高考題一定有一個立體幾何的解答題，考查平行、垂直的證明及面積、 體積的計算等，難度中等，理科還可以以空間向量為工具證明位置關(guān)系或求空間中 的角和距離等.高考的另一個新趨勢是以立體幾何為載體，考查函數(shù)、解析幾何等 的知識交匯點(diǎn)的綜合題.立體幾何考查的重點(diǎn)有：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的側(cè)面積、表面積和 體積、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，三視圖是新教材的內(nèi)容，已經(jīng)成 為了必考的重點(diǎn)知識點(diǎn).等體

2、積轉(zhuǎn)化法、割補(bǔ)思想是該部分考查的主要思想方法.【知識交匯】.充分、必要條件與點(diǎn)線面位置關(guān)系的綜合高考對簡單邏輯用語中的充分、必要條件的考查，主要通過與其它部分的綜合問題出 現(xiàn)，而與立體幾何相綜合的問題最為普遍，通過這種形式主要考查對充分、必要條件 的理解和立體幾何部分的幾何體、點(diǎn)線面的位置關(guān)系等嚴(yán)密性問題.例1 .已知“，3表示兩個不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，則“a _L P ”是“ m _L P ”的()A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件 D .既不充分也不必要條件答案：B解析：由平面與平面垂直的判定定理知，如果m為平面口內(nèi)的一條直線，m_L P ,則口 _L P ；

3、反過來則不一定.所以“ a _L P ”是“ m _L P ”的必要不充分條件.例2.設(shè)a, b是兩條直線，a, 口是兩個平面，則a _L b的一個充分條件是()(A) a_La,bP,aJ_P(B) a_La,b_L P,ot/P(C) a 二菖b _ ：-/-(D) a 二，b二 _ 1答案：C解析：由b_LP, a II P得b_Lu ,又a = u,因此可知b _L a ,故a _L b的一個充分條件是C,選C.解決此類問點(diǎn)評：此類題目主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念.題的關(guān)鍵是弄清楚點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的判定.此類小題是很容易出錯的題目，解答時要特別注意.三視圖

4、與幾何體的面積、體積的綜合空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，識別三視圖所表示的空間幾何體，柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征與新增內(nèi)容三視圖的綜合會重點(diǎn)考查，新課標(biāo)地區(qū)的高考題來看，三視圖是出題的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，屬中等偏易題.隨著新課標(biāo)的推廣和深入，難度逐漸有所增加.例3.右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）俯視圖 正（主）視圖側(cè)（左）視圖答案：D解析：從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的簡單幾何體，其表面及為：S =4冗父12+冗X12 M 2 + 2冗X1父3 =12冗.，故選D. TOC

5、 o 1-5 h z 點(diǎn)評：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積.既要能識別簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，又要掌握基本幾何體的表面積的計算方法.例4.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是 cm3.答案：18卜解析：該幾何體是由兩個長方體組成，下面體積為1 M 3 M 3 = 9,上面匚二|1I的長方體體積為3M3M1 =9,因此其幾何體的體積為 18.1I點(diǎn)評：此題主要是考查了幾何體的三視圖， 通過三視圖的考查充分體現(xiàn)u了幾何體直觀的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法.一健視圖.幾何體與線、面位置關(guān)系的綜合以空間幾何體為載體考查直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直的判

6、定與性質(zhì)定理，能用判定定理和性質(zhì)定理證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面平行或垂直，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題.例5. 正方體 ABCD-ABiCD中O為正方形 ABCDW中心，M為BB的中點(diǎn),求證：(1) DO/平面ABG;(2) DiO面 MAC證明：(1)連ZBDBR分別交 AC,ACO,O1在正方體ABCDABCiDi中，對角面BBiDiD為矩形：O,Q 分別是 BD,BQi 的中點(diǎn)二 BO/ DOi,四邊形BOIDIO為平行四邊形BOI/DIO：DiO 平面 ABG, BQ u 平面 ABCi二 DO 平面 ABG在正方

7、體ABCDABCIDI中，對角面BBDiD為矩形且(2)連結(jié)MO ,設(shè)正方體 ABCDABICIDI的棱長為a,BB =a,BD = .2aO , M分別是BD, BB的中點(diǎn)a.2.BM , BO =OD =aBM BO 二OD - DDI - 2Rt MBO 三 Rt QDD . BOM -DDpBOM +NDQD =90.，即: 在 RUODDi 中，NDDO 十NDOD =90”DIO_ M O在正方體ABCDABQIDI中DDI _L 平面 ABCD :. DDI .L AC又：AC_LBD, DD1nBD = D ，AC，平面 BBQQDiO 仁平面 BBDiD - AC -L DO

8、又 AC。MO = O - DiO -L 平面 MAC點(diǎn)評：證明線面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直，由線線垂直推出線面垂直，證明線線垂直有時要用勾股定理的逆定理.4.空間向量與空間角和距離的綜合用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟：（1）用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之 間的距離和夾我有等問題（進(jìn)行向量運(yùn)算）；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問題）.例6.如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B1cl D

9、中，底面 ABCD為等腰梯形，AB/CD, AB=4,BC=CD=2 AA 1=2, E、E1、F 分別是棱 AD AA1、AB的中點(diǎn).證明：直線EE1平面FC。；求二面角B-FC1 -C的余弦值.解析：解法一：（1）在直四棱柱 ABCD-AB1c1D1中，取AB的中點(diǎn)F1,連接 AD, C1F1, CF1,因?yàn)?AB=4, CD=2,且 AB/CD,/，一所以CD=AF1, A1F1CD為平行四邊形，所以 CF1/A 1D,又因?yàn)镋、EI分別是棱 AR AA1的中點(diǎn)，所以 EB/AQ,所以CF1/EE 1,又因?yàn)镋E1遼平面FCC，CF1 U平面FCC，所以直線EE1/平面FCC .（2）因

10、為AB=4, BC=CD=2 、F是棱AB的中點(diǎn)，所以 BF=BC=CF BCF為正三角形, 取CF的中點(diǎn) 0,則OB CF,又因?yàn)橹彼睦庵?ABCD-AB1c1D1中，CCL平面 ABCD所以CCLBQ 所以0BL平面 CCF,過0在平面CCF內(nèi)作0PLCF,垂足為P,連接BP,則/ 0PB為二面角B-FC1 -C的一個平面角,在 RtCCF 中， 0PSCCF, 1.0P 0FCC1C1F12 .0P= 2 = ，22 222在 BCF為正三角形中， 0B = J3 ,在 Rt OPF 中，BP = JOP2+OB2 = J,+3=14工 _cos ZOPB = 0P - -2 = -7

11、,BP , 1472所以二面角B-FC1-C的余弦值為解法二：（1）因?yàn)?AB=4, BC=CD=2F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF BCF為正三角形,因?yàn)锳BCM等腰梯形，所以/ BAC=/ ABC=60 ,取AF的中點(diǎn)M,連接DM則DML AB,所以DML CD以DM x軸，DC為y軸,DD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 D (0, 0, 0), A(事,-1 , 0), F ( J3, 1, 0), C(-1, 0), Ei (6，-1 , 1),2所以 ee1=（，-：，i），CF =(、.3,-1,0) , CG =(0,0,2) FCi=(，3,1,2)n CF = 0I ：3

12、x _ v = 0設(shè)平面CCF的法向量為n = (x, y,z)則0 T 所以4 y 0 n CCi =0. z = 0取 n=(1, J3,0),則 n31EE1 =13 10122=0,所以 n_LEE1所以直線EEi平面FCq.,K -R FB =0 ,y1 三0I -3x1 y1 2z1(2) FB =(0,2,0),設(shè)平面 BFC的法向量為 n1 =(%,%,乙)，則T 所以 n F 0,取 n1 =(2,0,，則 n n =2黑1 -730 + 073 = 2, 二0|n 尸由 +(石)2 =2,| n尸 &2 +0+(石)2 =/7, 所d 扁17 j由圖可知二面角 B-FC1-

13、C為銳角，所以二面角 B-FC1-C的余弦值為 旦.點(diǎn)評：本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力， 以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力， 向量法求二面角是一種獨(dú)特的 方法，因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)方法的有力補(bǔ)充， 而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的 求二面角問題.向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：先作、證二面角的平面角T OAOBZAOB ,再求得二面角的大小為 arccos | I,；先求一面角兩個半平面的法向重叫，n2g0B（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為arccos ” 或其補(bǔ)n1 In2角；先分別在二面角

14、兩個半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角.【思想方法】【例1】在半徑為13的球面上有A , B, C三點(diǎn)，AB=6, BC=8 CA=10,則球心到平面ABC 的距離為 .答案：12解析：由AABC的三邊大小易知此三角形是直角三角形，所以過 A, B,C三點(diǎn)小圓的直徑即為 10,也即半徑是 5,設(shè)球心到小圓的距離是 d ,則由d2 +52 =132 ,可得d =12 .【分析】該題體現(xiàn)了方程函數(shù)思想的考查，構(gòu)造方程求解立體幾何中的幾何量是考題中經(jīng)常性的問題，其解法一般要根據(jù)題意構(gòu)造方程來求解.【例2】已知二面角a -l- 3為60o ,動點(diǎn)P、Q分別在面a、3內(nèi)，P

15、到3的距離為 J3 , Q到a的距離為2J3,則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）A. 1 B . 2 C . 2V3 D . 4解 析： 如 圖 分 別 作QA_La于A,AC _Ll于C,PB 1 P于B,PD _Ll于 D ,連 CQ,BD則/ACQ=/PBD =60：AQ=26bP = , AC=PD=2又PQ =、AQ2 AP2 = 12 AP2 -2 .3當(dāng)且僅當(dāng)AP=0,即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時取最小值.故答案選C.【分析】該題考查了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何中的最值問題一般要用函數(shù)法或均值不等式法，該題通過構(gòu)造PQ關(guān)于AP的函數(shù)，借助圖象看出當(dāng) 點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時取最小值.【例3】

16、已知正四棱柱 ABCDA1BC1D1中,AAi = 2AB ,E為AA重點(diǎn)，則異面直線BE與CD,所形成角的余弦值為3.1010A里10解析:本題考查異面直線夾角求法，利用平移,CD / BAEBA中/ ABE 即可，易知EB=J2 , AE=1 , AB= 5 ,故由余弦定理求 cos Z ABE=3J010答案:【分析】該題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，對與異面直線的夾角的求解,一種方法是通過這種平移的方法將所求的夾角轉(zhuǎn)化為三角形中的內(nèi)角,通過解三角形即可.另一種是利用空間向量這一工具來求解.【專題演練】1.用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為冗，則球的體積為（A.8、2 二38.

17、2 二32 二.給定空間中的直線l及平面a,條件“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（）條件A.充要B .充分非必要C .必要非充分D .既非充分又非必要. 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）36 12 236 24,2A. 2n +2g B . 4n +273小2,32,3C . 2D . 4二一.設(shè)OA是千O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過 M且與OA成45角的平面截球 O的表面得到圓C若圓C的面積等于,則球O的表面積等于45. 一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為(A) 48+12夜(B) 48+24夜B.如圖，在三棱錐 P-AB

18、C中，/PAB是等邊三角形,/ PAC / PBB90 o(I )證明：ABL PC(n)若PC = 4,且平面PAC，平面PBC , 求三棱錐P-ABC體積.如圖，在四棱錐P_ABCD,底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PA = AD=4, AB =2.以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面 交PD于點(diǎn)M .(1)求證：平面 ABM，平面PCD ;(2)求直線PC與平面ABM所成的角；(3)求點(diǎn)O到平面ABM的距離.【參考答案】.答案：B1,又與球心距離為1= 球的半徑是 J2,解析：截面面積為 n二截面圓半徑為所以根據(jù)球的體積公式知 V球=生蟲_=8應(yīng)，故B為正確答案. 33.答案

19、：C解析：直線與平面 o內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面a垂直，即充分性不成立.因此選C.答案：C解析：該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的，圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為2n ,四棱錐的底面邊長為 衣，高為J3,所以體積為1M (我)2父J3=H3所以該幾何33.答案：8兀解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行運(yùn)算,7H由 S =4 二R2 =4 二(4；4 )2= 8二.14 二5.答案：A解析：棱錐的直觀圖如右，則有PO= 4, OD= 3,由勾股定理，得 PD= 5, AB= 642 ,全面11積為：一X6X6+2X X6X 5+ X672 X4=48+

20、12 2 ,故選 A.226.解析：(I)因?yàn)锳PAB是等邊三角形， NPAC =/PBC =90, 所以 RtAPBC 三 RtAPAC ,可得 AC = BC .如圖，取AB中點(diǎn)D ,連結(jié)PD , CD ,則 PD 1 AB , CD 1 AB ,所以AB _L平面PDC ,所以 AB _L PC .(n)作BE _L PC ,垂足為E ,連結(jié)AE .因?yàn)?RtiPBC 三 RtAPAC , 所以 AE _L PC , AE = BE .= 90.B,ACEB都是等腰直角三角形.由已知，平面 PAC _L平面PBC ,故/AEB因?yàn)?RtMEB 與 RtAPEB ,所以 AAEB,APE由已知PC =4 ,得AE =BE =2 , AAEB的面積S=2 .因?yàn)镻C _L平面AEB ,所以三角錐P-ABC的體積18V =-MSMPC = . 337.解析：方法(一)