高中數(shù)學必修34正態(tài)分布

1、2. 4 正態(tài)分布鬼辭啟程夯占本前習案一新知桂學1.問題導航(1)什么是正態(tài)曲線和正態(tài)分布(2)正態(tài)曲線有什么特點曲線所表示的意義是什么(3)怎樣求隨機變量在某一區(qū)間范圍內(nèi)的概率2.例題導讀請試做教材P74練習1題. 1 .正態(tài)曲線函數(shù)如，(x)=e-9 , xC(8,十8),其中實數(shù) 科和0(0)為參數(shù), V2 7tb 2 (T6 ,，(x)的圖象為 正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.2.正態(tài)分布般地，如果對于任何實數(shù)a, b(avb),隨機變量X滿足P(avX%= bf)(x)dx,a則稱隨機變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù) 科和(T確定，因此正 態(tài)分布常記作 NM , b 2),如果

2、隨機變量 X服從正態(tài)分布，則記為 XN(也C.正態(tài)曲線的性質(zhì) 1(x G 2正態(tài)曲線- (x) = j=e 2 , xCR有以下性質(zhì)：02no 2 b(1)曲線位于 x軸 上方，與 x軸 不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x=科對稱；(3)曲線在 x=科處達到峰值(4)曲線與x軸之間的面積為 1;(5)當 L定時，曲線的位置由科確定，曲線隨著 科的變化而沿x軸平移，如圖；(6)當科一定時，曲線的形狀由(T確定，(T 越小，曲線越 瘦高”，表示總體的分布越集中；(7 越大，曲線越 矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖 .正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值p(o x|i+ 6=；P( i 2

3、 o X|i+ 2 6)=;P(四一3 oC),則 C=()A. 0B. dC 1iD.答案：D.已知隨機變量 X服從正態(tài)分布 N(3, (t2),則P(X3)=()答案：D4,已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x) = -e-, xC (8, +8)則該正態(tài)分布的均值2兀 4兀為,標準差為.答案：0；2?；犹骄?前例剖析正態(tài)分布的再認識(1)參數(shù)科是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計； 覺衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計.科=0, (7 = 1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布定義中的式子實際是指隨機變量X的取值區(qū)間在(a, b上的概率等于

4、總體密度函數(shù)在a, b上的定積分值.(3)從正態(tài)曲線可以看出，對于固定的 W而言，隨機變量在(廠仿科+ 上取值的概率 隨著b的減小而增大.這說明 b越小，X取值落在區(qū)間(口內(nèi)科+ 6的概率越大，即X集中 在科周圍的概率越大.對于固定的 科和g隨機變量X取值區(qū)間越大，所對應(yīng)的概率就越大， 即3 b原則.探究案一講練正動正態(tài)分布密度曲線例如圖是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,求出總體隨機變量的均值和方差.5 10 15 20 25 3。養(yǎng) 40 *1斛從正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x= 20對稱，取大值為 一產(chǎn),2兀11所以 產(chǎn) 20, j- = ,、/2 兀(

5、T2 71(T = 2.1(x20) 2尸20,于是 胸，(x) = -e-xC (8, +8)總體隨機變量的期望是24兀4方差是 J=(42)2=2.利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實質(zhì)，主要有兩點：一是對稱軸1的另一是最值一1=,這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)的(T便確定了，代入便可求出相應(yīng)的er 2 兀解析式.掃一掃進入91導學網(wǎng)正態(tài)分布密度曲線也跟蹤訓攤1.若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù),一、一，一一，八，1，一且該函數(shù)的取大值為一7=.求該正4：2 兀態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式.解：由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于0. TOC o 1-5 h

6、 z ，一 11由于 f= (=,得 0= 4,72 n 22兀4故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是,、1x26(x) = =e9，xC(8, +8).求正態(tài)分布下的概率闞設(shè)XN(1, 22),試求：(1)P(-1X 3) (2)P(3vXW5)解因為XN(1, 22),所以 尸1, (r=2.P(1 vXW 3)=P(12vXW 計 2)=P(廠 oXw葉 c)= 6.(2)因為 P(3vXW 5)=P( 3冰v1),所以 P(3X5) 1= 2(P(-3X 5)-P(-1X 3)1= 2(P(1-4 XW 4 4)-P(1 -2X 2)1_2【P(猿2 Z Xw葉 2 4 P(1 o5)

7、解：因為 P(X5)=P(X03),1所以 P(X5)=21 -P(- 3X 5)一 =211 P(1 -4X1+ 4)1=1 P(廠 2(K XW 葉 2切1= 2(1 4)= 8.r者娃*體r(1)求解本類問題的解題思路是充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化到 已知區(qū)間的概率.這一轉(zhuǎn)化過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用.(2)常用結(jié)論有對任意的a,有P(X葉a);P(Xv x0) = 1-P(XSx0);P(avXv b)= P(X b)- P(X至).出眼蹤訓錐(1)(2015高考山東卷)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0, 32), 從中隨機取一

8、件，其長度誤差落在區(qū)間(3, 6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量 E服從正態(tài)分布N(w, (t2),則P(丁 8%葉o)=%, P(廠2 k Ev科 + 2 6=%.)A. %B. %C. %D. %解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知P(-3 y 3)= 6, P(-6 y 6)= 4,故P(3v工6) = P(-6 6) 7P (- 3上 3)=錯誤！ = 9=%,故選 B.(2)設(shè)隨機變量 XN(4, b2),且 P(4X8)=,則 P(Xc+1) = P(Xvc 1).求c的值；求P(4vXv8).解：由XN(2, 9)可知，密度函數(shù)曲線關(guān)于直線x=2對稱(如圖所示),又 P(Xc+ 1

9、)=P(X c- 1),故有 2(c1)=(c+1) 2,c= 2. P( 4VXV 8)=P(2 2X3V X2+2X3)= 4.探究點一正態(tài)分布的實際應(yīng)用例 某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70, 102),如果規(guī)定低于60分的學生為不及格學生.(1)成績不及格的人數(shù)占多少(2)成績在8090之間的學生占多少 TOC o 1-5 h z 解(1)設(shè)學生的得分情況為隨機變量X,則 XN(70, 102),其中 尸 70, (7 = 10.在60到80之間的學生占的比為 P(70-10X P(70-2X10X70F 2M0)P(7010XW70F 10) = 2X 4- 6)=

10、%.l方強改體 r正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略：解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(廠偽(1 + 4 ,(科一 2(T, (i+2o), ( 1 3(t,科+36這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會 用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.3. (2015杭州質(zhì)檢)某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所 需時間X(單位：分)近似服從正態(tài)分布 XN(50, 102),求他在(30, 60分內(nèi)趕到火車站的概 率.解：.XN(50, 102), =50, (t=10.P(30 v Xw 60)= P(30 v X 50升 P(50 v Xw 60)11 、一

11、，、2P( a 2 04) = ()8B. 7C. 6D. 5解析由于X服從正態(tài)分布 N(3, 1),故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x= 3.所以 P(X4) = P(X4)= = -2-=7.答案B感悟提高化歸與轉(zhuǎn)化思想是中學數(shù)學思想中的重要思想之一，在解決正態(tài)分布的應(yīng) 用問題時，化歸與轉(zhuǎn)化思想起著不可忽視的作用.本小題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識，求解時應(yīng)根據(jù) P(X4) + P(X2) + P(2交W4)= 1將問題轉(zhuǎn)化.1.設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)1f(x)的圖象，且 f(x)=如，(x)= je 48兀(x 10) 2-丁二，則這個正態(tài)總體的均值與標準差分別是 8A. 10 與 8

12、C. 8 與 1010與 2D. 2與 10(1= 10,方差 J=4,即 o= 2.10 000個點，則落入陰影部分(曲解析：選B.由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值.(2015高考湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機投擲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()0A. 2 386B, 2 718C. 3 413D, 4 772附：若XN（叢（T 2）,則 P（ 1 CX0 x+ 6= 6, P（2 cX W葉 2（）= 4.解析：選C.由P(-1X 1)= 6,得P(0X1)= 3,則陰影部分的面積為3,故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10 000 Mt誤！ = 3 413

13、 ,故選C.在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1, b2)(Q0).若X在(0, 1)內(nèi)取值的概率為，則X在(0, 2)內(nèi)取值的概率為 .解析：如圖，易得 P(0X1)=P(1X2), 故 P(0X2)=2P(0X1)=2X=.答案：.設(shè) XN(5, 1),求 P(6XW7) 解：由已知得P(4XW)= 6, P(3 4.又正態(tài)曲線關(guān)于直線 x=5對稱, ，P(3XW4P(6XW7)= 4- 6 =8.由對稱性知 P(3XW 4 )= P(6 0）都是實數(shù)B.C.D.2兀x2f(x)= 2 兀一萬1(x1) 2造尸石e1二e解析：選B.對于A:函數(shù)的系數(shù)部分的二次根式包含仿而且指數(shù)部分的

14、符號是正的，故A錯誤；對于B:符合正態(tài)密度函數(shù)的解析式，其中尸1, =0,故B正確；對于C:從系數(shù)部分看 戶2,可是從指數(shù)部分看尸也故C不正確；對于D:指數(shù)部分缺少一個負號，故D不正確.（2015高考湖北卷）設(shè)*N（u, （T2）, YN（畫（T2）,這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖 所示，下列結(jié)論中正確的是 （）P(Y閨9(Y此P(XWa)(XWd)C.對任意正數(shù) t, P(X%)平(YN)D.對任意正數(shù)t, P(Xq)；P(Y4).1 ,斛析：選 D.由圖象知，(11 閨=2, P(Y (i i)2,故 P(Y M2) u), 故A錯；因為5 V%所以P(XW (T2)P(X d),故B錯；對任

15、意正數(shù)t, P(X4)P(Y4),故C錯；對任意正數(shù)t, P(Xq)平(Yq)是正確的，故選d. TOC o 1-5 h z 4.已知隨機變量 E服從正態(tài)分布 N(2, (T2),且P( % 4)=,則P(0V y 2) = ()A.B.C.D.解析：選C.如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以P(g 2)=,并且P(0v 2)=P(2v k： 4),則 P(0v K 2)=P(g 4)P(E 3)=P(g 1)成立，則 尸.解析：YN(w, (t2),故概率密度函數(shù)關(guān)于直線x=科對稱，又P(g 1)=P(3),從1*3.而尸巧一=2,即科的值為2.答案：2.在某項測量中，測量結(jié)

16、果E服從正態(tài)分布N(1, (t2)(t 0).若E在(0, 1)內(nèi)取值的概率為，則E在(2, +8止取值的概率為 .1解析：由正態(tài)分布的特征易得P(2)=2*12P(031) = 2X(1=.答案：1 000名年齡在歲至19歲為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(叢22),且正態(tài)分布密度曲線如圖所示， 若體重大于kg小于等于kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于 正常情況的人數(shù)約為 .解析：依題意可知，科=, 況的人數(shù)為1 000 X 6 =683.(r=2,故PvX= P(廠o(1 4) = 1 200

17、X 63().(2015漳州高二檢測)某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可 走，第一條路線穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時間(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,102)；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布N(60,.(1)若只有70分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線(2)若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線解：由已知 XN(50, 102), 丫N(60, 42).由正態(tài)分布的 2(t區(qū)間性質(zhì)P(四一2omw + 2o)= 4.然后解決問題的關(guān)鍵是：根據(jù)上述性質(zhì)得到如下結(jié)果：對 X: 尸 50; 戶 10, 2(r 區(qū)間為(30, 70),對Y:產(chǎn)60

18、; 戶4, 2(T區(qū)間為(52, 68), 要盡量保證用時在 X?(30, 70), Y?(52, 68)才能保證有95%以上的概率準時到達.(1)時間只有70分鐘可用，應(yīng)該走第二條路線.(2)時間只有65分鐘可用，兩種方案都能保證有95%以上的概率準時到達，但是走市區(qū)平均用時比路線二少了10分鐘，應(yīng)該走第一條路線.B.能力提升.設(shè)隨機變量XN(w, (T2),則隨著b的增大，P(|X U34將會()A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.保持不變D .增減不定解析：選C.對于服從正態(tài)分布的隨機變量X,不論11, (T怎么變化，P(|X3 6總等于4.設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間(8, 1)和區(qū)間(3, + OO的

19、概率相等，落在區(qū)間( 2, 4)內(nèi)的 概率為，則該正態(tài)總體對應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點的坐標為()A. (1,冰)B. (1, V2)C. (TT=, 1)D. (1, 1)2解析：選A.正態(tài)總體落在區(qū)間(一8, 1)和(3, +8的概率相等，說明正態(tài)曲線關(guān)于=1對稱，所以尸1.又在區(qū)間(一2, 4)內(nèi)的概率為%,- 1 3 o= 2, 1 + 3 o= 4,cr = 1. c、1(x 1) 2. f(x)=啦e -2，x C R ,，1，最局點的坐標為 1,1廠.設(shè)隨機變量E服從正態(tài)分布 N(0, 1),則下列結(jié)論正確的是P(| *a) = P(E0);P(| *a)=2P( 0); P(| *

20、a) = 1 2P( a)(a0);P(| gva) = 1 P(| ga)(a0).解析：因為P(| Ka) = P(-a K a),所以不正確；因為 P(| |a) = P(-a a)= P(g a) - (1P(云a)=2P(g a)-1,所以正確，不正確；因為 P(|gva)+P(|aa)=1,所以 P(|gva)=1 P(|4a)(a0),所以正確.答案：.設(shè)隨機變量 XN(1, 22),則Y=3X1服從的總體分布可記為 .解析：因為XN(1 , 22),所以 呼1 , (r=2.又丫=3X1,所以 E(Y)=3E(X)-1 = 3- 1 = 2,D(Y) = 9D(X) = 62,所以丫N(2, 62).答案：YN(2, 62). (2014高考課標全國卷I )從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布 N(叢(T2),其中 匹似為樣本平均數(shù)x, 2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求