北京高三模擬考試圓錐曲線解析(選修21)

1、十二、圓錐曲線2210 （2012年海淀一模理10）過雙曲線-L=1的右焦點(diǎn)，且平行于經(jīng)過一、三象限的916漸近線的直線方程是.答案：4x-3y-20 = 0o（2012年門頭溝一模理7）已知點(diǎn)尸在拋物線V =4x上，則點(diǎn)到直線乙：4工一3,，+ 6 = 0的距離和到直線，2：工=一1的距離之和的最小值為（C ）A. B. C. 2D. 316513. （2012年東城一模理13）拋物線），2=x的準(zhǔn)線方程為：此拋物線的焦點(diǎn)是尸，則經(jīng) 過F和點(diǎn)M（1,1）,且與準(zhǔn)線相切的圓共有一個(gè).答案：x = ： 2 o49.（2012年豐臺(tái)一模理9）己知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線方程為

2、TOC o 1-5 h z y = X，則該雙曲線的離心率是. 4答案：二42213.（2012年密云一模理13）若雙曲線二一二=1（。/ 。）的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，八，P為 lr雙曲線上一點(diǎn)，且|P用= 3|P與，則該雙曲線離心率的取值范圍是.答案：leW2.9. （2012年朝陽一模理9）已知雙曲線的方程為J-）=1 ,則此雙曲線的離心率3為，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為答案：； 1 13. （2012年東城11校聯(lián)考理13）己知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為a,且。則雙曲線的離心率的取值范圍是.43答案：（702）。19. （2012年海淀一模理19）在平而直角坐標(biāo)系

3、xQv中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-1.0）, P為橢圓G的上頂點(diǎn)，且/尸0 = 45。.（I ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）已知直線小丁 =履+町與橢圓。交于4, 8兩點(diǎn)，直線乙：y = kx + m2與橢圓G交于C,。兩點(diǎn)，且IA8RCDI,如圖所示.（ i ）證明：町+札=0; （ii）求四邊形ABCD的面積S的最大值.解：（I）設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二=1（。0）. cr lr因?yàn)樵拢ㄒ?1,0）, NPO = 45。,所以/? = c = 1.所以 a2=b2+c2=2.所以橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+y2=L 乙（H）設(shè) A（，X）, 8（,4），。（七，）3），。（*4，4

4、）y = kx + ,(i)證明：由%2、 消去得：( + 2k2)x2 +4A7X + 2?： -2 = 0.+ y2=l.12 .則 A = 8(2/一訴 +1) 0,4kLN + 招=-1 + 262*2所以1481=小區(qū)一馬產(chǎn)+一當(dāng)尸=yl + Zr2 J +x2)2 -4XjX22訴一2 + 2k2=2要標(biāo)丹宇同理CD 1= 2向l + k? 4公+11 + 2K因?yàn)锳B HCDI,所以2近時(shí)寫善酒行寫手因?yàn)樗?ii)解：由題意得四邊形ABC。是平行四邊形，設(shè)兩平行線AB,8 間的距離為d,因?yàn)樗运許 =lABl.d = 2舊l + k，史二叫,+ 廣吆1 + 2F VT7F

5、2k2 -琢 +1 + 琢=4(2包吹 472工=272 .1 + 2/1 + 2/(或S = 4應(yīng) /可 =4 % + 2點(diǎn))(1 + 2/ V 1 + 2/ 24手定點(diǎn)所以當(dāng)2/ + 1 = 2加：時(shí)，四邊形A3C。的而積S取得最大值為2四.19. （2012年西城一模理19）已知橢圓C:二+二=1的離心率為cr lrM（2,0）,橢圓短軸的端點(diǎn)是用，B,且用瑪，加當(dāng).（I）求橢圓。的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓。于A , 8兩點(diǎn).試問工軸上是否存在定 點(diǎn)P,使尸M平分NAP8?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.依題意耳層是等腰直角三角形，從而 =2,故a = 3

6、.所以橢圓C的方程是小L(II)設(shè) 4(Xj), B(x29y2)9 直線 48 的方程為 x = my + 2.將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 消去 x 得（4/ + 9）+16my - 20 = 0.所以）1+）2 =-16/7?4病+9，y力=-204m1 +9若PF平分NAP3,則直線FA, P3的傾斜角互補(bǔ),所以Ap八+kpB =0設(shè)尸(。,0)，則有+ = 0.Xj -6/ x2-a將 x = my +2, x2 = my2 + 2代入上式,整理得 四追133 = 0, +2-a)(iny2 + 2-a)所以 2my1y2 + (2-a)(y1 + y2) = 0.將凹+為=

7、-16/z?-20荷 +9 12 -W+9代入上式,整理得（一理+9）m = 0.9 由于上式對任意實(shí)數(shù)?都成立，所以=.29綜上，存在定點(diǎn)P（,0）,使尸M平分NAPA 219. （2012年東城一模理19）已知橢圓C： +的左、右頂點(diǎn)分別為4,4, 8為短軸的端點(diǎn)，4/&的面積為2，1,離心率是J. （ I ）求橢圓C的方程；（H） 若點(diǎn)P是橢圓。上異于4, &的任意一點(diǎn)，直線A/, &P與直線x = 4分別交于M, N 兩點(diǎn)，證明：以/WN為直徑的圓與直線P居相切于點(diǎn)F,（居為橢圓C的右焦點(diǎn)）.解：（I ）由已知c 1.a 2解得。=2, b = B TOC o 1-5 h z 22故所

8、求橢圓方程為工+ t = l. 43證明：（II）由（I ）知4（一2,0）, 4（2,0）,設(shè)橢圓右焦點(diǎn)每（1,0）.設(shè)尸（知九）（七 * 2），則 3x： + 4），： =12.于是直線4P方程為），= _*_（x + 2）,令x = 4,得），=用_： % + 2X。+ 2所以（4,4一）,同理N（ 4.3一）.% + 2% - 2所以反貶=（3,三），反W=（3,三）.-改）+ 2-%一2所以 用了,歷=(3,4-).(3,2l)=9 + x2l4+2玉)-2玉)+ 2 x0 -2= 949+3（；）。絳旦 / -4 a0 -4x（） -4所以F,M工FM點(diǎn)F）在以MN為直徑的圓上.設(shè)

9、MN的中點(diǎn)為E,則七（4, 4%（J）T）.一 4又砂=（3,4。（；）,哥=（%一1,），0）, X。一4所以孽不=（3,曾”）.（%-1,%） = 3（%-1） +理乎=3（/1） + 02_37）,1）=3（%_1）_3（/_1） = 0.玉）一4所以 F,E1F.P. 4 /因?yàn)锳E是以MN為直徑的圓的半徑，E為圓心，F(xiàn),E工F、P , 故以A/N為直徑的圓與直線P5相切于右焦點(diǎn).19. （2012年豐臺(tái)一模理19）已知橢圓C： 1 +二=1（“0）的離心率為立，且經(jīng) cr y2過點(diǎn)M（2,0）.（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（II）設(shè)直線1：），=6+ 7與橢圓C相交于內(nèi)，,），8（公,

10、為）兩點(diǎn),連接MA，MB并延長交直線x=4于P, Q兩點(diǎn)，設(shè)如、，q分別為點(diǎn)P, Q的縱坐標(biāo)，且1=1. 求證：直線/過定點(diǎn).1 %）7 %解；（I）依題意4 = 2, = ，所以c =無.2分a 2因?yàn)?=+。2, 所以方=應(yīng)3分橢圓方程為二十二=1.5分42（II）x2 +2y2 =4 y = kx + ni消 y 得 （2/+1）/+4k?x + 2J-4 = 0 , A0.6 分因?yàn)锳（X1,y）, B（x29y2）9所以xx +x2 =4km2k2+ 2/r-4設(shè)直線MA： y = -（x + 2）,則力=網(wǎng)；同理=史工9分X + 2$ + 2X）+ 2因?yàn)?_L+_L = _L+J

11、_,1 % ）7 小by 66 x +24+2 nrl x. -4 x, -4 八 .八八所以 十 =- + ， 即 + =0 .10分6% 6M 6y2 6yt 6y2所以（內(nèi)4）乃+（-4）片=0,所以（再一4）（入2 + ?） + （占 -4）（白 + tn） = 0,2kxi& + m（X + 七）- 4攵（2 + x2） - 8/n = 0 ,2k2/一44km；+ m（；2k2+ 12k2+i（R）。，8 R 所以；=0 ,得7 = -k . 13分2k2+ 則）,=點(diǎn)一 %,故/過定點(diǎn)（1,0）.,14 分19. （2012年朝陽一模理19）已知橢圓。：二十二=1（。0）的兩個(gè)焦

12、點(diǎn)分別為 cr lr6（JIo）,鳥（點(diǎn),0）.點(diǎn)（i,o）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.（I）求橢圓c 的方程：（II）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7,）（7=3）.過點(diǎn)用任作直線/與 橢圓。相交于A, 8兩點(diǎn)，設(shè)直線4N, NP , 8N的斜率分別為勺，心，k. 9若+勺=2上,試求加，滿足的關(guān)系式.解：（I ）依題意，c = V2, b = l, TOC o 1-5 h z 所以 a = jb +c =.Y故橢圓C的方程為+ /=1.4分x = l，后（II）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，由， 解得x = l,y = 2-.+ v- = 133，不妨設(shè)41,平），8（1,-

13、中），2-如 2 +因?yàn)檎?&=/- + 廣- = 2，又占+&=2刈，所以&=1，一2所以加，的關(guān)系式為 =1,即? 1=0.7分m - 3當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y = %（x1） .2將丁 = 工一1）代入J +），2 =i整理化簡得，（3尸+ 1）/一6代工+ 3/一3 = 0.設(shè)4占，%），8（，刈），則X+ W = & ，內(nèi)）2 = ,；3K + i3K + 1又)，=攵(為-1), y2 =k(x2-i).所以 +攵 _ 2_)1 2_刃 _ (2-y1)(3-x2) + (2-y2)(3-xI)所以虧+不(3-)(3f )_ 12 2(演 -1)(32)+ 2-。

14、(勺-1)(3-內(nèi))xx2 _3(X +x2) + 9_ 2kxx2 一 (4攵 + 2)(Xj + X?) + 6k +12xx2 _ 3(X| + x2) + 92次 得：（2 + 3尸）/ +6公x + （3公- 6） = 0.設(shè) 4%,凹）,8（七，），2）一6二3二一 66分7分9分所以AB =4向公+ 1）原點(diǎn)到直線的AB距離d =,Jl + 公所以三角形的面積S = 3a8M = 1 四 4向內(nèi)”1）.21 1 2TF 2 + 3K由 S = 2 =k2 = 2 = k=&,一12 分4所以直線。8：點(diǎn)工一+點(diǎn)=。或08：&x+）+及=。.-13分19. （2012年房山一模19

15、）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0,-l）,離心率為（I ）求橢圓G的方程；（II）設(shè)直線），=h+7與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N .當(dāng) |aM = |an|時(shí)，求力的取值范圍.解：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為 二十）J=i ,則離心率為e = = C TOC o 1-5 h z cra 3c? ?,故r = 7,而/=1,解得/=3,4分cr 3故所求橢圓的方程為+r = i. 5分（II）設(shè) P（Xp，、p）、A/（xw,yw） N（Xn，Yn），P 為弦 MN 的中點(diǎn)， y = kx+ m由，丫2得（32 + l）x2 + 6mkx + 3（/2 -1） = 0_

16、+ v2 = 1 3 .直線與橢圓相交，. = （6法一4（3父 + 1）乂3（/-1）0=/3/+1 ,7 分+ xv 3mk ” 廠 .in.X =1=一一-一，從血V =左1 +7 = _.一23+1. 03 F+1,（1）當(dāng)女工0時(shí)= “ +次+1 （? = 0不滿足題目條件）xp 3mk：AM = AN ,:.APLMN,貝U TOC o 1-5 h z Ifl + 3k +l1 nnc r,).x-. z.=,即 2m = 3攵-+ ,9 分3nik k把代入得nr 0解得一2v?v2又因?yàn)閙WO.m的取值范圍為-2m1+)2)+ 612 區(qū)-3)(. - 3)2Ax2+工2)-3

17、7 + 6_ 3- 3)(2 - 3)2 9/772 -18x+ Q- 1)(-3?7/) - 3m + 6_ 32(xx -3)(x2 -3)3ni2 -6-3nr + 3m-3m + 6(內(nèi) - 3)(孫 - 3)=0，吊+公=0從而直線到、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.13分19. （2012年門頭溝一模理19）已知橢圓二+二=1（。匕0）經(jīng)過點(diǎn)A（2,l）,離心率為lr,過點(diǎn)8（3,0）的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N. （ I ）求橢圓的方程：（II）求 2嬴）方的取值范圍.解：（I）由離心率為無，可設(shè)c = , = 2r,則% =2因?yàn)?+ - = 1(。0)經(jīng)過點(diǎn)42,1) cr b-413所以y += 1,解得產(chǎn)=二，所以。2=6,=3 4r 2r2橢圓方程為土+上=163（II）由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y =攵1一3）,直線/與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（3N（