高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)談反證法

1、二輪復(fù)習(xí)談反證法反證法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在幾何的應(yīng)用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應(yīng)用，本文選擇幾個有代表性的應(yīng)用，舉例加以介紹。一、證明幾何量之間的關(guān)系1, _ 一、例1:已知：四邊形 ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF - (AB CD)。求證：AB/CD。證明：假設(shè) AB不平彳T于CD。如圖，連結(jié) .E、F、G分別是AD、BC、AC的中點,1 GE / CD , GE CD； GF / AB , 2AC ,取AC的中點G,連結(jié)EG、FGo-1GF AB。2AB不平彳r于CD,GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形。 TOC o 1-5 h z

2、 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document GEGFEF_1一 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 但 GEGF-(ABCD)EF與矛盾。AB/CD例2：直線PO與平面 相交于O ,過點O在平面 內(nèi)引直線 OA、OB、OC ,POA POB POC o求證：PO 。連結(jié)OH。證明：假設(shè) PO不垂直平面 。作PH并與平面 相交于H,此時H、O不重合,由 P作 PE OA于 E, PF OB于 F,根據(jù)三垂線定理可知，HE OA, HF OB。 POA POB, PO是公共邊,Rt POE Rt POFOE

3、OF又 OH OH Rt OFH Rt OEH FOH EOH因此，OH是 AOB的平分線。同理可證，OH是 AOC的平分線。但是，OB和OC是兩條不重合的直線， OH不可能同時是 AOB和 AOC的平分線,產(chǎn)生矛盾。 PO 。例3:已知A、B、C、D是空間的四個點， AB、CD是異面直線。求證：AC和BD是異面直線。證明：假設(shè) AC和BD不是異面直線，那么 AC和BD在同一平面內(nèi)。因此，A、C、B、D四點在同一平面內(nèi)，這樣， AB、CD就分別有兩個點在這個平面 內(nèi)，則AB、CD在這個平面內(nèi)，即 AB和CD不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，AC和BD是異面直線上面所舉的例子，用直接證法

4、證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。二、證明“唯一性”問題在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。例3：過平面上的點A的直線a ,求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不是唯一的，則過 A至少還有一條直線 b , ba、b是相交直線，a、b可以確定一個平面。設(shè) 和 相交于過點A的直線c。a , b , a c, b c。這樣在平面 內(nèi)，過點A就有兩條直線垂直于 C,這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的。例4：試證明：在平面上所有通過點(J2,0)的直線中，至少通過兩個有理點(有理點指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點)的直線有一條且只有一條。證明：先證存在性。

5、因為直線y 0,顯然通過點(j5,0),且直線y 0至少通過兩個有理點， 例如它通過(0,0)和(1,0)。這說明滿足條件的直線有一條。再證唯一性。假設(shè)除了直線y 0外還存在一條直線 y kx b(k 0或b 0)通過點(J色,0),且該直線通過有理點 A (x1, y1)與B (x2, y2),其中x1、y1、x2、y2均為有理數(shù)。因為直線y kx b通過點(K2,0),所以b 02k ,于是y k(x J2),且k 0。又直線通過 人偌丫,與B(x2,y2)兩點， TOC o 1-5 h z 所以y1 k(x10,y k(x一，得 y1 y2k(x1 x2)。因為A、B是兩個不同的點，且

6、k 0 ,所以x1 x2, y1y2,由，得k y-”,且k是不等于零的有理數(shù)。xix2由，得. 2 x1yi k此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。所以，平面上通過點（，2,0）的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條。綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。關(guān)于唯一性的問題， 在幾何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類題目用直接證法證 明相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明， 用反證法證明有時比同一法更方便。三、證明不可能問題幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存 在。它們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用

7、直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。例5:求證：拋物線沒有漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是 y2 2px（p假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是y拋物線相切于無窮遠點，于是方程組y2 2px（i）y ax b（2）的兩組解的倒數(shù)都是 0。將（2）代入（1）,得2 22a x 2（ab p）x b 0設(shè)x1、x2是（3）的兩個根，由韋達定理， HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 2（ab p）b2xi x2xi x2 - HYPERLINK l bookmark23 o

8、 Current Document aa則工。xi x22（ab 0 0 HYPERLINK l bookmark27 o Current Document x1x2x1x2b11a2-0, HYPERLINK l bookmark32 o Current Document x X2x1x2b0）。ax b ,易知a、b都不為0。因為漸近線與可知,(4)(5)由（4）、（5）,可推得p 0 ,這于假設(shè)p 0矛盾。所以，拋物線沒有漸近線。關(guān)于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存在”或“不多于”問題在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個或不多于幾個。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。 如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例6:已知：四邊形 ABCD中，對角線 AC=BD=1 。求證：四邊形中至少有一條邊不小于（這一結(jié)論也證明：假設(shè)四邊形的邊都小于,由于