2022年傅里葉變換公式

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備第2章信號(hào)分析 本章提要信號(hào)分類 周期信號(hào)分析 - 傅里葉級(jí)數(shù) 非周期信號(hào)分析 - 傅里葉變換 脈沖函數(shù)及其性質(zhì) 信號(hào) ：反映研究對(duì)象狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)特征的物理量信號(hào)分析 ：從信號(hào)中提取有用信息的方法 和手段 21 信號(hào)的分類兩大類： 確定性信號(hào)，非確定性信號(hào) 確定性信號(hào) ：給定條件下取值是確定 的。進(jìn)一步分為：周期信號(hào)，非周期信號(hào)。x(t) 名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備質(zhì)量 M x(t) x0 彈簧o )Acost 0剛度 K 質(zhì)量彈簧系x(tk mt統(tǒng)的力學(xué)模型非確定性信號(hào)（隨機(jī)信號(hào)） ：給定條件下 取值是不確定的按取值情況分類： 模擬信號(hào) ，離散信號(hào) 數(shù)字信號(hào) ：屬于離散信

2、號(hào)， 幅值離散，并用二進(jìn)制表示。信號(hào)描述方法 時(shí)域描述 如簡(jiǎn)諧信號(hào)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備簡(jiǎn)諧信號(hào)及其三個(gè)要素x0cos(0t0)幅值頻率相角頻域描述 以信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)來描述信號(hào)的方 法: 將信號(hào)看成許多諧波 （簡(jiǎn)諧信號(hào)） 之 和，每一個(gè)諧波稱作該信號(hào)的一個(gè)頻率 成分，考察信號(hào)含有那些頻率的諧波，以及各諧波的幅值和相角。 22 周期信號(hào)與離散頻譜 一、周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù) 形式周期信號(hào)時(shí)域表達(dá)式x(t)x(tT)x(t2 T)x(tnT)(n1，2，名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備T：周期。注意 n的取值：周期信號(hào) “無始無 終”# 傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式x(t)a0n1(a ncosn0

3、tb nsinn0t)傅立葉系數(shù) ：（n=1, 2, 3， ）Ta 0T 1 2T2 x ( t ) dtTa nT 2 2T2 x ( t ) cos n 0 tdtTb nT 2 2T2 x ( t ) sin n 0 tdt式中 - 周期；0- 基頻, 0=2 /T。三角函數(shù)展開式的另一種形式：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備N 次諧波的幅值N 次諧波的頻率x(t)a 0n1A ncos( n0tn)N 次諧波信號(hào)的均值，直流分量N 次諧波的相角A n2 a n2 b nnarctgb na nn,1,23 ,周期信號(hào)可以看作均值與一系列諧波之和- 諧波分析法 頻譜圖A n名師推薦精心整理n學(xué)習(xí)

4、必備 0 2 0 2周期信號(hào)的頻譜三個(gè)特點(diǎn)：波性、收斂性離散性、諧例1：求周期性非對(duì)稱周期方波的傅立葉 級(jí)數(shù)并畫出頻譜圖解：x(t)T A t -A 非對(duì)稱周期方波解：周期方波信號(hào)的 基頻傅里葉系數(shù)名師推薦0精心整理學(xué)習(xí)必備2Tb n奇函數(shù)：a0anA02Tx(t)sinn0t dtt 的偶函數(shù)2 TT21cosn24TAsinn0td t2T0n4An 為奇數(shù)n 為偶數(shù)n 0n次諧波的幅值和相角A na22 b nb n4 nA，n2n(n,1 5,3 ,)最后得 傅立葉級(jí)數(shù)x(t)n4名師推薦精心整理)學(xué)習(xí)必備,1,3 ,5)Acos( n0t2(nn頻譜圖 0 An 4A4A 34A 5

5、 n 23 0 5 0 幅頻譜圖相頻譜圖二、周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式歐拉公式ejtcostjsint或名師推薦1精心整理e學(xué)習(xí)必備costejtjt2 jsintejtejt2j 1 傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式x(t)nc nejn0t(n0 ,12,3)復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù) 的表達(dá)式c 0a 021Tx( t)dt2 TT2c na njbn)ejn0tdt1x (tT2 TT2名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備其中 an，bn的計(jì)算公式與三角函數(shù)形式相 同，只是 n包括全部整數(shù)。一般cn是個(gè)復(fù)數(shù)。因?yàn)閍n是n的偶函數(shù) ，bn是n的奇函數(shù)，因此a na# bnb nn即：實(shí)部相等，虛部相反，cn的復(fù)指數(shù)形

6、式cncnejn共軛性還可以表示為cn與c-n共軛。c ncn，nn即： cn與c-n模相等，相角相反。傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號(hào)頻率結(jié) 構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系對(duì)于n0c na2 n(b n)2A n（等于三角22名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備函數(shù)模的一半）narctgb n（與三角函數(shù)形式中的an相角相等）cnA n， 相 頻 譜2narctgb narctgb na na n用cn畫頻譜：雙邊頻譜 第 一 種 ： 幅 頻 譜 圖 :| cn|-圖:n-A nA 1名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備c 1A 1c 2A 2cn2020020n0222011 n022000121單邊頻譜雙邊頻譜第二種：實(shí)

7、譜頻譜圖 : Recn-，虛頻譜圖：Imcn-；也就是 an-和-bn-. # 名師推薦 精心整理 學(xué)習(xí)必備 23 非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜 分兩類：a. 準(zhǔn)周期信號(hào) 定義：由沒有公共周期 （頻率） 的周期 信號(hào)組成 頻譜特性：離散性，非諧波性 判斷方法：周期分量的頻率比 （或周期 比）不是有理數(shù) b. 瞬變非周期信號(hào)x(t)x(t)x(t)t t t 幾種瞬變非周期信號(hào) 數(shù)學(xué)描述 ：傅里葉變換 一、傅里葉變換 演變思路 ：視作周期為無窮大的周期信號(hào) 式（ 2.22）借助（ 2.16）演變成：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備x(t)的傅里葉變換 X( )x(t)1x(t)ejtdtejtd2定義 x(t)

8、的傅里葉變換 X( )X()x (t)ejtdtX( )的傅里葉反變換 x(t):x(t)1X() ejtd2傅里葉變換的頻譜意義 ：一個(gè)非周期信號(hào)可以分解為角頻率 諧波連續(xù)變化的無數(shù)1X()ejtd2的疊加 。稱X( )其為函數(shù) x(t)的頻譜密度函名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系 ：1X()dejtcnejn0t2X( )描述了 x(t)的頻率結(jié)構(gòu) X( )的指數(shù)形式 為X()X()ej()以頻率 f (Hz)為自變量，因?yàn)?f =w/(2p)，得xX(f)Xx(t)ej 2fftdt(t)(f)ej 2tdfX( f )的指數(shù)形式X(f)X(f)je(f)頻譜圖 幅值頻譜圖和相位頻譜

9、圖：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備幅值頻譜圖相位頻譜圖X()()實(shí)頻譜圖 ReX( ) 和虛頻譜圖 Im( ) 如果 X( )是實(shí)函數(shù)，可用一張 X( )圖表示。負(fù)值理解為幅值為 X( )的絕對(duì)值，相角為或。二、傅里葉變換的主要性質(zhì)（一） 疊加性a 1x 1(t)a2x2(t)FTa 1X1(f)a2X2(f)（二） 對(duì)稱性X(t)FTx(f)（注意翻轉(zhuǎn)）名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備（三） 時(shí)移性質(zhì)x(tt0)FTX(f)ej2ft0（幅值不變，相位隨（四） 頻移性質(zhì)f 改變 2 ft0）x(t)ej2ft0FTX(ff0)（注意兩邊正負(fù)號(hào)相反）（五） 時(shí)間尺度改變特性x(at)1X(f)aa（六） 微

10、分性質(zhì)dnx(t)FT(j2f)nX(f)dtn（七） 卷積性質(zhì)（1）卷積定義x(t)y(t)x()y(t)d名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備（2）卷積定理三、x (t)y(t)FTX(f) Y(f)x (t)y(t)FTX(f)Y(f)脈沖函數(shù)及其頻譜（一）脈沖函數(shù) ：t0 A(tt0t)x(t) x(t) 1/(t)- /2/2t定義 函數(shù)（要通過函數(shù)值和面積兩方面定 義）函數(shù)值 ：(t)0t0t0脈沖強(qiáng)度（面積）名師推薦(t精心整理1學(xué)習(xí)必備)dt（二） 脈沖函數(shù)的樣質(zhì)1 脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì)：t0 ( t0t)(t)x( t0)(tt0)x(0 )(t)x(t) x(t) tt函數(shù)值 ：

11、x ( t)( tt 0)0t0t0強(qiáng)度 ：x (t)(tt0)dtx(t0)(tt0)dtx(t0)結(jié)論：1. 結(jié)果是一個(gè)脈沖， 脈沖強(qiáng)度是 x(t)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備在脈沖發(fā)生時(shí)刻的函數(shù)值 2. 脈沖函數(shù)與任意函數(shù)乘積的積分 等于該函數(shù)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的的值。2 脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì) ：(a) 利用結(jié)論 2x(t)(t)x (tx()(t)d)(t)dx (t)(b) 利用結(jié)論 2 x(t)(tt0)x()(tt0)dx (tt0)(tt0)dx (tt)0結(jié)論： 平移x(t) 名師推薦0t)精心整理0t學(xué)習(xí)必備(tx(t)t0 t（三） 脈沖函數(shù)的頻譜( t)FT(f)( t) ej2 dt1均勻幅值譜由此導(dǎo)出的其他 3個(gè)結(jié)果1( tFTt0)FTej2ft0（利用時(shí)移性f質(zhì)）（利用對(duì)稱性f質(zhì)）ej2f0tFT