計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)第五章概率課件_第1頁
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文檔簡介

1、第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件1.1 隨機事件一隨機試驗與隨機事件二事件的關(guān)系與運算三事件運算滿足的運算律1第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件一隨機試驗與隨機事件 自然界中出現(xiàn)的現(xiàn)象,可分為兩大類。一類為確定性現(xiàn)象,另一類為隨機現(xiàn)象。 所謂確定性現(xiàn)象,是指一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。例如:物體在重力作用下,必然下落。在標準大氣壓下,水加熱到100度,必然沸騰。 隨機現(xiàn)象是指在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。例如:投擲一枚硬幣,可能是國徽朝上,也可能是字朝上。同一個射手打靶,可能中靶,也可能是脫靶。在中靶的前提下,所中的環(huán)數(shù)也不一定相同。諸如

2、此類的現(xiàn)象統(tǒng)稱為隨機現(xiàn)象。2第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件一隨機試驗與隨機事件定義5.1.1:滿足下列條件的試驗稱為隨機試驗。(1) 試驗可在相同的條件下重復(fù)是進行;(2) 每次試驗結(jié)果不止一個,這些結(jié)果驗前就是已知的;(3) 試驗前不知道會出現(xiàn)什么具體結(jié)果。 3第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件一隨機試驗與隨機事件 在這個試驗中,摸球可重復(fù)進行,每次試驗的結(jié)果有4種,具體摸到哪種球,試驗前并不清楚。這個試驗就是典型的隨機試驗。 隨機試驗簡稱為試驗。每次試驗的一個可能結(jié)果稱為一個基本事件或一個樣本點,記為 。以全部樣本點為例5.1.1:摸球模型:

3、設(shè)袋中有10個球,每個球上大小,形狀,重量都相同。這10個球上,每個球上標有一個數(shù)字。其中標數(shù)字1的有1個,標數(shù)字2的有2個,標數(shù)字3的有3個,標數(shù)字4的有4個。從中任取一球觀察其標號,看后放回。4第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件一隨機試驗與隨機事件為元素構(gòu)成的集合稱為樣本空間或基本事件空間,記為 在隨機試驗中,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,稱為隨機事件。隨機事件又稱為事件。一般用大寫字母表示隨機事件,譬如AB,C,或 ,等,也可以用語言描述再加花括號表示事件。如出現(xiàn)反面,取到的產(chǎn)品為正品。 隨機試驗中必然會發(fā)生的事件稱為必然事件,記為;隨機試驗中必然不發(fā)生的事件稱為不可

4、能事件,記為。習(xí)慣上這兩種事件也稱為隨機事件。 5第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 考察試驗E:向一個長方形的盒子中,任意投擲小球,且小球必定落入中。中的每一個點對應(yīng)一個基本事件。對應(yīng)必然事件,若小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi),則稱事件A發(fā)生。否則稱事件A不發(fā)生。這個試驗建立了事件與集合之間的聯(lián)系,給出了事件的幾何說明,如圖516第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件定義5.1.2:若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件B包含事件A。記為A B或B A 在試驗E中,若區(qū)域A在區(qū)域B內(nèi),這就意味著,如果小球落入A中必然落入B中,即,若事件A發(fā)生必然

5、導(dǎo)致事件B發(fā)生。(圖52)因此,集合A是集合B的子集。 顯然,事件A與事件B相等當且僅當事件A包含事件B,且事件B包含事件A。即A=B A B且B A二事件的關(guān)系與運算 7第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 例5.1.2:擲骰子,B=出現(xiàn)偶數(shù),A=出現(xiàn)2,4點 則A B 。 定義5.1.3:事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的和事件。記為A+B 或AB。 在試驗E中,如果小球至少落入?yún)^(qū)域A或區(qū)域B中的一個區(qū)域,表示事件A與事件B至少有一個發(fā)生。 AB是由事件A與事件B所包含的所有基本事件構(gòu)成的。區(qū)域A與B的并集AB對應(yīng)A與B的和事件。圖

6、53。8第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 和事件的概念可以推廣:事件 至少有一個發(fā)生的事件稱為事件 的和事件。記為 或 。定義5.1.4:事件A與事件B同時發(fā)生的事件稱為A與B的積事件。記為AB,或AB。 在試驗E中,如果小球不僅落入?yún)^(qū)域A中,而且落入?yún)^(qū)域B中,即小球落入A,B的公共區(qū)域,表明事件同時發(fā)生。區(qū)域A與區(qū)域B的交集AB(圖54的陰影部分)對應(yīng)A與B的積事件。9第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 積事件的概念也可以推廣:事件 同時發(fā)生的事件稱為 的積事件。記為 或 。定義5.1.5:A發(fā)生且事件B不發(fā)生

7、的事件稱為事件A與事件B的差事件,記為AB。 在試驗E中,如果小球落入?yún)^(qū)域A中,且不落入?yún)^(qū)域B中,則稱事件A與B的差事件發(fā)生了。差集A-B(圖55中的陰影部分)。與事件A與B的差事件相對應(yīng)。 10第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 例5.1.3:擲一枚骰子,A=出現(xiàn)偶數(shù);B=出現(xiàn)小于5的數(shù);A-B=出現(xiàn)6,B-A=出現(xiàn)1,3定義5.1.6:若事件A與事件B不能同時發(fā)生,即AB=,則稱事件A與事件B為互斥事件(或互不相容事件)。 對于n個事件 , 如果當ij時,總有,則稱 為兩兩互斥。 在試驗E中,如果區(qū)域A與區(qū)域B相分離(圖5-6),即,區(qū)域A與區(qū)域B沒

8、有公共區(qū)域。這樣小球不可能既落入11第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 區(qū)域A中又落入?yún)^(qū)域B中,因此事件A與B不能同時發(fā)生。區(qū)域A與區(qū)域B的交集為空集,即AB=與事件A,B互斥相對應(yīng)。 事件A不發(fā)生,這個事件稱為A的對立事件,記為。在試驗E中,如果小球落在區(qū)域A外,就稱A的對立事件發(fā)生了,A的對立事件與集合A的補集相對應(yīng)(圖57中的陰影部分)12第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 定義5.1.7:如果A+B=且AB,則稱事件A與事件B互為對立事件。 由互斥事件與對立事件的定義可知,對立事件是互斥事件的特例,即若兩個

9、事件相互對立,必然互斥,反之不然。 A,B互斥,則事件A,B在一次試驗中不能同時發(fā)生。但可以同時不發(fā)生。例如,在試驗E中,若A,B互斥,則小球不能既落入A區(qū)域又能落入B區(qū)域。但可以既不落入A區(qū)域又不落入B區(qū)域。若A與B相互對立,即,則在一次試驗中A,B不能同時發(fā)生,也不能同時不發(fā)生。即在任何一次試驗中,A與B都有且僅有一個發(fā)生。13第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件二事件的關(guān)系與運算 例5.1.4:擲一枚骰子,設(shè) 表示擲出的點為i,則,樣本空間 , i = 1,2,3,4,5,6 稱為基本事件。設(shè)A=擲出的點為2點或3點,或4點,B=擲出的點為奇數(shù),則A可記為 ,B則可記

10、為 事件A與B的和事件,類似的,A與B的積事件 即擲出的點恰為3點。A與B的差事件擲出的點為2或4,A的對立事件 ,表示擲出的點為1點或5點,或6點。14第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件三事件運算滿足的運算律1交換律: ;2結(jié)合律: ;3分配律: ;4摩根律: ;例5.1.5:設(shè)A,B,C,表示三個隨機事件,以A,B,C的運算表示下述事件1)僅A 發(fā)生。 可用 表示;2)A,B,C都不發(fā)生。可用 表示;3)A,B,C恰好有一個發(fā)生。可用 表示。15第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.1 隨機事件三事件運算滿足的運算律例5.1.6:某射手向同一目標射擊,連發(fā)三槍。

11、設(shè) 表示第槍擊中目標,則樣本空間有8個樣本點:16第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率1.2 隨機事件的概率一概率的定義與性質(zhì)二古典概型:(古典概率模型)三概率的性質(zhì)17第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率一概率的定義與性質(zhì) 隨機試驗在一次試驗中是否發(fā)生是不確定的,但這僅是隨機現(xiàn)象的一個方面,更重要的是隨機現(xiàn)象具有規(guī)律性,可以通過大量重復(fù)的試驗揭示這種規(guī)律性。 在一定的條件下,設(shè)事件A在N次試驗中發(fā)生k次,比值 稱為事件A在試驗中發(fā)生的頻率。定義5.1.8:在多次重復(fù)試驗中,若事件A發(fā)生的頻率在常數(shù)P附近擺動,且擺動的幅度隨試驗次數(shù)增加逐漸減

12、小,則稱此常數(shù)P為事件A發(fā)生的概率,記為P(A)。18第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率 概率的這種定義稱為概率的統(tǒng)計定義。 事件A的概率,就是事件A發(fā)生可能性大小的度量。當重復(fù)試驗次數(shù)增加時,如果事件A的頻率圍繞一個固定的數(shù)值p作微小的擺動,這個數(shù)值p稱為事件A的概率。 一概率的定義與性質(zhì)19第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率二古典概型:(古典概率模型) 概率是通過大量重復(fù)試驗中頻率的穩(wěn)定性來定義的,但不能認為概率取決于試驗,一個事件發(fā)生的概率完全由事件本身確定,是客觀存在的,但可以通過試驗解釋其概率。 有一類簡單而又常見的實際問題,只

13、要通過邏輯思維即可直接計算概率。這種概率問題是概率論最早研究的問題,稱為古典概型。20第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率二古典概型:(古典概率模型)定義5.1.9:具有下列兩個特點的概率模型稱為古典概型。1)隨機試驗出現(xiàn)有限個基本事件。2)每個基本事件發(fā)生的可能性相同,即每一個基本事件的概率相等, 例5.1.1給出的摸球模型就是典型的古典概型事件。 設(shè)古典概型的一個試驗共有n個基本事件。事件A含有m個基本事件因為在在每次試驗中,每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,都是 ,因此事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為 。即 其中:k是A中包含的基本事件總數(shù),N是基本事件總數(shù)。21

14、第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率三概率的性質(zhì)1)0P(A)1 , P()=0 , P()=12)若P(AB)=,則(A+B)=P(A)+P(B)推廣,如果 互斥,則3)4)如果(即A是B的真子集)則P(B-A)=P(B)-P(A)。5)如果A與B為任意兩個事件,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)推廣,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)22第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率三概率的性質(zhì)例5.1.7:從0,1,2,9 這十個數(shù)字中,隨機地抽取一個數(shù)字,求取到奇數(shù)的概率

15、。解:令 , =0,1,2, ,9 , |=10A=取到的數(shù)字為奇數(shù) |A|=5 23第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率三概率的性質(zhì)例5.1.8:箱中有100件產(chǎn)品,其中有3件次品。從中任意抽取5件,求下列事件的概率:1) A=恰有一件次品 2)B=沒有次品 3)C=至少有一件次品解:從100件產(chǎn)品中任意抽取5個產(chǎn)品,共有 種抽取方法,即基本事件總數(shù), )A=有一件次品,4件正品這一事件包含的基本事件可以這樣計算:分兩步進行。第一步,從3個次品中取出1個,有種取法。第二步,從97個正品中取出4件,共有 種取法。24第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機

16、事件的概率三概率的性質(zhì)因此2)B=取到的都是正品,即從97 件正品中取出5件。所以,3)求P(C) 有兩種方法。法1:設(shè)表示取出的5件產(chǎn)品中恰有件次品。0,1,2,3, 且 互斥。 中所含的基本事件總數(shù) 25第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率三概率的性質(zhì)C中所含的基本事件總數(shù) 法: 至少有一件次品的對立事件為沒有次品。即事件C的對立事件是B.所以P(B) =1P(B)=1-0.8560=0.144026第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.2 隨機事件的概率三概率的性質(zhì)例5.1.9:100件產(chǎn)品中有3件次品,從中連續(xù)取兩次,每次1件,考慮兩種情況1) 不放回地

17、抽?。旱谝淮稳∫患?,不放回,第二次再取一件。2) 有放回地抽取:第一次取一件,檢查后放回,第二次再取一件。在上述兩種情況下,求第一次取正品且第二次取次品的概率。解:設(shè)第一種情況的事件為A , 設(shè)第二種情況的事件為B。 1)第一種情況的基本事件總數(shù)為事件A中所含的基本事件總數(shù)為: 2)第二種情況的基本事件總數(shù)為 事件B中所含的基本事件總數(shù)為: 27第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性1.3 條件概率與事件的獨立性一條件概率與乘法公式二全概公式與貝葉斯公式三事件的獨立性28第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性一條件概率與乘法公式條

18、件概率就是在附加一定條件下之下所計算的概率。附加條件一般是指某事件已發(fā)生。定義5.1.10:如果A,B是隨機試驗的兩個事件,且P(B)0。則稱事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,記為P(A|B)求條件概率可以按照古典概型的概率來求。設(shè)樣本空間中共有n個基本事件。A,B中分別包含k,s個基本事件,而AB包含m個基本事件數(shù)。注意到“在B發(fā)生的條件下A事件發(fā)生”與“A,B事件同時發(fā)生”這兩個事件包含的基本事件是一樣的,因此有:29第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性又 因此可推出計算條件條件概率的公式:設(shè) P(B)0 則由條件

19、概率公式可推出乘法公式:P(A B)=P(A|B)P(B)乘法公式可以推廣:一條件概率與乘法公式30第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性例5.1.10:盒子中有6個正品4個次品,從中不放回地任取兩次,每次一個。若已知第一個是正品。求第二個也是正品的概率。一條件概率與乘法公式解:法設(shè) 法:(直接求法) 31第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性一條件概率與乘法公式例5.1.11:有2個白球3個黑球,從中不放回地依次取出兩個,求A=取出的兩個球都是白球的概率。解:法:古典概率法 法:(用概率乘法公式) 令=第次取得的球為白球 1,2

20、,由乘法公式: 32第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式利用概率的加法公式和乘法公式可以導(dǎo)出兩個重要公式:全概公式和貝葉斯公式。定義5.1.11:若事件 兩兩互斥,且在它們的和事件為必然事件。即 , 則稱 為完備事件組。 完備事件組可以看作把樣本空間 做劃分。完備事件組中的每個事件都至少含有一個樣本點,兩個不同的事件都是互斥事件;所有事件的和事件恰為 (必然事件)。如果將樣本空間看作集合,完備事件組中的事件都不是空集 ,且有 時總有33第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.1

21、2:擲一枚骰子 , , 是 的一個劃分。圖5-8 (1) 也是 的一個劃分圖5-8(2) 34第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式定理5.1.1:(全概公式)若事件 為完備事件組,且 ,則對任意一個事件B,有 這個公式稱為全概公式,全概公式可以這樣理解:事件B的概率被分解為若干部分的概率之和。在較復(fù)雜的前提下,不易計算P(B),但事件B往往伴隨某些完備事件組 發(fā)生而發(fā)生。適當?shù)貥?gòu)造完備事件組,是準確使用全概公式的關(guān)鍵35第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.13:袋中有7個新

22、球3個舊球共10個球。甲從中先取一球不放回,乙再從中取出一球。 求:乙取得新球的概率。 解:設(shè)A甲取得的球為新球,則 =甲取得的球為舊球;B=乙取得的球為新球,A與 構(gòu)成完備事件租 36第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.14:一批元件中,有95一等品,4二等品,1三等品。它們能工作5000 小時的概率分別為90,80,70。求任取一個元件,可工作5000小時上的概率。解:令 。 構(gòu)成完備事件組。設(shè)A=取到的元件能工作5000小時以上37第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式

23、定理5.1.2:設(shè) 為完備事件組。B為任意事件. 則:證:由乘法公式得:P(B)=P(B)P(|B)=P()P(B|) 從而 再把全概公式代入上式,便有: 38第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.15:一個工廠有甲,乙,丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,每個車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的025,035,040,每個車間產(chǎn)品的一等品率分別為50,40,20。從全廠產(chǎn)品中任取一件,求1)產(chǎn)品為一等品的概率。2)若該產(chǎn)品確為一等品,求它由甲,乙,丙車間生產(chǎn)的概率分別為多少?解:設(shè): 抽到的產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn) ; 抽到的產(chǎn)品由乙車間生產(chǎn); 抽到的產(chǎn)品

24、由丙車間生產(chǎn)。 , , 構(gòu)成完備事件組。A=抽到的產(chǎn)品為一等品39第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式由已知: 40第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.16:電報信號由“ ”和“”組成。設(shè)發(fā)報臺發(fā)“”與“”之比為3:2。由于干擾,發(fā)“”時失真概率為02,發(fā)“”時失真的概率為01。若收報臺收到信號“”,求發(fā)報臺確實發(fā)出“”的概率。解:設(shè):B=發(fā)報臺發(fā)“” , =發(fā)報臺發(fā)“” ,A=收報臺收“”,B與 構(gòu)成完備事件組。由已知,P(B)=06 , , P(A|B)=0.8 , 4

25、1第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式例5.1.17:在一個小盒子里面由10個兵乓球。其中7個新的,3個舊的,每次比賽從中取出兩個,賽后放回,求1) 第二次比賽取出的兩個球都是新球的概率。2)如果第二次比賽取出的兩個球都是新球,求第一次取出兩個球都是舊球的概率。解:設(shè)=第一次取出的2個球中有i個新球。 ,i=0,1,2顯然, 構(gòu)成完備事件組。42第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性二全概公式與貝葉斯公式設(shè)B=第二次取出的2個球都是新球。43第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨

26、立性三事件的獨立性定義5.12:若P(AP)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立。簡稱為A,B獨立。 顯然,A,B相互獨立的充要條件為A發(fā)生的概率等于B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率,也等于B不發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率。即:A,B相互獨立 P(A)=P(A|B)=P(A| ) P(B)=P(B|A)=P(B| )定理5.3:給定事件A與B,P(A)0 , P(B)0 ,A,B相互獨立當且僅當P(A)=P(A|B),當且僅當 P(B)=P(B|A)44第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性推論:如果A,B相互獨立,則A與 , 與B, 與 都相互獨立。由定

27、理以及推論可知,若A , B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)(兩個相互獨立事件的積事件概率的求法)2 P(A+B)=(兩個相互獨立事件的和事件概率的求法)45第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性例5.18:袋中有兩個白球三個黑球。從中有放回地連取兩次,每次取一個。求A=兩次取出的球都是白球的概率解:法1(古典概率解法)基本事件總數(shù)法2設(shè) 有放回地抽取, 相互獨立。P()=P()P()=0.40.4=0.1646第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性例5.1.19:某工人操作甲,乙兩臺沒有聯(lián)系的

28、自動豐床,這兩臺車床在某段時間里停車的概率分別為0.15,0.2。求這段時間里至少有一臺不停車的概率。解:設(shè) A=甲車床不停車,B乙車床不停車。顯然,A,B相互獨立。由已知:P(A)=0.85 , P(B)=0.8 法1:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)P(A)P(B) =0.85+0.80.68=0.97法2: 47第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性 將相互獨立事件的概念推廣:設(shè) 是n個事件,若 和任意k個整數(shù) 有: ,則稱相互獨立,簡稱 獨立。 由定義可知,n個事件 的獨立性要求:在這n個事件中,任取2個3

29、個,,k個,,n個。都滿足獨立事件的概率乘法公式。 兩個以上相互獨立事件概率的計算也可以由兩個相互獨立事件概率計算推廣。 設(shè) 相互獨立,則48第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性例5.1.20:三門高射炮對一敵機一齊各射一炮,它們命中的概率分別是0.1,0.2,0.3求1)敵機被擊中的概率。 2)敵機恰中一彈的概率。解: 設(shè)第 i 門炮擊中敵機,1,2,3由已知,P()=0.1 , P()=0.2 , P()=0.31)設(shè)A=敵機被擊中,49第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性2)設(shè)B=敵機恰中一彈

30、 , 50第五章 概率論 第一節(jié) 隨機事件與概率 1.3 條件概率與事件的獨立性三事件的獨立性例5.1.21:設(shè)電路如圖(5- 9)所求,其中1,2,3,4為繼電器接點。各繼電器接閉合與否相互獨立。節(jié)點閉合的概率為p,求L至R為通路的概率。解:設(shè) A=由L至R為通路 51第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量2.1離散型隨機變量一隨機變量的概念二離散型隨機變量的分布列三貝努力概型及二項分布四泊松分布52第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量一隨機變量的概念定義5.2.1:在某個隨機試驗中,若存在一個變量,依試驗的結(jié)果(即試驗中出現(xiàn)的基本事件)而取

31、得不同的數(shù)值,則稱這個變量為隨機變量。 定義5.2.2:離散型隨機變量:如果隨機變量X能取的數(shù)值為有限個或無窮可列個,即所有可能取的數(shù)值能按照一定順序排列起來,則稱隨機變量X為離散型隨機變量。 如果隨機變量X的所有可能值不能按照一定的順序排列起來,則稱X為非離散型隨機變量。非離散型隨機變量的范圍很廣,情況也比較復(fù)雜,其中最重要的,最常用的是連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型隨機變量可以在某一區(qū)間內(nèi)任意取值。53第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量二離散型隨機變量的分布列定義5.2.3:把離散型隨機變量X的一切可能取的數(shù)值以及它相應(yīng)的概率(1,2),列成如表5-1. P 稱此表為離

32、散型隨機變量X的概率函數(shù)或者概率分布列,簡稱為分布列,概率分布表。概率函數(shù)具有下列基本性質(zhì)54第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量例5.2.1:袋中有2個白球3個黑球。每次從中任取一球,直到取到白球為止。設(shè)X為取到白球時的次數(shù)。在下列兩種情況下,求X的分布列。1)每次取出的黑球不放回。 2)每次取出的黑球仍放回去。二離散型隨機變量的分布列解:1)每次取出的黑球不放回,X1,2,3,455第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量X的分布列如表5-2: X 1 2 3 4 P 0.4 0.3 0.2 0.1二離散型隨機變量的分布列2)每次取出球后放回

33、,X可能值為一切正整數(shù),且每次抽球是相互獨立的。X的分布列如表5-3: X 1 2 3 nP0.4 0.40.656第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量三貝努力概型及二項分布定義5.2.4:如果(1) 在確定的條件下,可進行n次獨立重復(fù)試經(jīng);(2) 每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果A與;(3) 這n次試驗都是相互獨立的,即每次試驗結(jié)果與其它各次試驗結(jié)果無關(guān)。則稱這n次重復(fù)獨立試驗為n重貝努力試驗,這種概率模型稱為貝努力概型。設(shè)X為n次貝努力試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個隨機變量,如果事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為P,則稱隨機變量X服從參數(shù)為n , p 的貝努力分布,記

34、為XB(n , p)57第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量三貝努力概型及二項分布下面討論貝努力概型的概率計算設(shè)P(A)= p,即每次試驗事件A發(fā)生的概率為P,則在n次試經(jīng)中,事件A恰好發(fā)生m次的概率,記為。 例如在3次重復(fù)獨立試驗中,事件A恰好發(fā)生兩次,這要分為這樣幾種情況。第一次發(fā)生第二次發(fā)生,第三次不發(fā)生;第一次發(fā)生第二次沒發(fā)生,第三次發(fā)生;第一次沒發(fā)生,第二次發(fā)生,第三次發(fā)生。若設(shè)表示第i次事件A發(fā)生,則表示第 i 次事件A不發(fā)生,從而上述事件則可表示為: 58第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量三貝努力概型及二項分布定理5.2.1:

35、設(shè)一次試驗中事件A發(fā)生的概率為P(0p0, 則稱X從參數(shù)為的泊松分布,記為XP () 如果一個隨機變量的取值在時間或空間上是隨機的,則此隨機變量服從泊松分布。在社會經(jīng)濟活動中,對各種服務(wù)需求或排隊現(xiàn)象,如在某一段時間內(nèi)用戶對電話臺的呼叫次數(shù),候車的人數(shù),這些在時間上是隨機的,因此服從泊松分布。某一路口在一段時間中通過的汽車數(shù)。一個鑄件上的砂眼數(shù),一株果樹的害蟲數(shù),一匹布上的疵點數(shù),一頁書上的差錯數(shù)在空間上是隨機的,也服從泊松分布。按定義計算泊松分布的概率較繁。在實際計算中可根據(jù)事先列出的表格,查表求值。67第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布例5.2.8:每

36、分鐘某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)XP (3),求任意一分鐘電話交換臺收到的呼叫次數(shù)超過2次的概率。解:由已知XP (3),求P(X2)法1:P(X2)=1P(X2)=1P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)法2查表:P(X2)=1P(X2)=1P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=10.04 98+0.1494+0.2240=0.576868第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布例5.9:某交通路口每輛車載人數(shù)服從的泊松分布,現(xiàn)任意觀察一輛能過該路口的汽車試求下列各種情況下概率。1) 車中無人; 2) 車中只有人。3) 車中有人。4) 車中超過人。解:本題

37、中,參數(shù) 已知,可根據(jù)公式直接計算概率。69第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布給出二項分布和泊松分布的關(guān)系定理定理5.2.2:設(shè)隨機變量XB(n,p), 則當n充分大時,記np,則XP()即 這個定理說明:當n很大而P較小時可用泊松分布的計算替換二項分布的概率計算。70第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布例5.2.10:用步槍射擊敵機,每次命中的概率為分p=0.001,今射擊6000次,試求擊中敵機兩彈或兩彈以的概率。解:設(shè)X為擊中敵機的子彈數(shù),則XB(6000 , 0.001)因為n很大,而p較小,所以,我們用泊松分布

38、近似計算, np = 6 XP(6)本例如使用二項分布計算兩個答案相比較,當精確到小數(shù)點四位后都是0.982771第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布例5.11:已知螺絲釘生產(chǎn)中廢品率為0.015問一盒至少裝多少只才能保證每盒中有100只以上的好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?.90 ?解:設(shè)應(yīng)裝100+x只,則問題就是求最小的x,使廢品數(shù)不超過x只的概率大于等于90%。設(shè)X表示一盒螺絲釘廢品數(shù), 則 利用泊松近似,求最小的x,使:PX=0+PX=1+PX=2+PX=x查表: 1.5 PX=0=0.223130 , PX=1=0.334695 , PX=2=0.2510

39、21 , PX=3=0.12551072第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.1離散型隨機變量四泊松分布而 0.223130+0.334695+0.251021+0.125510=0.9345360.90所以,只要在盒中放入103 個螺絲釘即可。73第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.2 連續(xù)型隨機變量2.2 連續(xù)型隨機變量一連續(xù)型機變量的概念二連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì)三均勻分布四正態(tài)分布五指數(shù)分布74第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.2 連續(xù)型隨機變量一連續(xù)型機變量的概念 連續(xù)型隨機變量可取某區(qū)間內(nèi)任何一個數(shù)值。設(shè)是連續(xù)型隨機變量的任意一個可能值,則X=是試

40、驗的一個基本事件。如果按照離散型隨機變量定義這個事件的概率將會遇到下列兩個問題,首先,X=是指在一定精度下有X=,如果精確度要求到小數(shù)點后1000位,仍有X=嗎?這是根本無法回答的問題。其次,就算是在精確度到小數(shù)點后1000位仍有X=,但此處的概率是個什么數(shù)值?X對的某鄰域內(nèi)的x,PX=x又如何取值呢?仍然難以回答。還有,將連續(xù)型隨機變量的一切可能值按照一定次序排列并寫出來,也是一個不能逾越的障礙。75第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.2 連續(xù)型隨機變量一連續(xù)型機變量的概念定義5.2.7:設(shè)隨機變量X可取某個區(qū)間(c , d) 內(nèi)中的一切值,而且可以找到非負可積函數(shù)f(x)使得 ,

41、則稱X是連續(xù)隨機變量。f (x)稱為X的分布密度。其中(a ,b)是(c ,d)的一個子集。 由定義可以看出,對連續(xù)型隨機變量X, 也就是說,連續(xù)型隨機變量在任何一點的概率都為0。即76第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.2 連續(xù)型隨機變量二連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì)1f (x)0;23PaXb=4PX=a=0從而,可推出Paxb=PaXb=Pa0 ,則稱隨機變量X是服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為XE()。指數(shù)分布的密度函數(shù)f(x) 的曲線如圖5 -12所示。 指數(shù)分布常用作各種壽命分布的近似,動物的壽命,無線電元件的使用壽命,電話中的通話時間,隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等。 84第五章

42、 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.2 連續(xù)型隨機變量四正態(tài)分布例5.2.14:已知某電子元件的壽命 求這種電子元件能使用1000小時以上的概率。解: 85第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 2.3 分布函數(shù)一分布函數(shù)的概念二正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計算86第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念定義5.2.11:設(shè)X是一個隨機變量,x為任意實數(shù),稱函數(shù) F(x)=PXx 為X的分布函數(shù)。F(x)就是事件“”的概率,是x的一個實函數(shù)。對任意實數(shù) 有:故 因此若已知X的分布函數(shù)F(x),就能知道X在任何一個區(qū)間上取值的概率。從這個意

43、義上說,分布函數(shù)完整地描述了隨機變量變化情況。87第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念F(x)具有下列性質(zhì):1 對一切 成立;2 F(x) 是不減函數(shù);3 ;F(x)至多有可列個間斷點,而在其間斷點上也是右連續(xù)的。88第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念例5.2.15:離數(shù)型隨機變量的分布列如表-所示: 0.1 0.3 0.4 0.2 P 3 2 1 0 X1)求X的分布函數(shù) 2)畫出F(x) 的圖象 3)求Px0.5;P0.5X2.1 ;P1.5X4.1。解:1)求X的分布函數(shù)x0時 F(x)=PXx=0 0 x

44、1時 F(x)=PXx=0.2 ; 1x2時 F(x)=PXx=0.6 2x3時 F(x)=PXx=0.9 ; 3x時 F(x)=PXx=189第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念2F(x)的圖象如圖5-13所示3求Px0.5 , P0.5X4.1Px0.5=F(0.5)=0.2 ,P0.5X2.1=F(2.1)F(0.5)=0.90.2=0.7P1.5X4.1=F(4.1)F(1.5)=10.6=0.4離散型隨機變量的分布函數(shù)圖象是一條形如階梯形的曲線。曲線在左端點處右連續(xù),在右端點處間斷,跳躍遞增。90第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3

45、 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念定義5.2.12:設(shè)F(x)是隨機變量X的函數(shù)。若存在非負函數(shù)f(x), 對任意實數(shù)x有 ,則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(x)為X的概率密度函數(shù),簡稱為密度函數(shù)。 91第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù)F(x)具有下述性質(zhì);1F(x)02F()=0 , F(+)=13非降性(廣義遞增性) , 若 ,則F( )F( )4連續(xù)性:連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)的圖像是一條連續(xù)曲線。5若Xf(x),X為連續(xù)型隨機變量,則:F(x)= f ( x) ,即連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是密度函數(shù)。6F(x)= f

46、 ( x) ,即連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是密度函數(shù)。92第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念例5.2.16:X是連續(xù)型隨機變量 1)求K ; 2)求分布函數(shù)F(x)并畫出F(x)的圖像3)求P0.5X1.5 , P1.2X1.8 , P1.5X2.8 解:1)求K。 2)求分布函數(shù)F(x)并畫出F(x)的圖像x1時,12 時 93第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念 F(x) 的圖像如圖5-14所示。3)求P0.5X1.5 ,P1.2X1.8,P1.2X1.894第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3

47、 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念例5.2.17:向半徑為R圓形靶射擊,擊中點落在靶新為圓心,r為半經(jīng)的圓內(nèi)的概率與該圓的面積成正比,并且不含發(fā)生的脫靶的情形,設(shè)X表示擊中點與靶心的距離。求X的分布函數(shù)。解:設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)=P(Xr)不會發(fā)生脫靶 X的一切可能值在區(qū)間0,R上。當 r0時F(r) =0 當 0rR時 依題意,F(xiàn)(r) =P(Xr)= F(x)是連續(xù)函數(shù), F(R)= =1 F(x)的分布函數(shù)為: 95第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念例5.2.18:設(shè)隨機變量X具有概率密度 1)確定系數(shù)k; 2)求分布函數(shù)F(x) ; 3)求P1x

48、1解:1)確定系數(shù)k; 2)求分布函數(shù)F(x)96第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 一分布函數(shù)的概念3)求P1x197第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 二正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計算若XN(0 , 1) ,則,X的分布函數(shù)記為,即 因為是偶函數(shù),所以 的圖象關(guān)于y軸對稱, ,從而有。這個結(jié)論由定積分的幾何意義,一目了然,如圖5-15。98第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 二正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計算 正態(tài)分布的概率計算,若由定義難且繁。在實際計算時,查表求值。這類計算分為兩種不同的情況。設(shè)XN (0 , 1)求概率

49、,直接查表求值。即 已知 ,求相應(yīng)事件的概率定理5.2.3:若 ,令 ,則YN(0,1)。可推出:若 ,則 99第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 二正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計算例5.2.19:設(shè)XN(0,1) 求:1)PX1.2,2)PX0.5 , 3)P|X|1.96 , 4) PX5解:查表1) PX1.2=(1.2)=0.8849,2) PX0.5=1(0.5)=10.6915=0.3085P|X|1.96= P1.96X1.96=(1.96)(1.96) =(1.96)1(1.96)=2(1.96)1=20.975011 =0.954) PX5=(5)=110

50、0第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2.3 分布函數(shù) 二正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計算例5.2.20:設(shè)XN(1,4) 求:1)P0X1.6 , 2) P5X0 時Yy= 從而 上式兩端對y求導(dǎo)數(shù):111第五章 概率論 第二節(jié) 隨機變量與概率分 2. 隨機變量的函數(shù)二連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布例5.2.26:設(shè)XN (0,1) ,Y=|X ,求Y的概率密度。解:由已知, 當y0 時 當 y0 時上式兩端對y求導(dǎo)數(shù):112第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望3.1 期望一離散型隨機變量的期望二連續(xù)型隨機變量的期望三隨機變量函數(shù)的期望四期望的性質(zhì)113第五章 概率論 第

51、三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望一離散型隨機變量的期望定義5.3.1:設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表5-15。 PX其中可能值的個數(shù)有限個或可列無限多個,若級數(shù) 收斂,則定義X的期望為 EX=114第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望一離散型隨機變量的期望例5.3.1:某公司有100人,其中20人的工資為3000元/月,其中80人工資為1500元/月,問該公司平均工作為多少?解:法1: 法2:我們從概率的角度計算此題。設(shè)X為某職工工資,則X為隨機變量,其分布列如表5- 16 。 0.8 0.2 P 1500 3000 XEX=30000 .2+15000.818001

52、15第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望一離散型隨機變量的期望例5.3.2:A,B兩臺車床生產(chǎn)同一標準件,在一定的時間內(nèi),A,B兩臺車床的次品數(shù)分別為X與Y,X與Y的分布列分別如表5-17,表5-18。 00.10.10.7P3210X表5-1700.20.30.5P3210Y表5-18問:哪一臺車床的產(chǎn)品質(zhì)量好些?解:EX=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6;EY=00.5+10.3+20.2+30=0.7即A車床的次品的理論均值較B小,所以A車床質(zhì)量較好.116第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望一離散型隨機變量的期望下面求幾種常見的離散

53、型隨機變量的期望兩點分布:EX=1p+0q= p二項分布. 設(shè)XB(n,p) 即 117第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望一離散型隨機變量的期望泊松分布 設(shè)XP() , 則118第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望 設(shè)X為連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x)。在X軸上取區(qū)間a,b,將區(qū)間a,b任意分成n個首尾相連的小區(qū)間。每個小區(qū)間包含左端點,不包含右端點,其長度分別為:, i=1,2,n。在每個小區(qū)間,隨機變量X在此區(qū)間取值為任取的一點,i=1,2,n。其對應(yīng)的概率密度為,i=1,2,n。,因此,X在每個小區(qū)間上取值的概率近似等

54、于,i=1,2,n。 根據(jù)離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的求法,當a0,且|a|與|b|充分大時,總和 近似地等于X的數(shù)學(xué)期望。對于區(qū)間a,b 的所有分法,點 的任何取法,當 119第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望時,如果級數(shù) 絕對收斂,即極限 為常數(shù),則此極限可定義為X的數(shù)學(xué)期望。而這個極限恰為函數(shù)xf(x) 在 上的廣義定積分。即 定義5.3.2:設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),如果 收斂,則廣義定積分 稱為X的數(shù)學(xué)期望。120第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望例5.3.3:連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)

55、 求:1)k; 2)EX;解:1)求k 2)求EX 121第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望例5.3.4:(正態(tài)分布)設(shè)XN 求:EX解: 令 則t = x, x = t+, dx = dt x:+則 t:+注意到 為奇函數(shù), EX= 122第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望例5.3.5:(均勻分布)設(shè)XUa,b 求EX解: 123第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望二連續(xù)型隨機變量的期望例5.3.6:(指數(shù)分布)設(shè)XE(),則 求EX解: 124第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特

56、征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望1離散型隨機變量函數(shù)的期望 設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表5-15, X的函數(shù)Y=g (X)是一個新的離散型隨機變量,當X取值為 ,i=1,2,n。時,Y=g (X)取值為f( )。由于X取 的概率為 ,所以Y取g ( )。的概率也是 。由數(shù)學(xué)期望的定義,則E(Y)=Eg (X)= 125第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望例5.3.7:離散型隨機變量X的分布列如表5-19, 求:EX , , E(2X+1) , E(3X)X-1012P0.20.10.30.4解:EX=10.2+00.1+10.3+20.4=0.9

57、; =10.2+00.1+10.3+40.4=2.1E(2X+1) =10.2+10.1+30.3+50.4=2.8 ;E(3X) =30.2+00.1+30.3+60.4=2.7126第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望2連續(xù)隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X為連續(xù)型隨機變量,X的函數(shù)Y=g (X)就是一個新的連續(xù)型隨機變量。在X軸上取區(qū)間a,b,將區(qū)間a,b任意分成n個首尾相連的小區(qū)間。每個小區(qū)間包含左端點,不包含右端點,其長度分別為:, i=1,2,n。在每個小區(qū)間,任取一點 ,i=1,2,n,隨機變量X對應(yīng)的概率密度為 ,i =1,2,n。X在每個小區(qū)

58、間上取值的概率近似等于 i=1,2,n。當X取值為 時,Y=g (X) 取值為 , i=1,2,n。由于X在每個小區(qū)間上取值的概率近似等于, i=1,2,n,所以,Y=g (X) 在每個小區(qū)間上 127第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望取值的概率也近似等于 ,i=1,2,n。當a0,且|a|與|b|充分大時,總和 近似地等于Y=g (X)的數(shù)學(xué)期望。對于區(qū)間a,b 的所有分法,點 的任何取法,當 時,如果級數(shù) 絕對收斂,即極限 為常數(shù),則此極限可定義為隨機變量Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望。這個極限恰為函數(shù)g(x)f(x) 在 上的廣義積分。即:128第五章

59、概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望定義5.3.3:設(shè)X,Y都是連續(xù)型隨機變量,Y=g(X) 則 例5.3.9:設(shè) 求:EY解: 令 , 則t = x , x = t+,dx = dt , x:+ ,則t:+129第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望三隨機變量函數(shù)的期望注意到 130第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望四期望的性質(zhì)設(shè)C或 為常數(shù) 1EC=C2E(X+C)=EX+C3E(CX)=CEX4E(X+Y)=EX+EY2,3可推廣為: 5若X,Y相互獨立,則E(XY)=EXEY 推廣:若 相互獨立,則131第五章 概

60、率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望四期望的性質(zhì)例5.3.10:設(shè) 服從兩點分布,且 相互獨立。令 ,則解:132第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 期望四期望的性質(zhì)例5.3.11:設(shè)相互獨立,且求:1) 2) 3) 解:1) 同理可得: 133第五章 概率論 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 3.2 方差 一方差的基本概念設(shè)隨機變量X與Y的分布列分別如表5-20,表5-21,則EX=EY=3.8 0.1 0.8 0.1P 5 4 3X表5-20 0.10.8 0.1 P 7 4 1 Y 表5-21 設(shè)X為離散型隨機變量,若數(shù)學(xué)期望EX存在則稱 EX-X 稱為X的離差,離差

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