2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（全國卷Ⅱ解析版）

1、PAGE PAGE - 12 -2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（全國卷，解析版）第卷（選擇題） 本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式如果事件相互獨立，那么其中表示球的半徑球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑選擇題（1）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M =1，3，5，7，N =5，6，7，則Cu( MN)=(A) 5，7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （D）1，3，5，6，7答案：C解析：本題考查集合

2、運算能力。（2）函數(shù)y=(x0)的反函數(shù)是 （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） 答案：B解析：本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)x0可知AC錯,原函數(shù)y0可知D錯，選B.（3） 函數(shù)y=的圖像 （A） 關(guān)于原點對稱 （B）關(guān)于主線對稱 （C） 關(guān)于軸對稱 （D）關(guān)于直線對稱答案：A解析：本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，選A。（4）已知ABC中，則(A) (B) (C) (D) 答案：D解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosAlge0,知ab

3、,又c=lge, 作商比較知cb,選B。（8）雙曲線的漸近線與圓相切，則r=（A） （B）2 （C）3 （D）6答案：A解析：本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=（9）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為(A) (B) (C) (D) 答案：D解析：本題考查正切函數(shù)圖像及圖像平移，由平移及周期性得出min=（10）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（A）6種 （B）12種 （C）24種 （D）30種 答案：C解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)=36

4、，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種 。（11）已知直線與拋物線C:相交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k=(A) (B) (C) (D)答案：D解析：本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=。（12）紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是（A）南 （B）北 （C）西 （D）下上東答案：B解析：.此題用還原立體圖方法直接得出結(jié)果，使上在正上方依次找到對應(yīng)面即可

5、。第卷（非選擇題）本卷共10小題，共90分。二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卡上相應(yīng)位置的橫線上.（13）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為。若，則= 答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3。（14）的展開式中的系數(shù)為 答案：6 解析：本題考查二項展開式，直接用公式展開，注意根式的化簡。（15）已知圓O：和點A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于 答案： 解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。（16）設(shè)OA是球O的

6、半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于，則球O的表面積等于 答案：8解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行運算，由三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。解答過程寫在答題卡的相應(yīng)位置。（17）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列中，求前n項和. 解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。解：設(shè)的公差為，則即解得因此（18）（本小題滿分12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，,，求B.解析：本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關(guān)鍵是注意角的范圍

7、對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=(負(fù)值舍掉)，從而求出B=。解：由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=.又由 知或所以 B=。（19）（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC （）設(shè)二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：本題考查線面垂直證明線面

8、夾角的求法，第一問可取BC中點F，通過證明AF平面BCC1,再證AF為BC的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF平面BDC，從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解。ACBA1B1C1DE解法一：（）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面，故AF平面，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，AGC=600. 設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，

9、BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。因為BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。連接AE、DF，設(shè)AEDF=H，則EHDF，EH平面BCD。連接CH，則ECH為與平面BCD所成的角。因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.解法二：（）以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由D

10、E平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設(shè)平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60，故 ，求得于是 ， ， 所以與平面所成的角為30（20）（本小題滿分12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人?，F(xiàn)采用分層抽樣（層內(nèi)采用不放回簡單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核。（）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。解析

11、：本題考查概率統(tǒng)計知識，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率。解：（ = 1 * ROMAN I）由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人。（ = 2 * ROMAN II）記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則 （ = 3 * ROMAN III）表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人， 表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人， 表

12、示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。 與獨立， ，且故 （21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) ，其中常數(shù)a1()討論f(x)的單調(diào)性;()若當(dāng)x0時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍。解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解： （ = 1 * ROMAN I） 由知，當(dāng)時，故在區(qū)間是增函數(shù)； 當(dāng)時，故在區(qū)間是減函數(shù)； 當(dāng)時，故在區(qū)間是增函數(shù)。 綜上，當(dāng)時，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。 （ = 2 * ROMAN II）由（ = 1 * ROMAN I）知，當(dāng)時，在或處取得最小值。 由假設(shè)知 即 解得 1a6故的取值范圍是（1，6）（22）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B 兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想