實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)時(shí)空第八講圖論概念和一筆畫問題

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)時(shí)空第八講圖論概念和一筆畫問題（教材：第八章圖論概念和一筆畫問題）一圖的基本概念二歐拉環(huán)游及弗萊里算法三中國(guó)郵遞員問題四實(shí)際問題應(yīng)用舉例一圖的基本概念圖現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常碰到一些現(xiàn)象，如：在一群人中有些人互相認(rèn)識(shí)，有些人互相不認(rèn)識(shí)。又如：某航空公司在100個(gè)城市之間建立若干航線，某些城市間有直達(dá)航班，而另一些城市間沒有直達(dá)航班等等。以上現(xiàn)象都有共同內(nèi)容：一是有研究的“對(duì)象”，如人，城市等；二是這些對(duì)象之間存在著某種關(guān)系：如互相認(rèn)識(shí)，有直達(dá)航班等。為了表示這些對(duì)象以及對(duì)象之間的關(guān)系，我們將“點(diǎn)”代表“對(duì)象”，“邊”表示“對(duì)象之間的關(guān)系”，引出了“圖”這個(gè)概念。圖：由若干個(gè)不同的點(diǎn)與連接

2、其中某些頂點(diǎn)的邊所組成的圖形，稱為圖。由此可見，圖有二要素：“點(diǎn)”和“邊”：“點(diǎn)”表示對(duì)象，“邊”反映對(duì)象之間的關(guān)系。圖由頂點(diǎn)集和邊集構(gòu)成，我們記為G(V,E)。注解：這里點(diǎn)和邊并不是通常的歐氏空間內(nèi)的對(duì)象，例如，這里邊沒有“長(zhǎng)度”的概念，邊不是由點(diǎn)構(gòu)成等等。因而我們用紙上的幾何圖形來(lái)表示圖時(shí)，點(diǎn)的位置、邊的長(zhǎng)度、曲直都無(wú)關(guān)緊要，但是點(diǎn)和點(diǎn)是否有邊連接是一定的。網(wǎng)絡(luò)：對(duì)圖中的頂點(diǎn)和邊賦以具體的含義和權(quán)，這樣的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。邊e可以表示為e（），稱和是邊e的端點(diǎn)，邊e與點(diǎn)和關(guān)聯(lián)。次：與某一點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為點(diǎn)的次。奇點(diǎn)：次為奇數(shù)的點(diǎn)。偶點(diǎn)：次為偶數(shù)的點(diǎn)。對(duì)于圖G中一個(gè)點(diǎn)、邊交錯(cuò)的序列鏈：如果，且

3、互不相同，稱這個(gè)序列是到的鏈。閉鏈：如與相同，稱這條鏈為閉鏈。路：如果鏈中的各點(diǎn)也不同，稱這樣的鏈為路。圈：如互不相同的閉鏈稱為圈。連通：若G中兩點(diǎn)u和v之間存在路，則稱u和v是連通的。連通關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，可以把圖中的點(diǎn)分成若干部分，使得同一部分的點(diǎn)總是連通的，不同的部分總是不連通的。每個(gè)部分連同連接它們的邊（兩個(gè)端點(diǎn)都在同一部分的邊）稱為組成G的一個(gè)分圖。注解：要說(shuō)明連通關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，只要說(shuō)明連通關(guān)系具有下面三個(gè)性質(zhì)：1、每一個(gè)點(diǎn)自己總是和自己連通的；如果u和v連通，則v和u也是連通的；如果u和v連通，v和w連通，則u和w也連通。）若G只有一個(gè)分圖，則G是連通的。在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)N=(V,E

4、,W)中，環(huán)游：經(jīng)過(guò)N中每一邊至少一次的閉鏈稱為N的環(huán)游。歐拉環(huán)游：經(jīng)過(guò)N中每一邊恰好一次的環(huán)游稱為歐拉環(huán)游?？梢?，“能一筆畫”的圖即該圖“有歐拉環(huán)游”。注意：若N有歐拉環(huán)游，則它的每個(gè)歐拉環(huán)游具有相同的權(quán)，也是最優(yōu)環(huán)游。二歐拉環(huán)游及弗萊里算法這里看一個(gè)著名的“七橋問題”：流經(jīng)哥尼斯堡的普雷格河的河灣有兩個(gè)小島，七座橋連接了兩岸和小島（如圖1），當(dāng)?shù)亓鱾饕粋€(gè)游戲：要求在一次散步中恰好通過(guò)每座橋一次圖1 圖2 圖3 圖4在這個(gè)問題中，我們可以將“兩個(gè)小島和兩岸”看成“點(diǎn)”。連接他們之間的“七座橋”看成“邊”，得到圖2。 “七橋問題”可以歸結(jié)為“一筆畫”問題：即能否用一支筆不離開紙面地畫出經(jīng)過(guò)所有

5、橋一次的路線。用圖論的術(shù)語(yǔ)，就是一個(gè)圖是否存在歐拉環(huán)游？如果有，如何找出來(lái)？一個(gè)圖存在歐拉環(huán)游的條件是：網(wǎng)絡(luò)N有歐拉環(huán)游當(dāng)且僅當(dāng)N中每一點(diǎn)的次為偶數(shù)。一般地，一個(gè)圖能“一筆畫”（不要求回到起點(diǎn)），當(dāng)且僅當(dāng)該圖或沒有奇點(diǎn)，或只有2個(gè)奇點(diǎn)。利用上述結(jié)論，我們判定“七橋問題”不能實(shí)現(xiàn)“一筆畫”，因?yàn)槠邩騿栴}中的圖有4個(gè)奇點(diǎn)。 但是要注意，一個(gè)圖存在歐拉環(huán)游，如果方法不對(duì)，仍然可能找不到具體的歐拉環(huán)游。如圖3： 如果從A出發(fā)我們沿ABCA取一條路，則就不可能再繼續(xù)從A出發(fā)，走遍余下的邊。上面的例子說(shuō)明找歐拉環(huán)游必須要遵循一定的準(zhǔn)則。這就是求一個(gè)圖的歐拉環(huán)游的弗萊里算法。弗萊里算法可求得N的最優(yōu)環(huán)游。計(jì)

6、算步驟：1)任意選取N的一個(gè)頂點(diǎn)，置。2)假設(shè)鏈已選定，從中按下述方法選取:(1)和相關(guān)聯(lián)。(2)盡量不選（是中去掉邊而得到的圖）的割邊（即去掉此邊后，圖變?yōu)椴贿B通），除非沒有非割邊可選擇。3)設(shè)另一關(guān)聯(lián)點(diǎn)。若,重復(fù)步驟2);否則即為N的一條歐拉環(huán)游。例1：已知N（圖G）有歐拉環(huán)游，求N的歐拉環(huán)游。圖G解答（例題解答：(1)選取N的一個(gè)頂點(diǎn);(2)B,C,D都與A相鄰，取;(3)從中選取，A,C,E都與B相鄰，圖G去掉得到圖圖根據(jù)弗萊里算法，要求不能是圖的割邊，與B相關(guān)的三條邊中都不是圖的割邊，可任選一條，不妨就選。(4)從選取，C,D都與A相鄰，圖G去掉,得到圖圖,都不是圖的割邊，可任選一條

7、，不妨就選(5)從選取，B,D,E都與C相鄰，圖G去掉，得到圖圖都不是圖的割邊，可任選一條，不妨就選(6)從選取，A,D都與D相鄰，圖G去掉，得到圖圖兩條邊中，是圖的割邊，如果我們選,就找不出歐拉環(huán)游。所以我們應(yīng)選。重復(fù)以上步驟，最后得到N的歐拉環(huán)游為。）三中國(guó)郵遞員問題問題提出：（中國(guó)郵遞員問題）郵遞員從郵局中取出郵件，遞送到不同地點(diǎn)，然后再返回郵局。假設(shè)要求他至少一次走過(guò)他投遞范圍內(nèi)的每一條街道，我們希望選擇一條盡可能短的路線。中國(guó)郵遞員問題要求的是在具有非負(fù)權(quán)的網(wǎng)絡(luò)中找出一條權(quán)最小的環(huán)游，即最優(yōu)環(huán)游。如果網(wǎng)絡(luò)存在歐拉環(huán)游，我們可以按照上面的弗萊里算法求得其歐拉環(huán)游。對(duì)于一個(gè)沒有歐拉環(huán)游的

8、網(wǎng)絡(luò)N，可以通過(guò)添重復(fù)邊的方法使得添加重復(fù)邊后的網(wǎng)絡(luò)具有歐拉環(huán)游。這里的關(guān)鍵問題是要求所添加重復(fù)邊的權(quán)的和盡可能地小。對(duì)于一個(gè)具有非負(fù)權(quán)的網(wǎng)絡(luò)N，添重復(fù)邊的方法：點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，可用Edmonds和Johnson算法（這一算法較為復(fù)雜，這里不作介紹）；點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，可用奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法求解。先給出兩個(gè)結(jié)論：結(jié)論1.網(wǎng)絡(luò)N有歐拉環(huán)游當(dāng)且僅當(dāng)N中每一點(diǎn)的次為偶數(shù)。結(jié)論2.最優(yōu)環(huán)游具有這樣的性質(zhì)：(1)每條邊至多重復(fù)一次(2)每一圈上重復(fù)邊的長(zhǎng)度不超過(guò)該圈總長(zhǎng)的一半。從而得奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法如下: 若N的每一點(diǎn)的次均為偶數(shù)，則用弗萊里算法求得其歐拉環(huán)游，此即N的最優(yōu)環(huán)游。 若不然，則用添重復(fù)邊的辦法得到N的

9、添加重復(fù)邊后的的網(wǎng)絡(luò)。求得的歐拉環(huán)游（用弗萊里算法)，然后逐一檢查的每一個(gè)圈，并按結(jié)論2進(jìn)行調(diào)整，直到滿足結(jié)論2為止。奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法口訣：先分奇偶點(diǎn)，奇點(diǎn)對(duì)對(duì)連；連線不重迭，重迭需改變；圈上連線長(zhǎng)，不得過(guò)半圈。例2設(shè)某郵遞員負(fù)責(zé)投遞郵件的街道如圖所示，求出該郵遞員的最短投遞路線。圖3解答（例二解答原圖：解：利用口訣：(1)先找奇偶點(diǎn)，奇點(diǎn)為：(2)奇點(diǎn)對(duì)對(duì)連，得到圖4：圖4(3)檢查圖中每一個(gè)圈，其重復(fù)邊長(zhǎng)度均不超過(guò)半圈長(zhǎng)，在圈中所添重復(fù)邊和總長(zhǎng)為12，超過(guò)了這個(gè)圈的總長(zhǎng)21的一半，所以將重復(fù)邊和去掉，將該圈中未重復(fù)的邊，重復(fù)。調(diào)整后，得到圖5：圖5再利用弗萊里算法求得的歐拉環(huán)游即最優(yōu)環(huán)游。

10、）四實(shí)際問題應(yīng)用舉例掃雪問題（教材第104頁(yè)）教材第104頁(yè)上，圖8.6（a）中的實(shí)線表示美國(guó)馬里蘭州克爾米市需要清除積雪的雙向行車道路，虛線是州高速公路。雪后兩輛掃雪車分別從地圖*號(hào)標(biāo)出的兩點(diǎn)以西約4英里處出發(fā)清掃道路上的積雪。掃雪車可以通過(guò)高速公路進(jìn)入市內(nèi)道路。假定掃雪過(guò)程中掃雪車不會(huì)損壞或停止，并且道路交叉處不需要另外附加的掃雪程序。試為兩車找出有效的路徑。1問題的分析完成清除積雪任務(wù)的有效解法應(yīng)具有以下特點(diǎn)：(1)掃完全部路面所花的時(shí)間盡量少。(2)掃雪完畢后，兩車應(yīng)盡快回到出發(fā)點(diǎn)。(3)兩車工作時(shí)間大致相同。對(duì)于(1)，我們認(rèn)為，如果掃雪車沒有重復(fù)走某一條路，或重復(fù)走的路徑和最小，則

11、掃雪所花時(shí)間少。在(1)和(2)的情況下，如果只有一輛掃雪車，即可歸結(jié)為中國(guó)郵遞員問題。對(duì)于(3)，兩車工作時(shí)間大致相同，即要求兩車走過(guò)的路程和大致相同，這也是要求（1）的自然結(jié)論。因此可將該圖劃為兩個(gè)子圖，使這兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的權(quán)盡可能的相等。2模型的假設(shè)可作如下的假設(shè)：(1)掃雪過(guò)程中沒有下雪，所有室內(nèi)道路都有積雪需要清除。(2)兩輛掃雪車性能相同，都能正常工作。(3)兩輛掃雪車司機(jī)駕駛技術(shù)相同，掃雪時(shí)，車速相同。(4)在所有交叉路口，包括室內(nèi)道路與高速公路的接口，掃雪車可不減速地轉(zhuǎn)彎。(5)兩輛車出發(fā)的時(shí)間相同。(6)每條路面的積雪范圍、厚度相同。3模型的建立(1)雙行道問題假設(shè)：每條道路有兩

12、條相反的行車道。A可將地圖中每個(gè)交叉路口看成點(diǎn)，每條市內(nèi)道路看成邊，道路的長(zhǎng)度看成該邊對(duì)應(yīng)的權(quán)，這樣就將地圖變成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)N（V,E,W）B由假設(shè)，每條道路均是雙行道，即網(wǎng)絡(luò)N上的點(diǎn)均為偶點(diǎn)，由上一節(jié)的結(jié)論1可知，該網(wǎng)絡(luò)N是一個(gè)歐拉有向圖，可用弗萊里算法求得N的歐拉環(huán)游。C若只有一輛掃雪車，該問題轉(zhuǎn)化為中國(guó)郵遞員問題?，F(xiàn)在有兩輛掃雪車，工作性能完全相等，要使工作時(shí)間盡量少，我們可將網(wǎng)絡(luò)N分成兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)和。和均連通，且兩網(wǎng)絡(luò)的權(quán)盡可能相同。可用如下方法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的分割：把網(wǎng)絡(luò)N分成兩個(gè)連通子網(wǎng)絡(luò)，分別算出兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中所有邊的總長(zhǎng)度。由于N的總邊長(zhǎng)已知，在總長(zhǎng)較大的子網(wǎng)絡(luò)中劃出一些與另一子網(wǎng)絡(luò)相連的邊

13、，添加到總長(zhǎng)較小的子網(wǎng)絡(luò)中。(2)單行道問題先加對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)N分成兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)和。要求和子網(wǎng)絡(luò)邊總長(zhǎng)度相等，再利用中國(guó)郵遞員問題的解法，可以分別求得和的歐拉環(huán)游，得到近似解。注解：?jiǎn)涡械绬栴}較雙行道問題復(fù)雜，因?yàn)橐砑又貜?fù)邊，添加了重復(fù)邊之后的兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的權(quán)和可能會(huì)有差異，為網(wǎng)絡(luò)的劃分增加了困難。4進(jìn)一步討論(1)不管雙行道問題還是單行道問題，都須對(duì)原網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行劃分?？蓽y(cè)量圖中各路徑的長(zhǎng)度，并將數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，由計(jì)算機(jī)劃分網(wǎng)絡(luò)。(2)若兩掃雪車性能不同，或出發(fā)時(shí)間不同等造成兩車的差異，可將網(wǎng)絡(luò)按比例劃分。(3)若首先應(yīng)該清掃主干道積雪，這就要考慮如何規(guī)定主干道。(4)若遇到大風(fēng)，就要考慮順風(fēng)與逆風(fēng)時(shí)

14、車速不同等因素。2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）說(shuō)明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1函數(shù)在上的最小值是 （ C ）A0 B1 C2 D3解 當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)而此方程有解，因此在上的最小值為22設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ D ）A B C

15、D解 因有兩個(gè)實(shí)根 ，故等價(jià)于且，即且，解之得3甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為 （ B ）A. B. C. D. 解法一 依題意知，的所有可能值為2，4，6.設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故解法二 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨(dú)立性與互不相容性

16、得， ， ，故4若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個(gè)正方體的體積之和為 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3解 設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為，則有，不妨設(shè)，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無(wú)解，若，則無(wú)解此時(shí)無(wú)解若，則，有唯一解，若，則，此時(shí)，故，但，故，此時(shí)無(wú)解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm35方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 若，則解得或若，則由得 由得 將代入得 由

17、得，代入化簡(jiǎn)得.易知無(wú)有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是 （ C ）A. B. C. D. 解 設(shè)的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 5 .解 由題意知，由得，因此，8設(shè)的最小值為，則解 ，(1) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值；(2) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值1；(3) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值又或時(shí)，的最小值不能為，故，解得，(舍去)9將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則

18、每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有 222種解法一 用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用表示名額如 表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額若把每個(gè)“”與每個(gè)“”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當(dāng)于個(gè)位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“”占領(lǐng)的一種“占位法”“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“”，故有種又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種解法二設(shè)分配給3個(gè)學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個(gè)名額的分法數(shù)為不定方程的正整

19、數(shù)解的個(gè)數(shù)，即方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，它等于3個(gè)不同元素中取21個(gè)元素的可重組合：又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種10設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則通項(xiàng)=解 ，即 2 =，由此得 2令，()，有，故，所以11設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足 ，則=解法一 由題設(shè)條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以12一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 解 如答12圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況

20、，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因答12圖1 ，故，從而記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13已知函數(shù)的圖像與直線有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，求證： 答13圖證 的圖象與直線的

21、三個(gè)交點(diǎn)如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點(diǎn)為，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即 5分分組分解 ， 10分所以， 15分所以，即或故原不等式解集為 20分解法二 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于5分即， ， 10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價(jià)于 ， 15分即，解得(舍去)，故原不等式解集為 20分題15圖15如題15圖，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值解 設(shè)，不妨設(shè)直線的方程:，化簡(jiǎn)得 又圓心到的距離為1， 5分故，易知，上式化簡(jiǎn)得， 同理有 10分所以，則因是拋物線上的點(diǎn)

22、，有，則 ， 15分所以 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)因此的最小值為8 20分2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（A卷）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、（本題滿分50分）如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，令（）求證：當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓；（）設(shè)是外接圓的上一點(diǎn)，滿足：，又是的切線，求的最小值解法一 （）如答一圖1，由托勒密不等式，對(duì)平面上的任意點(diǎn)，有答一圖1 因此 因?yàn)樯厦娌坏仁疆?dāng)且僅當(dāng)順次共圓時(shí)取等號(hào)，

23、因此當(dāng)且僅當(dāng)在的外接圓且在上時(shí)， 10分又因，此不等式當(dāng)且僅當(dāng)共線且在上時(shí)取等號(hào)因此當(dāng)且僅當(dāng)為的外接圓與的交點(diǎn)時(shí)，取最小值故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓 20分（）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分從而，為等腰直角三角形因，則又也是等腰直角三角形，故，故 50分答一圖2解法二 （）如答一圖2，連接交的外接圓于點(diǎn)（因?yàn)樵谕猓试谏希┻^(guò)分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以 10分設(shè)，則對(duì)平面上任意點(diǎn)，有 ，從而 由點(diǎn)的任意性，知點(diǎn)是使達(dá)最小值的點(diǎn)由點(diǎn)在上，故四點(diǎn)共圓

24、 20分（）由（），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去）， 故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分所以，為等腰直角三角形，因?yàn)?，點(diǎn)在上，所以為矩形，故，所以 50分解法三 （）引進(jìn)復(fù)平面，仍用等代表所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)由三角形不等式，對(duì)于復(fù)數(shù)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)與（復(fù)向量）同向時(shí)取等號(hào)有 ，所以 （1） ，從而 （2） 10分（1）式取等號(hào)的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實(shí)數(shù)，使得 ， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點(diǎn)共圓（2）式取等號(hào)的條件顯然為共線且在上故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)在之外接圓上，四點(diǎn)共圓 20分（）由（）知以下同解法一二

25、、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且證明：（）若為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)，使是的周期；（）若為無(wú)理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個(gè)都是的周期證（）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 于是是的周期10分又因，從而設(shè)是的素因子，則，從而 是的周期 20分（）若是無(wú)理數(shù)，令 ，則，且是無(wú)理數(shù)，令 ， ， 30分由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無(wú)理數(shù)且又，故，即因此是遞減數(shù)列 40分最后證：每個(gè)是的周期事實(shí)上，因1和是的周期，故亦是的周期假設(shè)是的周期，則也是的周期由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期 50分三、（本題滿分50分）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿足以下條件：（），；（）

26、存在；（）， 證 必要性：假設(shè)存在滿足（），（），（iii）注意到（）中式子可化為 ， 其中將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得 10分由（）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此 20分充分性：假設(shè)定義多項(xiàng)式函數(shù)如下： ，則在0,1上是遞增函數(shù)，且，因此方程在0,1內(nèi)有唯一的根，且，即 30分下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設(shè)條件（），且 因，故，因此，即的極限存在，滿足（） 40分最后驗(yàn)證滿足（），因，即，從而 綜上，存在數(shù)列滿足（），（），（） 50分本函數(shù)的基本性質(zhì)08級(jí)15班 周馨藝名稱常函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)圖像解析式定義域RRR值域R單調(diào)性不具有單調(diào)性，在R上 遞增，在R上遞減,在上單減，

27、在上單增則反之，在和上單減；則反之奇偶性偶函數(shù)時(shí)，既奇又偶當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，不具有奇偶性當(dāng)即時(shí)為偶函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)不具有奇偶性奇函數(shù)備注方程x=c不是函數(shù)斜截式：斜率= 縱截距橫截距a決定開口方向（）有實(shí)根；，無(wú)實(shí)根韋達(dá)定理，求根公式：頂點(diǎn)坐標(biāo)（）若則對(duì)稱軸根分布問題結(jié)合圖像解決變換形式：數(shù)的學(xué)習(xí)小結(jié)高一4班 朱兆梁在17世紀(jì)之前，一直與公式緊密關(guān)聯(lián)，到了1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（1805-1859）抽象出了直至今日仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。一、函數(shù)的概念。1. 定義：設(shè)某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，是一個(gè)給定數(shù)集.若對(duì)，按照一定法則，總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)

28、.記為，為定義域.函數(shù)值的全體為函數(shù)值域.2函數(shù)與映射映射的概念觀察下列對(duì)應(yīng)（投影2）：（為簡(jiǎn)明起見，這里的A、B都是有限集合）（對(duì)每個(gè)對(duì)應(yīng)都要強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)法則，集合順序）映射的定義一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射。記作：f：AB由此定義：（2），（3），（4）三個(gè)對(duì)應(yīng)都是A到B的映射，（1）的對(duì)應(yīng)不是A到B的映射。（2）f: x; (3)f: xx2; (4)f: x2x象，原象的概念給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且aA，bB。如果在對(duì)應(yīng)法則

29、f的作用下，元素a和元素b對(duì)應(yīng)，則元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三個(gè)要素：兩個(gè)集合，一種對(duì)應(yīng)法則，缺一不可；（2）A，B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合。這兩個(gè)集合具有先后順序：符號(hào)“f：AB”表示A到B的映射，符號(hào)“f：BA”表示B到A的映射，兩者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以構(gòu)成映射），但兩個(gè)（或兩個(gè)以上）元素可以允許有相同的象（如圖（3）；例：“A=0,1,2,B=0,1,1/2,f:取倒數(shù)”就不可以構(gòu)成映射，因?yàn)锳中元素0在B中無(wú)象（4）集合B中的元素在A中可以沒有原象（如圖（4），即使有

30、也可以不唯一（如圖（3）；（5）A=原象，B象。一 一映射的概念問題3：觀察圖（2）、（3）、（4），想一想這三個(gè)對(duì)應(yīng)有什么不同特點(diǎn)？分析：（3）是多對(duì)一（即多個(gè)元素有同一個(gè)象）；（4）是一對(duì)一（但B中有的元素在A中沒有原象）；（2）是一對(duì)一（且B中所有元素在A中都有原象）；再觀察下圖：(投影4)由此有：“一一映射”的定義：一般地，一個(gè)映射f：AB，若滿足：a. 對(duì)于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(單射)b. 集合B中每一個(gè)元素都有原象；（滿射）那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射。例：分析上面圖中或上面例題中對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的一一映射？為什么？注意：（1）一一映射是一種特殊的

31、映射（A到B是映射，B到A也是映射，或從一一映射定義解釋）；（2）若在映射f：AB中，象的集合CB ，則映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要條件。 （想一想為什么不充分？）（因?yàn)橛成鋐：AB未指出對(duì)于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：AB可能是多對(duì)一的情形。）注 定義域與對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)要素，它是判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同的標(biāo)準(zhǔn). 如：與不同；與不同；與相同；與相同.2. 分段函數(shù)：用幾個(gè)式子來(lái)表示一個(gè)函數(shù)為分段函數(shù).如：的定義域?yàn)?；的定義域?yàn)?例1 定義域，值域；3函數(shù)的三種表示方法（1）解析法（將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式表示）：如等。優(yōu)點(diǎn)：（2）列表法（列出表格表示兩

32、個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系）： 如：平方表，三角函數(shù)表，利息表，列車時(shí)刻表，國(guó)民生產(chǎn)總值表等。優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算，就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。（3）圖象法（用圖象來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系）：如：優(yōu)點(diǎn)：直觀形象地表示自變量的變化。二、函數(shù)的幾種特性1. 單調(diào)性設(shè)有函數(shù)，.對(duì)，有，則稱在上單調(diào)遞增；若有，則稱在上單調(diào)遞減.注意 單調(diào)性也與區(qū)間有關(guān).如：在內(nèi)非單調(diào)，但在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減. 例2 證明在內(nèi)單調(diào)遞增.證 ， ，當(dāng)，同號(hào)時(shí)，右邊二因子均正數(shù)，故；當(dāng)，異號(hào)時(shí)，故.故對(duì)，有. 所以在內(nèi)單調(diào)遞增.2. 奇偶性設(shè)有函數(shù)，.若對(duì)，有，則稱為偶函數(shù)；若對(duì)，有，則稱為奇函數(shù).如：是偶函數(shù)，為奇

33、函數(shù)；不滿足上述兩條的為非奇非偶函數(shù)，如.注：奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn)，偶函數(shù)的圖形對(duì)稱于y軸.戰(zhàn)爭(zhēng)中的數(shù)學(xué)擷趣-“山本五十六輸在換彈的五分鐘” 在戰(zhàn)爭(zhēng)中，有時(shí)候忽略了一個(gè)小小的數(shù)據(jù)，也會(huì)招致整個(gè)戰(zhàn)局的失利。 二戰(zhàn)中日本聯(lián)合艦隊(duì)司令山本五十六也是一位“要么全贏，要么輸個(gè)精光”的“拼命將軍”。在中途島海戰(zhàn)中，當(dāng)日本艦隊(duì)發(fā)現(xiàn)按計(jì)劃空襲失利，海面出現(xiàn)美軍航空母艦時(shí)，山本五十六不聽同僚的合理建議，妄圖一舉殲滅敵方，根本不考慮美軍4艦載飛機(jī)可能先行攻擊可能。他命令停在甲板上的飛機(jī)卸下炸彈換上魚雷起飛攻擊美艦，只圖靠魚雷擊沉航空母艦獲得最大的打擊效果，不考慮飛機(jī)在換裝魚雷的過(guò)程中可能遭到美機(jī)攻擊的后果，因?yàn)?/p>

34、飛機(jī)換彈的最快時(shí)間是五分鐘。 結(jié)果，在把炸彈換裝魚雷的五分鐘內(nèi)，日艦和“躺在甲板上的飛機(jī)”變成了活靶，受到迅速起飛的美軍艦載飛機(jī)的“全面屠殺”。日本艦隊(duì)損失慘重。從此，日本在太平洋海域由戰(zhàn)略進(jìn)攻轉(zhuǎn)入了戰(zhàn)略防御。 戰(zhàn)后，有些軍事評(píng)論家把日本聯(lián)合艦隊(duì)在中途島海戰(zhàn)失敗原因之一歸咎于那“錯(cuò)誤的五分鐘”?？梢姡雎粤诉@個(gè)看似很小的時(shí)間因素的損失是多么重大。智力陷井買蟹騙局 一人提了一簍又肥又大的螃蟹到一條小街上出售，開價(jià)每斤(500克)50元不一會(huì)兒，先后過(guò)來(lái)兩個(gè)青年，由此一場(chǎng)合謀的騙局開始了兩青年中的一人自言自語(yǔ)：這些蟹倒不錯(cuò)，不過(guò)，我就喜歡吃蟹肚，蟹腳、蟹鉗吃起來(lái)真討厭，真不想吃另一青年馬上插話，說(shuō)

35、：如果蟹腳、蟹鉗便宜些價(jià)錢賣給我，下下酒倒蠻好的于是他們煞有介事地商量決定蟹肚35元一斤，蟹腳、蟹鉗15元一斤轉(zhuǎn)而對(duì)賣蟹人說(shuō)，這些蟹我們包了，你幫我們分一分，再稱給我們，反正35元加15元仍然是50元，我們又不占你便宜賣蟹人一時(shí)沒有反應(yīng)過(guò)來(lái)，沒有覺察其中有詐，就按他們的意思做了結(jié)果分得蟹肚3斤，蟹腳、蟹鉗1斤，兩青年分別付了105元和15元，他們分別拿著蟹肚、蟹腳和留鉗走了事后，賣蟹人一數(shù)鈔票共120元，這與他來(lái)小街前預(yù)計(jì)的數(shù)字相差甚遠(yuǎn)，發(fā)現(xiàn)有問題，再想去追回買蟹人，但已來(lái)不及了，只能連呼上當(dāng)想一想，這個(gè)問題錯(cuò)在哪里？應(yīng)該怎樣付錢才合理？ 解：這是一個(gè)不難解決的問題，按優(yōu)質(zhì)優(yōu)價(jià)的原則，蟹肚質(zhì)量

36、明顯優(yōu)于整只蟹的質(zhì)量，所以蟹肚價(jià)格應(yīng)高于整只蟹的價(jià)格，就是說(shuō)蟹肚價(jià)格應(yīng)高于50元，現(xiàn)在定在35元是不合理的，為了較為容易地說(shuō)明問題，不妨設(shè)想蟹肚、蟹腳和蟹鉗各買1斤，貨款的和是50元，但重量的和卻是2斤，這不就說(shuō)明兩者都低于原價(jià)是不合理嗎？ 合理的方法是先稱出蟹的總重量(4斤)后， 計(jì)算得貸價(jià)是504200(元)，賣蟹人應(yīng)要買蟹人付200元，至于蟹肚、蟹腳和蟹鉗的具體價(jià)格可以由買蟹人自己去協(xié)商議定美妙的對(duì)稱 鬧鐘、飛機(jī)、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有一個(gè)共同特性對(duì)稱。在鬧鐘、屋架、飛機(jī)等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說(shuō)，當(dāng)這條線的一邊繞這條線

37、旋轉(zhuǎn)180度后，能與另一邊完全重合。在數(shù)學(xué)上把具有這種性質(zhì)的圖形叫作軸對(duì)稱圖形，這條線叫作對(duì)稱軸。電扇的葉子不是軸對(duì)稱圖形，不管怎么畫線，都無(wú)法找到這條直線。但電扇的一個(gè)扇葉，如果繞這電扇中心旋轉(zhuǎn)180度后，會(huì)與另一個(gè)扇葉原來(lái)所在位置完全重合。這種圖形數(shù)學(xué)上稱為中心對(duì)稱圖形，這個(gè)中心點(diǎn)稱為對(duì)稱中心。顯然鬧鐘也是一個(gè)中心對(duì)稱圖形。所有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，統(tǒng)稱為對(duì)稱圖形。人們把鬧鐘、飛機(jī)、電扇制造成對(duì)稱形狀，不僅為了美觀，而且還有一定的科學(xué)道理：鬧鐘的對(duì)稱保證了走時(shí)的均勻性，飛機(jī)的對(duì)稱使飛機(jī)能在空中保持平衡。對(duì)稱也是藝術(shù)家們創(chuàng)造藝術(shù)作品的重要準(zhǔn)則。像中國(guó)古代的近體詩(shī)中的對(duì)仗，民間常用的對(duì)聯(lián)等，都

38、有一種內(nèi)在的對(duì)稱關(guān)系。如果說(shuō)建筑也是一種藝術(shù)的話，那么建筑藝術(shù)中對(duì)稱的應(yīng)用就更廣泛。中國(guó)北京整個(gè)城市的布局也是以故宮、天安門、人民英雄紀(jì)念碑、前門為中軸線(對(duì)稱軸)兩邊對(duì)稱的。對(duì)稱還是自然界的一種生物理象。不少植物、動(dòng)物都有自己的對(duì)稱形式。比如人體就是以鼻尖、肚臍眼的連線為對(duì)稱軸的對(duì)稱形體，眼、耳、鼻、手、腳、都是對(duì)稱生長(zhǎng)的。眼睛的對(duì)稱使人觀看物體能夠更加準(zhǔn)確；雙耳的對(duì)稱能使所聽到的聲音具有較強(qiáng)的立體感，確定聲源的位置，雙手、雙腳的對(duì)稱能保持人體的平衡。對(duì)稱是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，但數(shù)學(xué)中的對(duì)稱概念不僅限于圖形的對(duì)稱，也把數(shù)對(duì)(3，4)與(-3，4)稱為平面上關(guān)于y軸對(duì)稱；把數(shù)對(duì)(3，4)與(-

39、3，-4)稱為平面上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。另外還有對(duì)稱方程、對(duì)稱行列式、對(duì)稱矩陣等概念。從一道初中幾何題談起山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高一5班 繆睿大家首先思考這樣一個(gè)問題：如下圖，方格紙中四個(gè)圓A，B，C，D，可以只用直尺就能找出圓心的是（ ）顯然，根據(jù)圓心角定理，在圓A中我們可以找到兩條直徑，用直尺連起來(lái)，其焦點(diǎn)即為圓心。A可以，那么B，C，D呢？B，C，D不易看出能用直尺做出圓心。其實(shí)，B，C，D三圓都可以用直尺找到它的圓心。下面我們來(lái)研究一下為什么在網(wǎng)格點(diǎn)上任意一個(gè)不知圓心的圓用直尺都可以做出它的圓心。I 一條定向直線是一條已知其上A，B兩點(diǎn)和這兩點(diǎn)間線段的中點(diǎn)M的直線。為了通過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)P畫這條線

40、的平行線，先作AP，并在AP的延長(zhǎng)線上選一第點(diǎn)S，將這點(diǎn)與B和M相連接；畫BP，然后通過(guò)BP和MS的交點(diǎn)O畫一條直線AO，使AO截BS于Q，那么，PQ就是所求的平行線（如下圖）。證明：IBP,AQ,SM交于點(diǎn)O,根據(jù)塞瓦定理可得,又AM=MB, ,PQAB.于是我們可以借助網(wǎng)格紙來(lái)用直尺構(gòu)造平行線，繼而用圓心角定理，找出兩條直徑，從而找到圓心。那么不用網(wǎng)格紙，我們能否完成這項(xiàng)任務(wù)呢？下面我們來(lái)研究一下直尺幾何。證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便可作出。早在1759年蘇黎世出版的蘭伯特（Lambert）的著作中，他只用直尺就解了一整套集合作圖題，他是“直尺幾

41、何”的鼻祖。繼蘭伯特之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家，主要是彭賽列（Poncelet）和布列昂匈（Brianchon）著手于直尺幾何的研究，特別是在出版馬索若尼的著作對(duì)這些研究提供了新的促進(jìn)之后，他們?cè)噲D只用直尺作出盡可能多的圖?，F(xiàn)在，只使用直尺只能作那些代數(shù)形式是有理的代數(shù)式的圖形。（因此，例如那種如的式子是不可能的。）這個(gè)情況啟發(fā)彭賽列在平面內(nèi)需要給出一個(gè)輔助定圓（以及圓心。），使有可能只用直尺畫出所有可以用圓規(guī)和直尺作圖的代數(shù)圖形。J斯坦納（1796 1863年）是阿波洛尼斯時(shí)代以來(lái)最偉大的幾何學(xué)家，1883年在柏林出版的他的著名著作中，他確認(rèn)了這個(gè)啟示的必然性。這里所講述的解基于斯坦納著作中的解法，但

42、刪去了那些為達(dá)到現(xiàn)有目的嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是不必要的東西，且省去斯坦納使用的相似定理和等冪軸定理使該題變得更為簡(jiǎn)單一些。由于在直尺幾何中，能直接得知兩條直線的交點(diǎn)，因此僅需證明只用直尺和一個(gè)圓規(guī)就能解前一節(jié)中兩個(gè)基本題II和III。如在解馬索若尼問題的過(guò)程中，必須首先解一些預(yù)備題，在這樣情況下，就有五個(gè)預(yù)備題而不是兩個(gè)。預(yù)備題1：通過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)畫一條已知線的平行線。斯坦納區(qū)分兩種情況：1a畫一條定向直線的平行線；1b畫一條任意直線的平行線。1a一條定向直線是一條已知其上A，B兩點(diǎn)和這兩點(diǎn)間線段的中點(diǎn)M的直線。為了通過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)P畫這條線的平行線，先作AP，并在AP的延長(zhǎng)線上選一第點(diǎn)S，將這點(diǎn)與B和M相連

43、接；畫BP，然后通過(guò)BP和MS的交點(diǎn)O畫一條直線AO，使AO截BS于Q，那么，PQ就是所求的平行線（見圖1）。證明是簡(jiǎn)單的。ABPQSMO圖1YVXAMBgUFPYX圖21b連接已知直線g上一個(gè)點(diǎn)M和已知定圓的中心F，記連接線和圓的交點(diǎn)為U與V。U，F(xiàn)，V三點(diǎn)使FM構(gòu)成定向線。根據(jù)1a，畫一條FM的平行線，使它截圓于X和Y，截直線g于A。然后，若作直徑XFX和YFY，并連接端點(diǎn)X和Y，則連接線交已知線于B點(diǎn)，使MA = MB，而A，M，B三點(diǎn)所確定的直線g就是一條定向直線（見圖2）。這就可以根據(jù)1a來(lái)確定g的平行線。預(yù)備題1給出了下題之解：平行移動(dòng)一已知線段AB，使其一端點(diǎn)在一個(gè)已知點(diǎn)P上。若

44、P點(diǎn)在直線AB之外，找出通過(guò)B點(diǎn)的AP的平行線和通過(guò)P點(diǎn)的AB平行線的交點(diǎn)Q；那么PQ與AB平行。預(yù)備題2：畫一條通過(guò)已知點(diǎn)P到已知直線g的垂線。gUVFPUg圖3畫g平行線g，使其截圓于U與V。然后，畫直徑UFU 和弦VU， VU垂直于線段g，因此，也垂直于直線g。最后根據(jù)1，通過(guò)P點(diǎn)作VU的平行線，這條平行線就是所求的垂線（見圖3）。預(yù)備題3：從一個(gè)已知點(diǎn)O向指定方向畫出已知距離PQ（見圖4）。先考慮O點(diǎn)起始的線段OH所給定的規(guī)定方向。首先根據(jù)1，將PQ平行移動(dòng)至OK，然后從F點(diǎn)在OH及OK方向上畫兩條半徑FU和FV，最后，若通過(guò)K點(diǎn)畫UV的平行線，該平行線與OH的交點(diǎn)S即為所求線段的端點(diǎn)

45、。SOKPQUVFH圖4預(yù)備題4：若已知三段m，n，s，作第四比例項(xiàng)。從任意O畫兩條射線I和II，在I上取OM = m，ON = n，在II上取OS = s；通過(guò)N點(diǎn)作MS的平行線，并令I(lǐng)I的交點(diǎn)為X，那么，所求的第四比例項(xiàng)為：。預(yù)備題5：若已知兩線段為a與b，作比例中項(xiàng)。令所求比例中為x，定圓的直徑為d，根據(jù)預(yù)備題3可畫a + b之和c，這可寫成，這里，（因此h + k = d）。首先，根據(jù)預(yù)備題4，畫線段h和k，根據(jù)預(yù)備題3，在定圓直徑HK上取HO = h，那么KO就等于k。然后，根據(jù)預(yù)備題2，通過(guò)O點(diǎn)作HK的垂線，并記垂線與定圓的交點(diǎn)為S，那么。最后，根據(jù)預(yù)備題4，畫出所求線段x（）?，F(xiàn)

46、在已解完這五道預(yù)備題，這樣解基本題II和III就簡(jiǎn)單了?；绢}II：畫出一已知直線和一已知圓的交點(diǎn)。在直尺幾何中，若一個(gè)圓的圓心和半徑為已知，這個(gè)圓便認(rèn)為以確定。設(shè)已知圓為R，其圓心為C，其半徑為r，已知直線為g，g與圓R的交點(diǎn)為X和Y，交點(diǎn)弦為2s，弦的中點(diǎn)為M，到圓心的距離為l。從直角三角形CMX得等式s2 = r2 l2或者。于是，根據(jù)預(yù)備題2，引g的垂線CM = l；并根據(jù)預(yù)備題3，畫線段a = r + l和b = r l；然后根據(jù)預(yù)備題5，畫線段；最后根據(jù)預(yù)備題3，在線段g上從M向兩個(gè)方向取距離s。所取的線段的端點(diǎn)便是所求交點(diǎn)X和Y。基本題III：求兩個(gè)已知圓的交點(diǎn)。設(shè)兩個(gè)圓U和V，

47、其圓心為A和B，半徑為a和b，連心線AB為c，所求交點(diǎn)為X和Y，弦XY與連心線AB的交點(diǎn)為O，未知線段AO和OX為q和x。求q：根據(jù)畢達(dá)哥拉斯推廣定理，b2 = c2 + a2 2cq，從三角形ABX便可推導(dǎo)出q；這樣，若令c2 + a2等于d2，那么。因此，根據(jù)預(yù)備題2和3，畫一直角邊為a和c的直角三角形，得到斜邊為d。然后根據(jù)預(yù)備題3，畫出線段n = d + b，m = 2c，s = d b。最后，根據(jù)預(yù)備題4，。求x：根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，從三角形OAX得到x2 = a2 q2，這樣。根據(jù)預(yù)備題3，畫h = a + q，k = a q；根據(jù)預(yù)備題5，。X和Y的作圖：根據(jù)預(yù)備題3，在AB上由

48、A，畫出q。根據(jù)預(yù)備題2，在所由線段的端點(diǎn)O上作條AB的垂線，并且（根據(jù)預(yù)備題3）在其上兩個(gè)方向取x。所得線段的端點(diǎn)便是所尋求的交點(diǎn)。用Visual basic解一元二次方程高一8班 王佳音最近的高一微機(jī)課上，我們學(xué)習(xí)了使用Visual basic來(lái)編輯一些小程序（例如時(shí)鐘等等）。那么，我們是不是可以編輯實(shí)用的小程序來(lái)解決一些我們?cè)跀?shù)學(xué)上常遇到、有規(guī)律的問題？本文就是介紹利用Visual basic編程來(lái)求一元二次方程的根。首先，我們?cè)O(shè)想一下設(shè)計(jì)的求根程序應(yīng)該滿足多少功能，然后在通過(guò)編輯使一一實(shí)現(xiàn)。我們對(duì)該求根方程的大概要求是：1, 架構(gòu)一個(gè)界面2，根據(jù)用戶給出的a，b，c的值判斷判別式的情況

49、，并且得出根的情況。3，分別在判別式大于、等于、小于零時(shí)給出兩根的值（小于零時(shí)無(wú)解）。4，當(dāng)用戶給出的a值等于0時(shí)，報(bào)錯(cuò)。列出對(duì)程序的需求后，我們就要開始著手設(shè)計(jì)來(lái)一一實(shí)現(xiàn)需求了。1架構(gòu)一個(gè)界面首先，程序應(yīng)該需要用戶來(lái)手動(dòng)輸入一元二次方程的一般式時(shí)a，b，c的值。那么，就應(yīng)該建立3個(gè)文本框來(lái)提供給用戶輸入。打開Visual basic，新建EXE文件，使用左邊工具欄第二列第二行的textbox工具在程序設(shè)計(jì)界面建立三個(gè)文本框（它們的默認(rèn)名分別是text1、text2、text3）。然后通過(guò)右邊的屬性欄，將三個(gè)文本框的名稱分別改為a、b、c。并將屬性欄下方的text項(xiàng)目中的內(nèi)容刪去。這樣，用來(lái)從

50、用戶獲取a，b，c值的三個(gè)文本框就做好了。接下來(lái)，我們要制作一個(gè)按鈕，使得在用戶按下這個(gè)按鈕時(shí)，程序開始求方程的根。使用工具欄第二列第三行的commandbutton 工具在程序設(shè)計(jì)界面建立一個(gè)按鈕（它的默認(rèn)名為command1）。然后在后面的屬性欄中的caption項(xiàng)修改按鈕上顯示的字為“求解”（或者其他你喜歡的）。這樣，一個(gè)按鈕就完成了。然后我們需要建立一塊文本區(qū)，用以存放解得的根的情況。使用工具欄第一列第二行的label工具，在程序設(shè)計(jì)界面建立一個(gè)文本區(qū)（它的默認(rèn)名為label1），在屬性欄中將caption（顯示內(nèi)容）項(xiàng)清空。這樣，存放根的情況的文本區(qū)就完成了。界面也就架構(gòu)好了。2根據(jù)

51、用戶給出的a，b，c的值判斷判別式的情況，并且得出根的情況現(xiàn)在就要開始最關(guān)鍵的程序語(yǔ)句設(shè)計(jì)。（用戶在使用我們?cè)O(shè)計(jì)的程序時(shí)將在以前我們建立的文本框內(nèi)依次輸入a，b，c的值，然后按下我們制作的“求解”按鈕，這時(shí)程序就會(huì)自動(dòng)求的根的情況并且在我們建立的文本區(qū)內(nèi)顯示。語(yǔ)句設(shè)計(jì)就是告訴程序如何進(jìn)行計(jì)算）因?yàn)槌绦蚯蟾怯捎脩舭聪隆扒蠼狻辨I這個(gè)動(dòng)作后開始的，所以，我們應(yīng)該在按鈕“求解”上設(shè)計(jì)其被按下時(shí)的運(yùn)作語(yǔ)句。雙擊我們建立的按鈕，就會(huì)進(jìn)入語(yǔ)句編寫界面。（語(yǔ)句應(yīng)該在Private Sub Command1_Click()與End Sub之間行被輸入）我們知道，一元二次方程的判別式為b2-4ac，當(dāng)該判別式0

52、時(shí)，方程無(wú)解。所以，輸入語(yǔ)句If b 2 - 4 * a * c 0 And a 0 Then Label1.Caption = 方程無(wú)解（不含中括號(hào)，下同）。該語(yǔ)句是一個(gè)if and then語(yǔ)句，可以理解為“如果并且那么”。其中a0意思是a不等于0，Then后面的Label1.Caption = 方程無(wú)解 意思就是將label1(我們建立的文本區(qū))的caption(顯示的內(nèi)容)改為方程無(wú)解(要讓其顯示字母單詞漢語(yǔ)等應(yīng)將要顯示內(nèi)容置于小引號(hào)內(nèi)) 。不難讀出該語(yǔ)句的意思：如果b2-4ac0，且a不等于0，那么在label1中顯示“方程無(wú)解”（其中a、b、c表示的是我們建立的a、b、c三個(gè)文本框

53、內(nèi)的數(shù)值）。按照同樣的道理，在下兩行分別寫入兩個(gè)語(yǔ)句If b 2 - 4 * a * c = 0 And a 0 Then Label1.Caption = 二重根If b 2 - 4 * a * c 0 And a 0 Then Label1.Caption = 兩不同根。這樣，根的情況的判別語(yǔ)句就寫完了，直接關(guān)閉語(yǔ)句窗口即可。3分別在判別式大于、等于、小于零時(shí)給出兩根的值（小于零時(shí)無(wú)解）既然要求x1、x2的值，我們首先應(yīng)該建立兩個(gè)文本區(qū)來(lái)分別存放它們。按照上一段中我們建立label1的方法，建立label2、label3。在屬性欄將其名稱改為x1、x2。Caption項(xiàng)中的內(nèi)容刪去，就可以

54、了。回到“求解”按鈕的語(yǔ)句模式下為求解x1、x2的值寫語(yǔ)句If b 2 - 4 * a * c = 0 And a 0 Then x1.Caption = (-b + (b 2 - 4 * a * c) (1 / 2) / (2 * a)If b 2 - 4 * a * c = 0 And a 0 Then x2.Caption = (-b - (b 2 - 4 * a * c) (1 / 2) / (2 * a)If b 2 - 4 * a * c 0 And a 0 Then x1.Caption = If b 2 - 4 * a * c 0 And a 0 Then x2.Caption

55、 = 其中“=”是大于等于的意思，根下表示為了二分之一次方，另外，語(yǔ)句中出現(xiàn)的多次括號(hào)全部使用小括號(hào)。3，4句意為判別式的值小于0時(shí)，將x1x2的顯示為空。這樣，求解兩根的工作就完成了 4當(dāng)用戶給出的a值等于0時(shí)，報(bào)錯(cuò)我們知道，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，所以，如果用戶在a文本框中輸入0并運(yùn)算，上文的語(yǔ)句全部無(wú)效，并且程序有必要提醒用戶a不能為0。直接在“求解”按鈕的語(yǔ)句中加入If a = 0 Then MsgBox 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0！。其中的msgbox命令為彈出一個(gè)對(duì)話框，其中顯示的內(nèi)容為后面引號(hào)內(nèi)的內(nèi)容。這樣，我們要設(shè)計(jì)的程序就已經(jīng)全部完成了。可以使用“文件”菜單中

56、的“生成”命令將我們的設(shè)計(jì)變?yōu)橐粋€(gè)實(shí)實(shí)在在的程序，或者使用快捷命令里的“啟動(dòng)”嘗試一下效果。以上編寫的語(yǔ)句是較為工整的，其實(shí)語(yǔ)句中的很多小部分可以去掉使得程序語(yǔ)句更為簡(jiǎn)潔，比如所有的“.caption”都去掉也不會(huì)影響程序的實(shí)際效果。如果只是這樣，本程序的不足之處還有很多：界面沒有語(yǔ)言提示啊、如果用戶在a、b、c的任意之中沒有輸入數(shù)值，程序就會(huì)出錯(cuò)、不能結(jié)果顯示分?jǐn)?shù)，根號(hào)等。我們發(fā)現(xiàn)這些問題以后，就應(yīng)該再引入語(yǔ)句來(lái)解決，比如使a、b、c文本框內(nèi)沒數(shù)值是自動(dòng)默認(rèn)有數(shù)值為0來(lái)應(yīng)對(duì)問題2，也可以將界面設(shè)計(jì)更加人性化一些通過(guò)這個(gè)解一元二次方程的小程序的設(shè)計(jì)，你是否對(duì)用Visual basic設(shè)計(jì)程序來(lái)

57、解決數(shù)學(xué)問題感興趣了呢？希望大家都可以獨(dú)立設(shè)計(jì)程序，解決問題。對(duì)號(hào)函數(shù)“y=ax+b/x”的研究高一20班 崔旭泰 張芳芳 曲曙君形如 y=ax+b/x的函數(shù)（a,b不等于0）1.當(dāng)a0,b0時(shí)。y=ax+b/x與y=x+1/x有相同的形狀，成對(duì)號(hào)的形態(tài)，為對(duì)號(hào)函數(shù)。 此函數(shù)有如下特點(diǎn)：（1）對(duì)號(hào)函數(shù)是雙曲線旋轉(zhuǎn)得到的，所以又漸近線.交點(diǎn).頂點(diǎn)等等（2）對(duì)號(hào)函數(shù)是永遠(yuǎn)的奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱。（3）對(duì)號(hào)函數(shù)的兩條漸近線永遠(yuǎn)是y軸和直線y=x。（4）當(dāng)a0,b0時(shí)，此圖像分布在第一.第三象限兩條漸進(jìn)線銳角之間的部分，由于其對(duì)稱性分，只討論第一象限中的情景。利用重要不等式可知最小值是2倍根號(hào)a

58、b。在x=根號(hào)b/a的時(shí)候取得，所以在（0，根號(hào)b/a）上單調(diào)遞減，在（根號(hào)b/a，正無(wú)窮）上單調(diào)遞增。所以 令k=根號(hào)(b/a)，那么， 增區(qū)間：x|x-kx|xk 減區(qū)間：x|-kx 0 x|0 xk 2 當(dāng)a0,b0 時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，當(dāng)a b0時(shí)，二次函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)在稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。 二. 借助對(duì)稱軸，可準(zhǔn)確判斷函數(shù)值的大小。例：已知函數(shù)，試比較與的大小。 解：由解析式可知，的對(duì)稱軸為直線x= -,=當(dāng)函數(shù)在-，上時(shí)單調(diào)遞增，且,即n時(shí)，在區(qū)間m,n上單調(diào)遞減，最小值為，最大值為(2)軸變區(qū)間定例：求函數(shù)

59、在閉區(qū)間0，2最大值和最小值解：的圖像是開口向上，對(duì)稱軸為x=a的拋物線當(dāng)a0時(shí), max=f(2)=3-4a, min= -1當(dāng)0a1時(shí), max=3-4a, min=當(dāng)1a2, max=f=-1時(shí)，min=當(dāng)2a, max=-1時(shí), min=(2)=3-4a（3）軸定區(qū)間變例：,xt,t+1(tR),求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的解析式= xt,t+1當(dāng)2t,t+1時(shí),即t2t+1時(shí)，;當(dāng)t+12,即t2時(shí)利用對(duì)稱軸解決二次函數(shù)中的恒成立問題 例：設(shè),x-1,+時(shí),f(x)a恒成立，求a的取值范圍。=a+2在-1,+內(nèi)恒成立，即amin(1) 當(dāng)a-1時(shí), min=3+2a(2) 當(dāng)a-

60、1時(shí),由a)min得-2a1函數(shù)的美無(wú)處不在，但卻需要我們用心去發(fā)現(xiàn)。希望我們能在不斷的學(xué)習(xí)中，豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)略無(wú)盡的數(shù)學(xué)之美。我對(duì)郵遞中數(shù)學(xué)問題的研究山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高一 11班 黑澤很多的同學(xué)受不了高考的壓力，選擇去國(guó)外的大學(xué)，而國(guó)外大學(xué)錄取一名學(xué)生，主要靠他的社會(huì)經(jīng)歷以及SAT分?jǐn)?shù)，還有自己的寫的essay等等，而這么多的資料，選擇自己帶到自己想報(bào)考的大學(xué)顯然是無(wú)謂的多花錢，此時(shí)，郵遞就成了最好的方式，在網(wǎng)上逛了半天，終于找到一個(gè)郵寄費(fèi)用計(jì)算的網(wǎng)站，不過(guò)可惜的是，這個(gè)網(wǎng)站不提供計(jì)算的公式，不過(guò)你輸入重量后可以顯示價(jià)格，為了獲得這個(gè)公式,我就用Excel做了一下這個(gè)表（寄往Ameri