人教A版高中數(shù)學(xué)必修三《7.1.1條件概率》教案

1、7.1.1 條件概率 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊，第七章隨機(jī)變量及其分布列，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)條件概率.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)概率的一些基礎(chǔ)知識，對一些簡單的概率模型（如古典概型、幾何概型）已經(jīng)有所了解。條件概率是學(xué)生接觸到的又一個(gè)全新的概率模型。一方面，它是對古典概型計(jì)算方法的鞏固，另一方面，為后續(xù)研究獨(dú)立事件打下良好基礎(chǔ)。這一概念比較抽象，學(xué)生較難理解。遇到具體問題時(shí)，學(xué)生常因分不清是P（B|A）還是P（AB）而導(dǎo)致出錯(cuò)?；诖?，在本節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)特別注意對于條件概率概念的生成，借助圖示形象直觀地展現(xiàn)條件概率概念的生成過程。 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過實(shí)例,了解條件概

2、率的概念；B.掌握求條件概率的兩種方法；C.能利用條件概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題；D.通過條件概率的形成過程,體會由特殊到一般的思維方法.1.數(shù)學(xué)抽象：條件概率的概念 2.邏輯推理：條件概率公式的推導(dǎo) 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用條件概率公式計(jì)算概率4.數(shù)學(xué)建模：將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為條件概率重點(diǎn)：運(yùn)用條件概率的公式解決簡單的問題難點(diǎn)：條件概率的概念多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué) 在必修“概率” 一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到過求同一實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生（積事件AB）的概率的問題，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí),有P(AB)=P（A）P（B） 如果事件A與B不獨(dú)立，如何表示積事件AB的概率呢？下面

3、我們從具體問題入手.新知探究問題1 . 某個(gè)班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表所示，在班級里隨機(jī)選一人做代表，（1）選到男生的概率是多大？（2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多大？團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545隨機(jī)選擇一人作代表，則樣本空間包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn).用A表示事件“選到團(tuán)員”， B表示事件“選到男生” ，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出n()=45, n(A)=30, n(B)=25.（1）根據(jù)古典概型知識可知選到男生的概率P(B) =n(B)n()=2545=59.（2）“在選擇團(tuán)員的條件下,選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)

4、生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A）.此時(shí)相當(dāng)以A為樣本空間來考慮B發(fā)生概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含了樣本點(diǎn)數(shù)nAB=16.根據(jù)古典概型知識可知：P（B|A） =n(AB)n(A)=1630=815.問題2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選一個(gè)家庭，那么（1）該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？觀察兩個(gè)小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩,則樣本空間=bb,bg,gb,gg,且所有樣本點(diǎn)是等可能的.用A表示事件“選擇家庭中有女孩” ，B表示事件“選擇家庭中兩

5、個(gè)孩子都是女孩” ，A =bg,gb,gg,B=gg.（1） 根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率P(B) =n(B)n()=14.（2）“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個(gè)小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A） ，此時(shí)A成為樣本空間，事件B就是積事件AB，根據(jù)古典概型知識可知P（B|A） =n(AB)n(A)=13.分析：求P（B|A）的一般思想ABAB因?yàn)橐呀?jīng)知道事件A 必然發(fā)生，所以只需在A 發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題，即現(xiàn)在的樣本空間為A.因?yàn)樵谑录嗀發(fā)生的情況下事件B 發(fā)生，等價(jià)于事件A 和事件 B 同時(shí)發(fā)生，即AB發(fā)生.所以

6、事件A 發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的概率P（B|A） =n(AB)n(A). 為了把這個(gè)式子推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為W，則有P（B|A） =n(AB)n(W)n(A)n(W)=P(AB)P(A). 一般地,當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(B|A),而且P(B|A)=P(AB)P(A).問題1. 如何判斷條件概率?題目中出現(xiàn)“在已知前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等關(guān)鍵詞,表明這個(gè)前提已成立或條件已發(fā)生,此時(shí)通常涉及條件概率.問題2. P(B|A)與P(A|B)的區(qū)別是什么?P(B|A)表示在事件A發(fā)

7、生的條件下,B發(fā)生的概率.P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率.條件概率與事件獨(dú)立性的關(guān)系探究1：在問題1和問題2中，都有P（B|A）P（B）.一般地， P（B|A）與P（B）不一定相等。如果P（B|A）與P（B）相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？直觀上看，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價(jià)于P（B|A）=P（B）成立.事實(shí)上，若事件A與B相互獨(dú)立，即PAB=PAPB，且PA0，則PBA=P(AB)PA=PAPBPA=PB；反之，若PBA=PB，且PA0，則PB=PABPAPAB=PAPB 探究2：對于任意兩個(gè)事件A與B，如果已知P（A）與P（

8、B|A），如何計(jì)算P（AB）呢？由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件A與B，若P（A）0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱上式為概率的乘法公式（multiplication formula）.條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P（A）0，則（1）P（|A）=1；（2）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；（3）設(shè)B和B互為對立事件，則P（ B|A）=1- P（B|A）.三、典例解析例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求:(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽

9、到幾何題的概率；(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個(gè)事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率.解法1：設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”，B=“第2次抽到幾何題”。（1）“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試題中每次不放回地隨機(jī)抽取2道，試驗(yàn)的樣本空間包含20個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，即n=A52=54=20。因?yàn)閚(AB)= A31A21=32=6P（AB） =n(AB)n()=620=

10、310.（2）“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。顯然P（A）=35.利用條件概率公式，得P（B|A） =n(AB)n(A)=31035=12.解法2：在縮小的樣本空間A上求P（B|A）.已知第1次抽到代數(shù)題，這時(shí)還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為P（B|A）=12.又P（A）= 35，利用乘法公式可得P（AB）=P（A） P（B|A）= 3512= 310.從例1可知，求條件概率有兩種方法：方法一：基于樣本空間，先計(jì)算P（A）和P（AB），再利用條件概率公式求P（B|A）；方法二：

11、根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P（B|A）就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率。例2：已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張.他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？解：用A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件，則B=AB,C=AB.PA=13;PB=PAB=PAPB|A=2312=13PC=PAB=PAPB|A=2312=13因?yàn)镻(A)= P(B)= P(C),所以中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序無關(guān)。例3: 銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了碼的最后1位數(shù)字.求：（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就

12、按對的概率；（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率。解：（1）設(shè)Ai=“第i次按對密碼”（i=1，2），則事件“不超過2次就按對密碼”可表示為A=A1UA1A2.事件A1與事件A1A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得P（A）=P（A1）+P（ A1A2 ）= P（A1） +P （A1） P（ A2 | A1） =110+910 19= 15因此，任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為15.（2）設(shè)B=“最后1位密碼為偶數(shù)”，則P（A|B）=P（A1|B）+P（A1A2|B）=15+4154= 25；因此，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率為25.

13、跟蹤訓(xùn)練1.一個(gè)盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管,任取兩次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.解:方法一(定義法)設(shè)Ai=第i只是好的(i=1,2).由題意知要求出P(A2|A1).因?yàn)镻(A1)=610=35,P(A1A2)=65109=13,所以P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=59.方法二(直接法)因?yàn)槭录嗀1已發(fā)生(已知),故我們只研究事件A2發(fā)生便可,在A1發(fā)生的條件下,盒中僅剩9只晶體管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=n(AB)n(A)=59.開門見山，提出問題.通過生活中的問題情境，引發(fā)學(xué)生

14、思考積極參與互動，說出自己見解。從而建立條件概率的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得條件概率概念的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過概念辨析，讓學(xué)生深化對條件概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，讓學(xué)生體會利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.已知P(AB)=12,P(A)=35,則P(B|A)等于()A.56B.910C.310D.110解析:P(B|A)=P(

15、AB)P(A)=1235=56.答案:A 2.下列說法正確的是()A.P(A|B)=P(B|A)B.P(B|A)1C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(AB)|A)=P(B)解析:由P(B|A)=P(AB)P(A)知,P(AB)=P(A)P(B|A).答案:C3.設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為310,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為12,則事件A發(fā)生的概率為.解析:由題意知,P(AB)=310,P(B|A)=12.由P(B|A)=P(AB)P(A),得P(A)=P(AB)P(B|A)=35.答案:354.某氣象臺統(tǒng)計(jì),該地區(qū)下雨的概率為415,刮四級以上風(fēng)的概率

16、為215,既刮四級以上的風(fēng)又下雨的概率為110.設(shè)A為下雨,B為刮四級以上的風(fēng),求P(B|A).解:由題意知P(A)=415,P(AB)=110, 故P(B|A)=P(AB)P(A)=110415=38.5.在100件產(chǎn)品中,有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取1件產(chǎn)品.試求:(1)第一次取到不合格品的概率;(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.分析:由題意可知,100件產(chǎn)品中共有5件不合格品,不合格率為 5100.在第一次取到不合格品的條件下,第二次又取到不合格品的概率為條件概率.解:設(shè)第一次取到不合格品為事件A,第二次取到不合格品為事件B,則有

17、:(1)P(A)=5100=0.05.(2)方法一:第一次取到一件不合格品,還剩下99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率為499,由于這是一個(gè)條件概率,所以P(B|A)=499.方法二:根據(jù)條件概率的定義,先求出事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=C52C1002=1495,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=14955100=499.6.在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題,若考生至少答對其中的4道題即可通過;若至少答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題而另一道答錯(cuò)”,事件C為“該考生答對了其中4道題而另2道題答錯(cuò)”,事件D為“該考生在這次考試中通過”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=ABC,E=AB,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+C105C101C206+C104C102C206=12 180C206,P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D)=P(A)P(D)+P(B)P(D)=210C20612 180C206+2 520C20612 180C2