金融工程學課件：10-3-2 期權black-schols定價模型

1、10.4.2 布萊克-舒爾斯期權定價模型 一、證券價格的變化過程 （一）弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。可分為離散型的和連續(xù)

2、型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。（二）布朗運動 1.標準布朗運動設 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在時間 內的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：特征1： 和 的關系滿足（10.1）： （10.1）其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： (10.2)式均值為0，方差為 （ 是相互獨立的 ）當 時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （10.3

3、） （10.2）2.普通布朗運動 我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： （10.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。 (三)伊藤過程普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式(10.4)得到伊藤過程（Ito Process）： (10.5）其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 (四)證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為

4、的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得：（10.6）從（10.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見， 也具有正態(tài)分布特征 (10.7)例6.1設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預期收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周(0.0192年)后該股票價格變化值的概率分布。 S服從均值為0.384元，標準差為2.49元的正態(tài)分布的隨機抽樣。(五)伊藤引理 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和 t 的函數(shù)G ，則G將遵循如下過程： 根據伊藤引理，衍生證券的價格 f 應遵循如下過程： 具體到股票價格（10.8）（10.9）(10.10)(六)證券價格自然

5、對數(shù)變化過程 令 ，由于代入式（10.10）: （10.11）上式說明證券價格對數(shù) f 遵循普通布朗運動。由式：可知例10.2設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例10.3請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等于多少？ 二、布萊克舒爾斯微分方程 （一）布萊克舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券價格S遵循幾何布朗運動：考慮短時間內，則有： （10.12） 假設 f 是依賴于 S 的衍生證券的價格，則由依藤引理： （10.13） 為了消除 ，我們

6、可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值， 則： (10.15) （10.14）在 時間后： （10.16）將式（10.12）和（10.14）代入式（10.16），可得： （10.17）在沒有套利機會的條件下：把式（10.15）和（10.17）代入上式得： 布萊克舒爾斯微分分程化簡為： (10.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。 （二）風險中性定價原理 我們知道，厭惡風險程度越高，則預期收益率越高。但在B-S模型中并沒有涉及到。所以可以斷言衍生產品定價與投資者的風險偏好無關。這就引出所

7、謂風險中性假設。即：在風險中性世界里，投資者承擔風險不需要額外補償。所有證券的預期收益都是無風險利率。那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 根據B-S方程不含的特點，簡化B-S方程求解，而作出風險中性假設，獲得了方程解。這個解與預期收益率無關，即與投資者風險偏好無關。所以這個解對任何風險世界都是適用的。不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。當我們從風險中性世界走入風險厭惡世界時會發(fā)生兩件事情：股票價格的期望收益率改變了；在衍生證券任何損益中所使用的貼現(xiàn)率也變了。然而這兩件事情的效果總和正好相互抵消。例：假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知

8、道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設現(xiàn)在的無風險年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。 為了找出該期權的價值， 可構建一個組合 一單位看漲期權空頭 N單位的標的股票多頭為了使該組合在期權到期時無風險，即無論3個月后股票是上漲還是下跌，其組合價值都相同。N必須滿足下式： 11 N （1110.5）=9 N 0N=0.25即該組合無套利的均衡價值為2.25(90.25)該無風險組合的現(xiàn)值應為：由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 期權定價為： 這就是說，該看漲期權的價值應為0.

9、31元，否則就會存在無風險套利機會。 從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為10，則股票上升的概率P可以通過下式來求： 又如，現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為15，則股票的上升概率可以通過下式來求： P = 69.11 可見： 投資者厭惡風險程度 股票預期收益率 股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，無論該股票上升或下降的概率如何，該期權的價值都等于0.31元。（三）布萊克舒爾斯期權定價

10、公式在風險中性的條件下，歐式看漲期權到期時（T時刻）的期望值為：其現(xiàn)值為 （10.19）對數(shù)股票價格的分布為： （10.20）對式（10.19）求解： （10.21）其中，我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義：N(d2)是在風險中性世界中ST大于E的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)EN(d2)是 E 的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的風險中性期望值的現(xiàn)值。其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)EN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐

11、式看漲期權可以分拆成資產或無價值看漲期權（Asset-or-nothing call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產或無價值看漲期權的價值，-e-r(T-t)EN(d2)是E份現(xiàn)金或無價值看漲期權空頭的價值。在標的資產無收益情況下，由于C（歐式）=c（美式），因此式（10.21）也給出了無收益資產美式看漲期權的價值。根據歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式 ： （10.22）由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)

12、值方法以及解析近似方法求出。（四）有收益資產的期權定價公式 1.有收益資產歐式期權的定價公式當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替式（10.21）和（10.22）中的 S 即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替式（10.21）和（10.22）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。 對于歐式期貨期權，其定價公式為： （10.23） （10.24）其中：例6.4假設當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，

13、英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權價格。 3.05美分 。2.有收益資產美式期權的定價 (1)美式看漲期權 當標的資產有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理。若不合理，則按歐式期權處理；若在t 提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和 t 時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。例6.5 假設一種1年期的美式股票看漲期權，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權日，每個除權日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50

14、元，期權協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該期權的價值。近似為7.2824元 (2)美式看跌期權 由于收益雖然使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權的價值仍不同于歐式看跌期權，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出。 三、BlackScholes定價公式中各種變量對期權價格的影響 在布萊克-斯科爾斯定價公式中，影響期權價格的因素的包括：股票價格S、執(zhí)行價格E、無風險利率r、股票價格波動的方差 和到期日 T 。用函數(shù)形式表示就是： 在下面的敘述中假設公式是連續(xù)可微的，因而每一種因素對C的影響都可以通過求偏導數(shù)

15、的方式得出， （1）股票價格對歐式看漲期權價格的影響 這種影響被稱為 （小寫為 ），即： 由于N（d1）是一個概率函數(shù)，所以 。這也就是說，當 S 增加或減少 1 個單位時，期權價格增加或減少的絕對量不超過 1。 這個概念很重要，在理論和實踐中常常被用于構造證券組合。在一個無風險且無套利的證券組合中，常常被稱作是 “ 套期保值率 ”。 我們轉而討論一下關于 問題 例如構造如下一個證券組合，該組合包括一個價格為 C 的歐式看漲期權多頭和 h 股價格為 S 的股票空頭。因此，該組合的現(xiàn)期價值為則 dV = dC - hdS依前分析有： 其中 z 是隨機變量；由依藤引理可知：把 dS 和 dC 的值

16、代入 dV，整理后得： 為使證券組合V 能取得一個無風險收益，即 dV=0從而可以得到最佳的套期保值率： 顯而易見，影響 的一個最大變量是股票價格。我們把股票價格 S 對的影響稱為，即 由上式可知：如果的值越大，說明對股票價格的變化越敏感， 中性的位置也就越難以維持；反之亦然。 （2）執(zhí)行價格的影響 通過求解，執(zhí)行價格對歐式看漲期權的影響為：由于N（d2）0，所以： 它說明：執(zhí)行價格越大，歐式看漲期權的價格越低；執(zhí)行價格越小，歐式看漲期權的價格越高。（3）無風險利率的影響 在布萊克-斯科爾斯定價公式中，無風險利率是以連續(xù)復合利率的公式出現(xiàn)的，它對期權價格的影響被稱作，它反映了期權價格對無風險利率變化的敏感程度。即：顯然， 0。 （4）方差的影響 期權