平穩(wěn)過程譜密度

1、關(guān)于平穩(wěn)過程的譜密度第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/282主要內(nèi)容一、平穩(wěn)過程的（自）譜密度及性質(zhì)二、平穩(wěn)過程的互譜密度及性質(zhì)三、譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系四、傅立葉變換的性質(zhì)第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/283譜密度的概念在物理學(xué)中，信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度（power spectral density,PSD）或者譜功率分布（spectral power distribution,SPD）。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特

2、數(shù)（W/Hz）表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特?cái)?shù)（W/nm）來表示。第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/284一、平穩(wěn)過程的（自）譜密度定義3.5 設(shè) 是一個平穩(wěn)過程，如果含參變量的廣義積分 存在，那么，稱 為平穩(wěn)過程 的（自）譜密度第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/285維納-辛欽公式證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù) 絕對可積，即 時， 存在，且相關(guān)函數(shù) 這表明譜函數(shù) 是相關(guān)函數(shù) 的傅立葉變換，而 是 的傅立葉逆變換.第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/286通常記作對于平穩(wěn)序列， （自）譜密度定義為容易看出上式

3、右端是一個傅立葉級數(shù)。第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/287赫爾格洛茨證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù) 滿足 時， 存在（即上述傅立葉級數(shù)收斂） ，且相關(guān)函數(shù)第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/288例3.11 設(shè)是一個離散白噪聲時間序列。例3.5中已經(jīng)證明了 是一個平穩(wěn)序列，且相關(guān)函數(shù)于是，譜密度這個譜密度 是常數(shù)，即平穩(wěn)序列 的譜密度在各個頻率 上具有相同的分量，由于物理上白光的譜為常數(shù)，因此，稱 為白噪聲（序列）。第八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/289例3.12 設(shè) 是一個離散白噪聲的滑動和。例3.6中已經(jīng)證明了

4、是一個平穩(wěn)序列。為了方便，我們記求 的譜密度。第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2810定理3.5（譜密度的性質(zhì)） 設(shè) 是平穩(wěn)過程 的譜密度，（i） 是取非負(fù)實(shí)數(shù)值的偶函數(shù)，即 （ii）（iii）巴塞伐等式第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2811 譜密度的引入使得對平穩(wěn)過程相關(guān)理論的研究不再局限于時間域內(nèi)，它可以同時也在頻率域內(nèi)進(jìn)行，傅立葉變換提供了兩者之間轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)工具。下面通過例題來說明兩者之間的相互換算。第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2812例3.13 設(shè)平穩(wěn)過程 的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a0.由定理3.5

5、（ii）得到 的譜密度第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2813例3.14 設(shè)平穩(wěn)過程 的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a0.易見當(dāng)常數(shù) 時， 即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 的譜密度第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2814在電子技術(shù)中，常常遇到脈沖現(xiàn)象。這類現(xiàn)象不能用普通函數(shù)來描述，需要引進(jìn)廣義函數(shù)。定義3.6 如果函數(shù) 滿足那么稱函數(shù) 為狄拉克函數(shù)，簡稱為函數(shù)。第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/281515引入 函數(shù)借助 函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上無限值用 函數(shù)表示。其傅立葉變換第十五張，PP

6、T共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2816函數(shù)不是通常意義下的函數(shù)，但可以把它看成是下列矩形波的極限，記 其中a0。不妨認(rèn)為通常把 用長度為1的有向線段來表示（見表3.1）。 函數(shù)的一般形式是，它是 的復(fù)合函數(shù)。對任意一個連續(xù)函數(shù) ， 必定滿足第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2817下面對這個公式作一個直觀解釋：設(shè) 由積分中值定理推得：第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2818 今后，我們允許平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與譜密度（包括傅立葉變換及其逆變換）可以取作 函數(shù)。必要時，還可以有形如 的相關(guān)函數(shù)與譜密度，容易看出，它是m個

7、函數(shù)的線性組合。第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2819例3.15 設(shè)平穩(wěn)過程 的相關(guān)函數(shù) ，其中常數(shù) 的譜密度 這個譜密度為常數(shù)。譜密度為常數(shù)且具有零均值的平穩(wěn)過程稱為白噪聲過程。這是一個連續(xù)白噪聲，不同于3.5中給出的離散白噪聲。白噪聲過程是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2820例3.16 設(shè)平穩(wěn)過程 的譜密度 的相關(guān)函數(shù)第二十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2821第二十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2822引理3.1 傅立葉變換及其逆變換具有下列性質(zhì)：

8、（i）線性性質(zhì) 當(dāng) 是常數(shù)時，（ii）位移性質(zhì) 當(dāng) 是常數(shù)時，第二十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2823例3.17 設(shè)平穩(wěn)過程 的相關(guān)函數(shù)求 的譜密度例3.18 設(shè)平穩(wěn)過程 的譜密度求 的相關(guān)函數(shù)第二十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2824有理譜密度的一般形式： 分子分母無實(shí)根，無公共根。對于有理譜密度，求相關(guān)系數(shù)可用待定系數(shù)法把譜密度分解成若干部分分式之和。第二十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2825例3.19 設(shè)平穩(wěn)過程 的譜密度求其相關(guān)函數(shù)第二十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/

9、2826由于實(shí)際頻率不取負(fù)值，因此給出單邊譜密度的定義：利用只有正頻率部分的單邊功率譜，定理3.5（ii）可以寫成：第二十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2827第二十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2828定義3.7 設(shè) 是兩個平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程，互相關(guān)函數(shù)為 稱為平穩(wěn)過程 的互譜密度。與（自）譜密度相似，第二十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2829用傅立葉變換及其逆變換來表示：由于互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)不同，因此，互譜密度與自譜密度也有很大差異。一般情況下，互譜密度取復(fù)數(shù)值，也不再是偶函數(shù)。這里 都可以取 函數(shù)第二十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2830定義3.6（互譜密度的性質(zhì)）設(shè) 是兩個平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程的互譜密度，（i）（ii）（iii）第三十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2831從定義和施瓦茨不等式第三十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2832例3.20 設(shè) 是兩個平穩(wěn)過程，記求：（1） 的譜密度（2） 的互譜密度第三十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/7/2833引進(jìn)互譜密度是為了在頻域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性。從上述例題可以得到：當(dāng) 時， 不相關(guān)等價于它們的互譜密