高二數(shù)學(xué)類比推理綜合測(cè)試題

1、選修2-2 2.1.1第2課時(shí) 類比推理一、選擇題.下列說(shuō)法正確的是（）A.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B.合情推理必須有前提有結(jié)論C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的結(jié)論無(wú)法判定正誤答案B解析由合情推理得出的結(jié)論不一定正確，A不正確；B正確;合情推理的結(jié)論本身就是一個(gè)猜想，C不正確；合情推理結(jié)論可以通 過(guò)證明來(lái)判定正誤，D也不正確，故應(yīng)選B.下面幾種推理是合情推理的是（）由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是1800,歸 納出所有三角形的內(nèi)角和都是180教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧巳切蝺?nèi)角和是180,四邊形內(nèi)角和是360,五邊形

2、內(nèi)角和是5400,由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是（n-2） 180A.B.C.D.答案C解析是類比推理；都是歸納推理，都是合情推理.1.二角形的面積為S= 2（a+b+c）r, a、b、c為二角形的邊長(zhǎng), r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為 （）A 、，1 IV= abc3V= oSh3c. v= a（s+&+&+$），（Sv &、&、&分別為四面體四個(gè)面 3的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D. V= 1（ab+ bc+ ac）h（h 為四面體的高）3答案C解析邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)表面積，內(nèi)切圓半徑應(yīng)對(duì)應(yīng)內(nèi)切球半徑.故應(yīng)選C.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)， 可推

3、知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?（）各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都 相等A.B.C.D.答案C解析正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰 兩邊的夾角類比，故都對(duì).類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長(zhǎng)等于底邊的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積(2)過(guò)四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第1四個(gè)面

4、面積的彳(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A. (1)B.(2)C.(2)(3)D.都不對(duì)答案C解析以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： mn= nm”類比得到“ ab=ba” ；“（m+n）t=mt+ nt” 類比彳導(dǎo)到 “（a+b） c= a c+b c” ；“（m n）t= m（n t）” 類比得到 “（a b） c= a （b c）” ；“t#0, mt= xt? m=x” 類比得到 “ p# 0, a p=x p? a

5、= x ；“|mn|=|m| |n| 類比得到 “ |a b|=|a| |b|” ；“acq，類比得到 bc ba c a” b c-b以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 （）1234答案B解析由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知 正確，都不正 確，故應(yīng)選B.B7. （2010浙江溫州）如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)說(shuō)，AB時(shí)，其離心率為 與1,此類橢圓 被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃 金雙曲線”的離心率e等于（）A.B.：5+1 2V512C.V5-1D. 15+1., ，一一 一 .x2解析如圖所示，設(shè)雙曲線方程為x2 a答案A1(a0, b0),則 F( c,0)

6、, B(0, b), A(a,0)FB = (c, b), AB=( a, b)又. FBlaB, /. FB AB=b2-ac=0c2 a2 ac = 0 e2 e 1 = 01+ 151 - ：5二 e=-2或 e=2(舍去),故應(yīng)選A.8.六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖甲， 在平行四邊形ABD中，有AC2+ BD2=2(AB2+AD2),那么在圖乙中 所示的平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，AC1 +BD2+CA2 +DB1等于A. 2(AB2 + AD2 + AA1) B. 3(AB2 + AD2 + AA1) C. 4(AB2 + AD2 + AA1) D.

7、 4(AB2 + AD2)答案C解析AC1+ BD1+ CA1+ DB1=(ACi + CA1) + (BD2 + DB2)=2(AA1+ AC2) + 2(BB1+ BD2)= 4AA1+2(AC2+BD2)= 4AA1+4AB2+4AD2,故應(yīng)選 C.下列說(shuō)法正確的是()A .類比推理一定是從一般到一般的推理B.類比推理一定是從個(gè)別到個(gè)別的推理C.類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理D.類比推理是從個(gè)別到一般的推理答案C解析由類比推理的定義可知：類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理，故應(yīng)選C.下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?)A .若 a 3 = b 3,則a = b”類比推出“若a 0

8、= b 0,則a=b”B . (a + b)c= ac+ bc” 類比才t出 (ab)c=ac bc”.r r _LA r “ a + b a b(a + b)c= ac+bc 類比推出 -=1 + (c#0)c c c“(ab)n=anbn” 類比推出 “(a+b)n= an+bn”答案C解析結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算知C是正確的.二、填空題61 一11 .設(shè)式制二西區(qū)尼，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的方法，可求得 f(- 5) + f(-4)+- + f(0)+ f(5) + f(6)的值為答案3收解析本題是“方法類比”.因等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難

9、想到f（-5） + f（-4) + + f(0) + f(5) + f(6) = f( 5) + f(6) + f(-4) + f(5) + +f(0) + f(1),1 時(shí)，有 f(X1) + f(X2)=2肛 + 五而當(dāng)X1 +X2 =2總十（2 +2%） 。（2修 +2盯 +2 2）=古=*,故所求答案為 6X=3啦.1. （2010廠州局二檢測(cè)）若數(shù)列an是等差數(shù)列，對(duì)于bn=n（a1+ a2+4）,則數(shù)列bn也是等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，若數(shù)列a 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于 dn0,則dn=時(shí)，數(shù)列 dn也是等比數(shù)列.答案C1 C2Cn解析可類比為4 = n .，證明班下; 設(shè)等比

10、數(shù)列|匚修|的看項(xiàng).其匚】，公比為名則4 =，匚=/二(匚】. c】q勺十一)二0 q廣X 廠4 = 一、j ,勺嚷,=(ci .勺守匚】一=0 ，Q - = C q由?雷11 匚】“g 沖相.;-=q為基數(shù)，H q “廠所以數(shù)列3/也為等比數(shù)列.在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0, y0),則過(guò)此X2 V2r -點(diǎn)的圓的切線方程為xox+ yoy = r2,而在橢圓了+器=1(220)中，當(dāng) 離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a,此時(shí)橢圓就趨近于圓.類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢=類比過(guò)圓上一x2 V2_ 、_ _點(diǎn)P(x0, y)的圓的切線萬(wàn)程，則過(guò)橢圓學(xué)+ b2= 1

11、(ab0)上一點(diǎn)P(xi, yi)的橢圓的切線方程為 .答案兀a b;京x+b y= 1解析當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a, b都趨近于圓的半徑r,故由圓的面積S= 2=兀r-r,猜想橢圓面積S橢=Ttab,其嚴(yán)格證明可用定積分處理.而由切線方程xb x+ y0 y=r2變形得x0 x+ yl y= 1,則過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(xi, yi)的橢圓的切線方程為 |2x+y2 y=1,其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理.在等差數(shù)列an中，若aio=0,則有等式ai + az+如= ai + a2+ - + ai9 n(n19, n6N*)成立,類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等 比數(shù)列bn中，若b

12、9 = 1,則有等式成立.答案bib2bn=bib2bi7 n(n17, nW N*)解析解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由 aib=0,可得ak + a2b-k= 0,因而當(dāng) n19n時(shí)的情形.由此可知：等差數(shù)列an之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在 等差數(shù)列中有性質(zhì)：an+i + ai9-n=2ai0 = 0,類似地，在等比數(shù)列bn 中，也有fi質(zhì)：bn+1 bi7-n = b2=1,因而得到答案：bib2 - bn=bib2 - bi7 _ /n(n17, n N ).解法2：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)ai + a2+- + an=ai + a2+ - +ai9-n(n 19, n

13、N*)成立，故在等比數(shù)列bn中，由 b9=1, 可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)bib2,bn=bib2,bi7n(n 17, nW N*)成立.(1)9證明如下：當(dāng)n8時(shí)，等式（1）為blb2，bn= blb2，,bnbnVbi7n即：bn + 1 bn + 2bi7n=1.(2) bg=1, /.bk+1 bi7k=b9=1. bn + 1bn + 2b17 n= b9 - n = 1.(2)式成立，即(1)式成立；當(dāng)n=8時(shí)，(1)式即：b9=1顯然成立；當(dāng)8n7n(n 17, n N*)成立.10三、解答題.已知：等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為S,有如下的 性質(zhì)：(1)an=am+(nm) d

14、.(2)若 m+n=p + q,其中，m、n、p、q6N*,貝U am + an = ap+aq.(3)若 m+n=2p, m, n, p6N*,則 am+an = 2ap.(4)Sn, S2nSn, &n - S2n 構(gòu)成等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，寫(xiě)出相類似的性質(zhì).解析等比數(shù)列bn中，公比q,前n項(xiàng)和Sn.(1)通項(xiàng) an = am qn-m(2)若 m+n=p + q,其中 m, n, p, q6N*,貝U am an= ap aq.(3)若 m+n=2p,其中，m, n, p6 N*,則 ap=aman.(4)Sn, S2n-Sn, S3n S2n 構(gòu)成等比數(shù)列.先解答(

15、1),再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2).(1)已知a, b為實(shí)數(shù)，且冏1, |b|a + b.(2)已知 a, b, c 均為實(shí)數(shù)，且 |a|1, |b|1, |c|a+b+ c.解析(1)ab+ 1 (a+ b)=(a-1)(b- 1)0.ii.|a|1, |b|1, |c|ab+ c,abc+ 2= (ab) c+ 1+ 1(ab+ c) + 1 = (ab+ 1) + ca+ b+c.你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結(jié)論嗎？點(diǎn)評(píng)(1)與(2)的條件與結(jié)論有著相同的結(jié)構(gòu)，通過(guò)分析(1)的推 證過(guò)程及結(jié)論的構(gòu)成進(jìn)行類比推廣得出：(ab) c+1 ab+c是關(guān)鍵.用歸納推理可推出更一般的結(jié)論：ai為

16、實(shí)數(shù)，同|a + a2+ an.點(diǎn)P岑，坐在圓C: x2 + y2=1上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線 方程為孝x+*y=1,又點(diǎn)Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x+y1 111.一,、.=1與圓相交，點(diǎn)R, 2在圓C的內(nèi)部.直線2x+2y=1與圓相離.類 比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點(diǎn) P(a, b)與圓x2+y2=r2的位置關(guān)系 與相應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系的結(jié)論嗎？解析點(diǎn) P(a, b)在。C: x2 + y2 = r2 上時(shí)，直線 ax+ by= r2 與OC相切；點(diǎn)P在。C內(nèi)時(shí)，直線ax+ by= r2與OC相離；點(diǎn)P在OC外部時(shí)，直線ax+ by= r2與。C相交.容易證明此結(jié)論是正確的.我們知道：12=1,22 = (1 + 1)2=12 + 2X1 + 1,32 = (2+ 1)2 = 22 + 2X2+ 1,42 = (3+ 1)2 = 32 + 2X3+ 1,n2 = (n 1)2 + 2(n 1)+ 1,12左右兩邊分別相加，得n2 = 2X1 +2+3+-+ (n-1) + n1 + 2+3+-+ n=n(n+ 1)2類比上述推理方法寫(xiě)出求12 + 22+ 32+- + n2的表達(dá)式的過(guò)程.解析我們記Si(n)=1 + 2 + 3+n,S2(n) = 12 + 22 + 32 + + n2,&=1k+ 2k+ 3k + + nk(k6 N )