高等代數(shù)矩陣.課件

1、一、基本概念和重要結(jié)果 1.Binet-Cauchy公式 設(shè)矩陣Amn Bnm =Cmm ，則(1) 當(dāng)mn時，|C|=0(2) 當(dāng)m=n時，|C|=|A|B|(3) 當(dāng)mm-r X必為非高矩陣。7.相似矩陣 (1)相似矩陣有相同的特征多項式，特征根及相同的跡，相似矩陣的行列式相等，秩相等。 (2) 矩陣相似于對角形的條件： b. A有n個不同的特征根，則A相似于對角形。 a. A有n個線性無關(guān)的特征向量 A相似于對角形 c.設(shè)n階矩陣A有s個不同的特征根 ,A的屬于 的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)為ni， A相似于對角形。 f.A的最后一個不變因子是不同的一次因式的乘積，則A相似于對角形。 d.A

2、的初等因子都是一次因式 A相似于對角形. e.A的最小多項式無重根 A相似于對角形。 g. A是實對稱矩陣，則A正交相似于對角形。 h. Am=I，則A相似于對角形。 i. A2=A，則A相似于對角形。 j. A正定，C是實對稱矩陣，則AC相似于對角形。 (3) A與B是同一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B相似。 k. A有n個不同的特征根, A與B可換,則B相似于對角形. l. 若A相似于對角形, f是多項式,則f(A)相似于對角形. (4) 矩陣A與B相似 8. 矩陣的分解 b. 利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形:對任意矩陣A，存在可逆矩陣P,使P-1AP=J，其中J為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。 c. 對矩陣的階數(shù)用數(shù)

3、學(xué)歸納法。 d. 利用矩陣運(yùn)算。 (1) 分解矩陣的方法： a. 初等變換法：設(shè)r(A)=r,則存在可逆矩陣P,Q使 e. 利用不變子空間對矩陣分解。 (2)常見的矩陣分解： a. 若r(A)=r，則 ，其中r(Bi)=1. b. 對任意n階方陣A，有A=B+C，其中BT=B,CT=-C. c. 若A為mn階矩陣且r(A)=1，則A=Bm1C 1n,且r(B)=r(C)=1. d. 若r(A)=r,則Amn =BmrC rn,其中r(B)=r(C)=r. e.若r(A)=r,則 f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩陣且對角線上的元素是A的特征根。 g. 若r(A)=r,則A=PR，R是上三

4、角形的矩陣，其主對角線上前r個元素為1，后n-r個元素為0而|P|0. h. A=BC,其中BT=B,CT=-C. i. 對任意n階矩陣A有A=BU，其中B是半正定矩陣，U為酉矩陣。 j. A是實矩陣且|A|0，則A=BT，其中B是正定矩陣，T是正交矩陣。 k. A是實方陣且|A|0，則A=TQ ，其中T是正交矩陣，Q是上三角正線矩陣。 l. A是實對稱矩陣,則A=BT,其中B為半正定矩陣,T為正交矩陣。 n. 對任意n階方陣A，有A=B+C，其中B相似于對角形矩陣，C為冪零矩陣且BC=CB. m. A是正定矩陣，則A=Bk，其中B為正定矩陣。A是正定矩陣 A=CTC,其中|C|0. A=T，

5、其中是正線上三角形矩陣。 9. 矩陣的特征多項式及特征根 若存在非零向量X,使AX= X, 則 稱為A的特征根, X稱為A的屬于特征根 的特征向量, 稱為A的特征多項式，A的特征根是 的根, A的屬于 的特征向量是方程組 的所有非零解. (1) n階方陣A的特征多項式其中特別地， (2) 若Ai是ni階方陣，則 (3) 設(shè) 是矩陣A的特征多項式，則f(A)=0. (4)設(shè)A,B是n階方陣，則AB與BA有相同的特征多項式，從而有相同的特征根。 (5)設(shè) 是A的最小多項式， 是A的特征多項式，則 與 有相同的不可約因式，從而有相同的根， 是 的最后一個不變因子，若 滿足h(A)=0，則 (6)若A

6、i是方陣，則A的最小多項式等于Ai的最小多項式的最小公倍式。 (7) 若 是A的特征根，則 是 的特征根（ 是任一多項式）。 (8)屬于不同特征根的特征向量線性無關(guān)。 (9)X是A的屬于 的特征向量,則X是 的屬于 的特征向量。 (10)X是A的屬于 的特征向量且|A|0，則X是A-1的屬于 的特征向量。 (11) 屬于A的同一特征根 的特征向量加上零向量構(gòu)成的線性空間的維數(shù)小于等于 的重數(shù)。 注： 2.構(gòu)造分塊矩陣是證明有關(guān)矩陣秩的結(jié)論的一種常用的、有效的方法。 3. 如果已知條件中出現(xiàn)A*，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E這一結(jié)論。二、基本方法 1.若A可逆, 求A-1一般有兩種方

7、法(當(dāng)A具體給出時): (1)伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|. (2)初等變換方法，(A,E)（初等行變換）(E,A-1). 4. A,BPnn,AB=E,則A,B可逆且A-1=B是求A-1的一種常用方法。 5. 求n階矩陣A的最小多項式的方法： (1) A的最小多項式是A的特征多項式 的因式，且與 有相同的一次因式(可能重數(shù)不同),這樣可以確定A的最小多項式的范圍。 (2) 將 化成標(biāo)準(zhǔn)形, 就是A的最小多項式. (3) 如果A是分塊對角矩陣 Ai的最小多項式是gi(x),i=1,s，則A的最小多項式是g1(x),g2(x),gs(x). 6.求方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形： (1) 先

8、求n階矩陣A的全部初等因子： （其中 可能相同，指數(shù)r1,r2,rs也可能相同）則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由s個Jordan塊構(gòu)成：一個初等因子 對應(yīng)一個Jordan塊Ji , (2) 利用特征向量的方法求A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。 APnn,如果 是A的單特征值，則對應(yīng)一階Jordan塊Ji=( )，如果 是A的ri(ri1)重特征值，屬于 有k個線性無關(guān)的特征向量，則有k個以 為對角元素的Jordan塊，這些Jordan塊的階數(shù)之和等于 ri. 例如，5是3階矩陣A的3重特征值,如果r(5E-A)=0，則A5E.如果r(5E-A)=1,則AJ1,如果r(5E-A)=2,則AJ2，其中： 例如，

9、5是4階矩陣A的4重特征值，如果r(5E-A)=2,則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由兩個Jordan塊組成，如果(5E-A)2=0,則AJ1,如果 (5E-A) 3=0,則AJ2，其中： 7.求n階矩陣A的初等因子的方法： (1)將 E-A用初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求出A的所有不變因子，然后將每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因子方冪的積，所有這些一次因子式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的所有初等因子。 (2)先求出A的所有行列式因子 .利用 求出A的不變因子 .然后如(1)求出A的所有初等因子. (3)用初等變換將 化成對角形，用相應(yīng)結(jié)論求出A的所有初等因子。 8.證明n階復(fù)數(shù)矩

10、陣A與對角矩陣相似的方法： (1)A有n個線性無關(guān)的特征向量； (2)A的最小多項式?jīng)]有重根； (3)A的初等因子都是一次的。 9. n階矩陣A的不變因子，行列式因子，初等因子三者之間的關(guān)系：(1)(2) (3) 利用初等因子求不變因子； 在A的全部初等因子中,將同一個一次因子 ,(i=1, 2, , s)的方冪的那些初等因子按降冪排列，當(dāng)這些初等因子的個數(shù)不足n時，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)的1，湊成n個。 (j=1,2,s),(rnjrn-1jr1j), 于是 (4)A的所有初等因子的乘積等于A的所有不變因子的乘積,等于 .三、例題 解答:答案是“1620”. 1.(天津大學(xué),2004年)設(shè)3階

11、方陣A的特征值為 ,方陣B與A相似,設(shè)B*是B的伴隨矩陣,則行列式 .一.填空題 解答:答案是“3”. 2.(大連理工大學(xué),2004年) 設(shè) 是三維列向量, 是 的轉(zhuǎn)置矩陣,若則 = . 3.(大連理工大學(xué),2005年)設(shè) 均為n維列向量: ,則A=I+ 可逆,A-1= . 解答:答案是“ ”. 4.(東南大學(xué),2003年) 設(shè) 設(shè) ,其中 表示 的轉(zhuǎn)置,則An= . 解答:答案是“ ”.那么其中 注：若秩 , 則 可分解為兩個矩陣的乘積，有 之規(guī)律，從而 .以3階為例： 解答:答案是“0”,“1”. 解答:答案是“ ”. 5.(同濟(jì)大學(xué),2002年)設(shè) 其中 表示 的轉(zhuǎn)置,則|A|= ,秩(

12、A)= . 6.(中南大學(xué),2003年) 設(shè)3階方陣A的行列式|A|=1/2, A-1為A的逆矩陣, A*為A的伴隨矩陣,則 = . 解答:答案是“Pij”. 解答:答案是“ ”. 7.(中南大學(xué),2003年)設(shè)A為n階可逆矩陣,如果交換A的第i行與第j行得到B,則BA-1= . 8.(中南大學(xué),2004年) 已知n階方陣A滿足A2+2A-3I=0,則(A+4I)-1= . 9.(中南大學(xué),2004年) 假設(shè)A是n階方陣,滿足AAT=I, |A|2), 試求(A*)*(用A表示, 這里A*表示A的古典伴隨方陣, 即A*的(i, j)位元素是A的(j, i)位元素的代數(shù)余子式). 考點(diǎn)點(diǎn)撥: 主

13、要是對初等矩陣的定義和性質(zhì), 矩陣之間的運(yùn)算, 矩陣與行列式計算的關(guān)系,以及矩陣的伴隨和逆的求出及性質(zhì)的考查.解: 若A可逆, 則A*A=|A|In, 于是A*(A*)*=(|A|In)*=|A|n-1In,而A*=|A|A-1，代入可解得(A*)*=|A|n-2A () 若A不可逆,則存在可逆矩陣P,Q,st: 對于矩陣 , 注意到它的階n2, 那么由它的伴隨的秩12,則A2=0. 解: (1)注意到矩陣A的特征多項式為|xI-A|=x2-(a+d)x+ad-bc.那么由Hamilton-Cayley定理，顯然矩陣A滿足方程x2-(a+d)x+ad-bc=0. (2)設(shè)矩陣的最小多項式為 ，

14、由Ak=0,k2,可知： ，而由A為2階矩陣，顯然有 的次數(shù)不超過2，則 .于是有A2=0. 例4.1.7 (華中科技大學(xué)，2005年)證明：任一n階方陣可以表示成一個數(shù)量矩陣(具有kI形式的矩陣)與一個跡為0的矩陣之和。 證明：對于任意n階矩陣A，不妨設(shè)tr(A)=a,令k=(a/n)，那么有A=kI+(A-kI).只要證明A-kI是一個跡為0的矩陣即可.tr(A-kI)=tr(A)-tr(kI)=a-n(a/n)=0. 注：矩陣的跡的定義和性質(zhì)： (1)設(shè)A=(aij)nn，那么A的主對角線上的元素之和a11+a22+ann稱為矩陣A的跡，記為tr(A). (2)若A,B都是n階矩陣，k為

15、某個常數(shù)，那么有tr(A+B)=tr(A)+tr(B),tr(kA)=ktr(A),tr(AB)=tr(BA). (3)對于n階矩陣A,它的跡tr(A)是它的所有特征值之和。 (4)注意到tr(P-1AP)=tr(PP-1A)=tr(A)，顯然，相似的矩陣有著相同的跡。 例4.1.8 (華中科技大學(xué)，2007年)設(shè)A為二階方陣，若有方陣B, 使得AB-BA=A,證明：A2=0. 注意到|A|=-(a2+bc).顯然要證A2=0,只需證|A|=0即可，用反證法。 證明：由條件AB-BA=A,兩邊同時取跡，有tr(A)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0.注意到A是二階矩陣，于是可

16、令 那么有 若|A|0, 則由AB-BA=A有AB=BA+A=(B+I)A, 兩邊取行列式并約去|A|可得: |B|=|B+I|. 同樣由AB-BA=A可得: BA=AB-A=A(B-I), 兩邊取行列式并約去|A|可得|B|=|B-I|.于是有|B|=|B-I|=|B+I|.那么若令 代入上面的等式可得b1+b4=1且b1+b4=-1.這顯然矛盾. 于是有|A|=0,即A2=0. 例4.1.9 (西安交通大學(xué)，2005年)設(shè)A為可逆陣,u,v為n維列向量，證明：當(dāng)滿足條件1+vTA-1u0時，矩陣A+uvT必可逆，(其中，vT表示v的轉(zhuǎn)置) 證明：對下面矩陣 作分塊矩陣的第三類初等變換，注意

17、到第三類初等變換不改變矩陣的行列式值 即有: |A+uvT|=(1+vTA-1u)|A|.注意到A可逆,那么|A|0,又由題目條件1+vTA-1u0 ,可知|A+uvT|0 ，即A+uvT可逆。 那么有： 例4.1.10 (北京航空航天大學(xué)，2003年)設(shè)A,B都是n階實矩陣，秩(A)(n/2),秩(B)(n/2), 證明：對任意實數(shù)a，行列式|A+aB|=0. 那么有|A+aB|=10 。這說明題目的條件出了問題，將條件改為r(A)(n/2), r(B)(n/2). 若記方程組(A+aB)x=0的解空間為W,注意到若xU,xV,那么有Ax=0且aBx=0,相加得(A+aB)x=0.即有xW,

18、于是有UV W . 那么dim(UV )dim(W),注意到: dim(U)+dim(V)-dim(UV )=dim(U+V)n 那么有dim(W)dim(UV ) dim(U)+dim(V)-n(n/2)+(n/2)-n=0.從而由dim(W)=n-r(A+aB)0可得r(A+aB)1,都有：Ak=Ak-1=A. 兩邊同時取行列式,并利用條件AC=CA,易得 證明:首先不妨設(shè)A可逆，對矩陣 作分塊矩陣的初等行變換,有： 例4.1.12 (東北大學(xué)，2002年)設(shè)A,B,C,D均為n階方陣,且AC=CA,證明: 兩邊同時對tn取極限,注意到兩邊都是關(guān)于變量tn的多項式,顯然連續(xù),有 對于一般情

19、形,設(shè) =tI+A,那么顯然使得|tI+A|=0成立的t值只有有限個,于是可取到一列tn,使得 tn=0,且tnI+A可逆,顯然tnI+A與C可交換,那么有:考點(diǎn)2：分塊矩陣的運(yùn)算、乘積、行列式、伴隨與逆 例4.2.1 (清華大學(xué)，2006年)設(shè)A為mn矩陣, B為nm矩陣,證明: 存在mn矩陣C, 使得A=ABC當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(AB). 證明: (1)必要性: 若存在mn矩陣C使得A=ABC,那么有r(A)=r(ABC) r(AB) r(A),顯然有: r(A)= r(AB). 考點(diǎn)點(diǎn)撥:主要對分塊矩陣及矩陣乘積和原矩陣的秩之間的關(guān)系，矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形的形式和靈活變換,以及矩陣的分塊初等

20、變換和秩之間的聯(lián)系的考查. (2)充分性： 若r(A)= r(AB),那么設(shè)矩陣A的列向量張成的線性空間為U,記 有 顯然AB的每個列向量都是A的列向量的線性組合,若記AB的列向量張成的線性空間為V.那么有: 注意到矩陣的秩等于它的列秩,那么由r(A)= r(AB)可知:dim(U)=dim(V).于是有:U=V. 令C=(cij)mn,那么顯然有A=ABC. . 則有: 設(shè)矩陣 這就意味著矩陣A的列向量與矩陣AB的列向量互相等價,也就有矩陣A的列向量可由矩陣AB的列向量線性表出. 證明: 注意矩陣左乘右乘可逆陣都不會改變其秩, 由I=B-1B=BB-1, 代入等式r(I-AB)+r(I+BA

21、)=n, 并令C=B-1易得r(A+C)+r(A-C)=n. (這里注意對任意矩陣S,有r(-S)=r(S).)即有(n-r(A+C)+(n-r(A-C)=n.那么dimker(A+C)+dimker(A-C)=n. 例4.2.2 (上海交通大學(xué)，2005年)對于n階方陣A及n階可逆矩陣B,假設(shè)r(I-AB)+r(I+BA)=n.求證r(A)=n. 由上可知A+C的核空間與A-C的核空間的直和就是全空間Rn,于是 ,有x=x1+x2,使得(A+C)x1=0,(A-C)x2=0.那么利用這兩個等式有 0=Ax=A(x1+x2)=C(x2-x1) x2=x1. 若 ker(A+C)ker(A-C)

22、 ,則有可得 ,由C可逆知 . 由于是直和,而x1=x2ker(A+C)ker(A-C)，所以有x2=x1=0,于是有x=0.也即有r(A)=n. 證明: 顯然有r(AB)r(B),下面證明r(B)r(AB). 作矩陣C=Q-1(In,0)P-1,即有:CA=In. 例4.2.3 (北京航空航天大學(xué),2004年)設(shè)A和B分別為mn,ns矩陣.證明:若A的秩為n,則秩(AB)=秩(B). 由題知r(A)=n,于是存在兩個可逆矩陣P,Q使得 于是有r(B)=r(InB)=r(CAB)r(AB),那么有r(B)=r(AB). 例4.2.4 (東南大學(xué),2002年)設(shè)A為n階矩陣.試證:A2=A的充要

23、條件為r(A)+r(I-A)=n. 證明:注意到作分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,那么由 于是有: r(A)+r(I-A)=r(A-A2)+n. 于是r(A)+r(I-A)=n的充要條件是r(A-A2)=0,也即A2=A. 知 證明: (1)考查以下矩陣 對它作分塊矩陣的初等變換有: 例4.2.5 (北京理工大學(xué)，2003年)設(shè)A,B,C分別為nm,mp,pq矩陣.(1)證明：秩(AB)+秩(BC)秩(B)+秩(ABC);(2)證明：若存在自然數(shù)N,使得方陣G滿足:秩(GN)=秩(GN+1),則有:秩(GN)=秩(GN+1)=秩(GN+2)= 于是有: 其中那個不等號的得出如下：比較矩陣 和

24、 ，取出矩陣AB的行向量中的一個極大線性無關(guān)組(它的個數(shù)為r(AB),那么這組向量的伸長組對應(yīng)于矩陣(AB,0)的行向量必然也是線性無關(guān)的.然后取出矩陣BC的行向量中的一個極大線性無關(guān)組(它的個數(shù)為r(BC),那么這組向量的伸長組對應(yīng)于矩陣(B,BC)的行向量必然也是線性無關(guān)的.這兩組伸長組合在一起顯然也線性無關(guān). 看矩陣 的行向量,顯然它至少有r(AB)+r(BC)個線性無關(guān)的行向量. 可得: (2)考查矩陣G的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 不妨設(shè) 其中矩陣J代表不為零的特征值所對應(yīng)的Jordan塊,于是有: 注意到J是個滿秩的方陣,所以J任何次方的秩都等于它自己. 顯然若要r(GN)=r(GN+1

25、),必然有 由于零矩陣乘以任何矩陣都為零矩陣,于是有: 例4.2.6 (上海大學(xué)，2005年)設(shè)A是n階矩陣,C是nm矩陣,r(B)=r(C)=m,求證：A2=A的充要條件是A=CB且BC=I. 證明: (1)充分性： 若A=CB且BC=I,那么顯然有: A2=(CB)(CB)=C(BC)B=CB=A (2)必要性： 若A2=A,那么我們需要從A=CB推出BC=I. 將A=CB代入A2=A可得CBCB=CB (I) 于是可取D=Q-1(Im,0)mnP-1. 注意到r(C)=m,那么一定可以找到n階可逆矩陣P和m階可逆矩陣Q使得 有:DC=Im.同理可取矩陣F使得BF=Im.將等式(I)兩邊同

26、時左乘D并右乘F即得BC=I. 考點(diǎn)3： 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣相似的條件 例4.3.1 (清華大學(xué)，2003年)設(shè)方陣A在實數(shù)域R上是否相似于對角形（即有實方陣P使 P-1AP為對角形）?在復(fù)數(shù)域C上呢？給出證明. 考點(diǎn)點(diǎn)撥:對 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的求出,以及如何判定兩個矩陣之間是否相似的考查. 解：A的特征多項式為 ,顯然A的最小多項式 為 .那么在實數(shù)域上A的初等因子組為 ，顯然不是一次因子的乘積，那么在實數(shù)域上A不可能相似于對角矩陣. 而若在復(fù)數(shù)域上，顯然A的初等因子組為 ,都為一次因子,那么矩陣A必有完全的特征向量系,顯然相似于對角矩陣. 例4.3.2 (浙江大學(xué)，2006年)三階矩陣A,B,

27、C,D具有相同的特征多項式,證明其中必有兩個矩陣相似. 證明:三階矩陣的特征多項式的形式有: 其中a,b,c為互不相等的常數(shù). 若四個矩陣A,B,C,D的特征多項式都為 ,那么對應(yīng)于 的不變因子組只能為以下三種： 那么A,B,C,D必有兩個矩陣有相同的不變因子組,所以必有兩個矩陣相似. 若四個矩陣A,B,C,D的特征多項式都為 ,那么對應(yīng)于 的不變因子組只能為以下兩種： 仍然A,B,C,D必有兩個矩陣有相同的不變因子組,所以必有兩個矩陣相似. 這時顯然A,B,C,D都相似. 若四個矩陣A,B,C,D的特征多項式都為 ,那么對應(yīng)于 的不變因子組只能為以下一種： 綜上所述,不論何種情況,四個矩陣A,B,C,D中都必有兩個矩陣相似. 考點(diǎn)4: 行列式因子、不變因子、初等因子與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形考點(diǎn)點(diǎn)撥:對矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子,利用初等因子求出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，以及利用不變因子求出矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的考查,其中包括了利用Jordan