選修4-5 不等式選講 第一講 不等關(guān)系與基本不等式

1、選修 不等式選講第一講 不等關(guān)系與基本不等式教材知識(shí)整合回歸教材1.含有絕對(duì)值不等式(1)定理:對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有|a+b|a|+|b|,其中等號(hào)成立的條件為ab0.說(shuō)明:定理中的b以-b代替,則有|a-b|a|+|b|.其中等號(hào)成立的條件為ab0.對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有|a|-|b|ab|a|+|b|. (2)絕對(duì)值不等式的解法解含有絕對(duì)值的不等式,關(guān)鍵在于利用絕對(duì)值的意義,設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào),把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)普通不等式或不等式組,常用的方法有定義法平方法公式法等.2.平均值不等式定理1:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).定理2:對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a,b,有

2、 sqrtab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)),即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.定理3:對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)).定理4:對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)),即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值. 基礎(chǔ)自測(cè)1.(2010陜西)不等式|2x-1|3的解集為_.解析:|2x-1|3-32x-13-1x2.答案:x|-1x22.若關(guān)于x的不等式|x-a|1的解集為(1,3),則實(shí)數(shù)a的值為_.解析:原不等式可化為a-1xa+1,又知其解集為(1,3),所以通過(guò)對(duì)比可得a=2.答案:2答案:重

3、點(diǎn)難點(diǎn)突破題型一含絕對(duì)值不等式的解法【例1】已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|a.(1)當(dāng)a=2時(shí),解上述不等式;(2)如果關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集為空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;作出y=|x-3|+|x-4|與y=a的圖象,若使不等式|x-3|+|x-4|k恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解析:設(shè)f(x)=|x+2|+|x+1|,則如圖,顯然函數(shù)f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞減,在(-1,+)上單調(diào)遞增,在-2,-1上為常數(shù)1,所以函數(shù)f(x)的最小值為1.因?yàn)椴坏仁絴x+2|+|x+1|k恒成立,所以k1.答案:(-,1)題型二絕對(duì)值不等式的應(yīng)用【例2】(2010福建

4、)已知函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|-1x5,求實(shí)數(shù)a的值;(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解解法一:(1)由f(x)3得|x-a|3,解得a-3xa+3.又已知不等式f(x)3的解集為x|-1x5,所以 解得a=2. (2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),于是所以當(dāng)x5;當(dāng)-3x2時(shí),g(x)=5;當(dāng)x2時(shí),g(x)5.綜上可得,g(x)的最小值為5.從而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-,5.解法二:(1)同解法一.(

5、2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)-3x2時(shí)等號(hào)成立)得,g(x)的最小值為5.從而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-,5.變式2:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.題型三 基本不等式的證明點(diǎn)評(píng)不等式的證明常用方法有:比較法分析法與綜合法,在解決問(wèn)題時(shí)注意結(jié)合平均值不等式來(lái)證明. 解題方法拾遺點(diǎn)評(píng)利用平均值不等式可以求最值問(wèn)題,但要注意不同的重要不等式的變式形式,求得的

6、值域范圍是不同的,我們?cè)谶x擇重要不等式時(shí)要恰當(dāng)?shù)姆趴s,并要注意判斷“等號(hào)”是否成立.考向精測(cè)1.若不等式|x+1|+|x-3| 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析:因?yàn)閨x+1|+|x-3|4,所以由題意可得 4恒成立,當(dāng)a0時(shí),由基本不等式可知 4,所以只有a=2時(shí)成立,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為aR|a0或a=2.答案:aR|a0或a=22.解不等式|x+1|+|x-2|x2+1.分析:本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.解:當(dāng)x-1時(shí),原不等式可化為-(x+1)-(x-2)x2+1,解得x0.x-2.當(dāng)-1x2時(shí),原不等式可化為(x+1)-(x-2)x2+1,解得當(dāng)x2時(shí),原不等式可化為(x+1)+(x-2)x2+1,解得xR.x2.綜上所述,原不等式的解集為(-,-2)( ,+).教師備課資源答案:B答案:B2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為_.解析:解法一:|x-1|+|x+2|代表點(diǎn)x到點(diǎn)-2與1的距離之和,當(dāng)在點(diǎn)-2與點(diǎn)1之間時(shí),其距離之和最小,最小值為3.解法二:由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知|x-1|+|x+2|x-1-x-2|=3.當(dāng)x-1與x+2異號(hào)時(shí),即-2x1等號(hào)成立.函數(shù)f(x)的最小值是3.3.已知不等式|x+1|+|x-2|m的解集是R.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)在(1)的條件下,當(dāng)