高中數(shù)學競賽標準教材復數(shù)【講義】

1、第十五章復數(shù)一、基礎知識.復數(shù)的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除 等運算。便產(chǎn)生形如a+bi (a,b C R)的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表不。.復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi (a,b C R), a稱實部記作 Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將 (a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那 么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為

2、虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將 (a,b)作為向量的坐標，復數(shù) z又 對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內(nèi)的點Z,見圖15-1 ,連接 0乙 設/ xOZ=0 ,|OZ|=r ,則a=rcos 0 ,b=rsin0 ,所以z=r(cos 0 +isin 0 ),這種形式叫做三角形式。若 z=r(cos 0 +isin 0 ),則。稱為z 的輻角。若0W。2兀，則。稱為z的輻角主值，記作0 =Arg(z). r稱為z的模，也記作|z| ,由勾股定理知|z|= Ja2 +b2 .如果用ei9表示cos + +isin 0 ,則z=re

3、 i0,稱為復數(shù)的指數(shù)形 式。.共軻與模，若 z=a+bi , (a,b C R) Uz=a-bi稱為z的共軻復數(shù)。模與共軻的性質有：(1)乙士 z2=z1 z2； (2)乙z2=乙Z2；(3)z 2=| z|2 ；(4) 亙=亙；(5)4z2Zi . | 乙 | 乙Z2H 乙 |，| z2 | ; (6)|一 |= ;( 7)|z1|-|z 2| w |z 1 土z2|w |z 1|+|z 2| ； (8)Z2| Z2 |z i+Z2| 2+|z 1-z 2| 2=2|z 1| 2+2|z 2| 2； (9)若 |z|=1 ，則 z =。 z.復數(shù)的運算法則：(1)按代數(shù)形式運算加、減、乘、

4、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運 算結果可以通過乘以共軻復數(shù)將分母分為實數(shù)；(2)按向量形式，力口、減法滿足平行四邊形和三角形法則；(3)按三角形式，若Z1=ri(cos 0 1+isin 0 1), Z2=r2(cos 0 2+isin 0 2),則 Zi? TOC o 1-5 h z 乙1 _. _Z2=r 1r2cos( 0 1+02)+isin(0 1+02);右z2=0, = cos( 0 1-02)+isin(01-02),Z2r2用指數(shù)形式記為Z1Z2=nr2e( e1+e2),亙=26(口5.Z2r2.棣莫弗定理：r(cos 0 +isin 0 ) n=r n(cosn 0 +i

5、sinn 0 ).c H 什 nnLF+2k二.2k二、.開 方： 右 w = r(cos 0 +isin 0 ), 則 w = Vr ( c o-s+1 s i n),nnk=0,1,2,n-1 。.n2 二2 二 7.單位根：右w=1,則稱w為1的一個n次單位根，間稱單位根，記Z1= cos + i sin , n n2_ n-1_ k則全部單位根可表不為1,乙，乙，,Z1 .單位根的基本性質有(這里記Zk =Z1 ,k=1,2, ,n-1 )： (1)對任意整數(shù)k,若 k=nq+r,q Z,0 r 2時，有1 + Z1m +Z； +Z;=0,當n | m, . Qil,、1 特別 1+Z

6、1+Z2+乙-1=0； (3) n,當 n | m,xn-1 +xn-2+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2) (x-Z n-1 )=(x-Z 1)(x- Z12 )(x- Z1n).復數(shù)相等的充要條件：(1)兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；(2)兩個復數(shù)的模和輻角主值分別相等。.復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是 z= z ；z是純虛數(shù)的充要條件是：z+Z=0 (且zw0).代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。.實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若 z=a+bi(b W0)是方程的一個根，則 z=a-bi也是一個根。.若 a,b,c CR,aw0,則關于 x

7、的方程 ax2+bx+c=0,當A =b2-4ac|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),其中等號成立。四個向量方向相同，且模相等。,解得 a=b=0.2.復數(shù)相等。例3 設入C R,若二次方程(1-i)x2+(入+i)x+1+入i=0有兩個虛根,求入滿足的充要條件。 x +九x +1 = 0解若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(入+1)x+入+1=0.若入x2 -x - =0=-1 ,則方程x2-x+1=0中A (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以

8、 |A-B| ?|C-D|+|B-C| ?|A-D| |A-C| ?|B-D|,“=”成立當且僅當B -AB -CD - AB - CArg (-BA) = Arg (-BC),即 Arg (-A) + Arg (-BC) = % ,即 A, B, C, D共圓時 D -AC -DB - AD -C成立。不等式得證。.復數(shù)與軌跡。例8 A ABC的頂點A表示的復數(shù)為3i ,底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2 ,求A ABC的外心 軌跡。解設外心M對應的復數(shù)為z=x+yi(x,y C R), B, C點對應的復數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-

9、b|=|z-3i|, BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|,所以點 M對應的復數(shù) z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去b解得2 .4x 6(y -3-).所以A ABC的外心軌跡是軌物線。.復數(shù)與三角。例 9 已知 cos + +cos 3 +cos 丫 =sin a +sin 3 +sin 丫 =0,求證：cos2 a +cos2 3 +cos2 丫 =0。證明 令 z1=cos a +isin a ,z 2=cos 3 +isin 3 ,z 3=cos 丫 +isin 丫 ,貝Uz1+z2+z3=0。所以 4 +z2 +z3 =4 +z2 + z3 = 0.又

10、因為 |z i|=1,i=1,2,3. TOC o 1-5 h z 、，1所以 zi ? zi =1, IP zi =. zi HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 222由 zi+z2+z3=0 得 x +x2 +x3 +2z;z2 +2z2z3 +2z3z1 =0.又 z1 z2 - z3z2 - z3 乙=zi z2 z3 (ziz2z3)= 0.=zi z2z3所以 z2 z2 z； = 0.所以 cos2 a +cos2 3 +cos2 丫 +i(sin2 + +sin2 3 +sin2 丫 )=0.所以 cos2 a +cos2 3 +

11、cos2 丫 =0。例 10 求和：S=cos20+2cos40 + - +18cos18 x 20.解 令 w=cos200+isin20 0,貝U W8=1 ,令 P=sin20 0+2sin40 0+18sin18 x 200,貝U S+iP=w+2虐+ +18W8. 由 x w 得 w(S+iP尸w2+2W3+17w8+18w19,由-得(1-w)(S+iP)=w+w 2+w8-18w19= w(1 w)_18w19 ,所以 S+iP=lw = 一9 - - i , 1-w1 -w 逐 2 ,9 所以S = -9.2.復數(shù)與多項式。例11 已知f(z)=c 0zn+c1zn-1+cn-

12、1z+cn是n次復系數(shù)多項式(cow。).求證：一定存在一個復數(shù)z0,|z 0| |c 0| + |c n|.證明 記 c0zn+c1zn-1 +cn-1z=g(z),令=Arg(c n)-Arg(z 0),則方程 g(Z)-c 0ei0=0 為 n 次方 程，其必有 n 個根，設為 z1,z 2, ,z n,從而 g(z)-c 0ei0 =(z-z 1)(z-z 2)?？ (z-z n)c0,令 z=0 得-c0ei0=(-1) nz1z2znc0,取模得 憶1z2zn| = 1。所以z1,z 2, , zn中必有一個 zi使得憶i | W 1,從而 f(z i)=g(z i)+c n=c0

13、ei 0=cn,所以 |f(z i)|=|c 0ei0 +cn|=|c 0|+|c n|.單位根的應用。例12 證明：自。O上任意一點p到正多邊形 AA2A各個頂點的距離的平方和為定值。證明取此圓為單位圓，O為原點，射線 OA為實軸正半軸，建立復平面，頂點A1對應復2%數(shù)設為e =e n ,則頂點A2A3An對應復數(shù)分別為e2, 3,，n.設點p對應復數(shù)z,則nnn_ n_ TOC o 1-5 h z |z|=1,且=2n- | pAk |2 =E | z - sk |2 = (z -sk)(z -sk) =E (2- 名kz臚z) k 1k 1k 1k 1_ nn _ k_ nn=2n-z8

14、k-zZ*=2n-zk -zZ8k=2n.命題得證。k 1k 1k 1kd.復數(shù)與幾何。例13如圖15-2所示，在四邊形 ABCErt存在一點P,使得APAR A PCD者B是以P為直角 頂點的等腰直角三角形。 求證：必存在另一點 Q,使得AQBC AQDA&都是以Q為直角頂點 的等腰直角三角形。證明以P為原點建立復平面，并用A, B, C, D, P, Q表示它們對應的復數(shù)，由題設及C -iB復數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA ;取Q =,則C-Q=i(B-Q),則A BCQ為等腰直角1 -i一一一，D 一 .，A ,二角形；又由C-Q=i(B-Q)得 =Q = i( -Q),即A-Q=

15、i(D-Q),所以A ADQ也為等腰直角 ii三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。例14平面上給定AAAaA及點p0,定義As=As-3,s 4,構造點列p0,p 1,p2,，使得pk+1為繞中心Ak+i順時針旋轉120時pk所到達的位置，k=0,1,2,，若pi986=p0.證明：A AA2A3為等邊 三角形。i 二證明令u=e 3 ,由題設，約定用點同時表示它們對應的復數(shù)，取給定平面為復平面，則pi=(1+u)A i-up ,P2=(1+u)A 2-up 1,p3 = (1+U)A 3-up 2, X u2+ X (-u)得 p3=(1+u)(A 3-uA2+u2A)+p =w+p,w

16、為與 p 無關的常數(shù)。同理得 p6=w+ps=2w+po,p 1986=662w+p=p,所以 w=0,從而 A-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A-A1= (A2-A1) u,這說明A A1A2A3為正三角形。三、基礎訓練題1.滿足(2x2+5x+2)+(y 2-y-2)i=0的有序實數(shù)對(x,y)有 組。2,若 z C C且 z2=8+6i,且 z3-16z- 100 =。z.復數(shù)z滿足|z|=5 ,且(3+4i) ?z是純虛數(shù)，則z=。.已知 z =2,則 1+z+z2+-+z1992=。 TOC o 1-5 h z 1.3i.設復數(shù)z使得W二1的一個輻角的絕對值為土，則z輻

17、角主值的取值范圍是 z 26.設z,w,入C C,|入| w 1,則關于z的方程z - Az=w的解為z=。2一 1，X1 - X7.設8.若0 xc2是 a2+b2-c20 成立的 條件。.已知關于x的實系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點 共圓，則m取值的集合是。.二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于 2,求實數(shù)a的取值范圍。.復平面上定點 Z0,動點Z1對應的復數(shù)分別為 z0,z 1,其中z0W0,且滿足方程|z 1-z0| = |z 1| , 另一個動點Z對應的復數(shù)z滿足z1?z=-1 ,求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀 和位置。

18、. N個復數(shù)z1,z 2,z n成等比數(shù)列，其中|z1|w1,公比為 q,|q|=1 且qw1,復數(shù)w,w2,wn滿足條件：w；=zk+ +h,其中k=1,2,n,h為已知實數(shù)，求證：復平面內(nèi)表示 zkw,w2,wn的點p1,p 2,，p n都在一個焦距為4的橢圓上。 四、高考水平訓練題.復數(shù)z和cos 0 +isin 0對應的點關于直線|iz+1|=|z+i| 對稱，則z=。.設復數(shù)z滿足z+|z|=2+i ,那么z=。.有一個人在草原上漫步，開始時從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉7T角度,6他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點，則 n=。4.右z(4 -3i)2(-1 3i)10元T

19、12(1 -i)則 |z|= TOC o 1-5 h z n n.若ak0,k=1,2,n,并規(guī)定an+1=a1,使不等式 工 Jaj akak書+aj書之九工ak恒成立 k 4k 1的實數(shù)入的最大值為。 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 226.已知點P為橢圓 上+上=1上任意一點，以 OP為邊逆時針作正方形OPQR則動點R95的軌跡方程為。.已知P為直線x-y+1=0上的動點，以 OP為邊作正AOPQ（O P, Q按順時針方向排列）。 則點Q的軌跡方程為。2.已知zC C,則命題“ z是純虛數(shù)”是命題“ 一Jw R”的 條件。1 - z20

20、062008 -、20072n設(x +x +3)=a+a1x+a2x + +anx , 貝1 a09.若nC N,且n3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為 。10a1a2a4a5十+ a3 一一 一一 +2222+ a3k-a3k 1 a 3k 2AC Co證明:/、 z1Az2 Az1 + Az2 + A11.設復數(shù) z1,z2滿足 z1?z2 +Az1 +Az2 =0,其中 Aw0,、_2(1) |z1+A|?|z2+A|=|A| ;.若zC C,且憶|=1,u=z 4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復數(shù)乙| z1 H z2

21、 |=1 z3 日，.給定實數(shù)a,b,c,已知復數(shù)z1,z 2,z 3滿足j亙+ z2+亙=1,求z2z34|az 1+bz2+cz3| 的值。三、聯(lián)賽一試水平訓練題1 一.已知復數(shù)z滿足|2z+ | = 1.則z的輻角主值的取值范圍是 。 z.設復數(shù)z=cos 0 +isin 0 （0 。w兀），復數(shù)z,（1+i）z , 2 z在復平面上對應的三個點分別 是巳Q R,當P, Q, R不共線時，以 PQ PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S,則S到原點距離的最大值為 。.設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為Zi,Z2,Z20,則復數(shù)z11995,z；995,，z；995

22、所對應的不同點的個數(shù)是 。.已知復數(shù)z滿足|z|=1 ,則|z+iz+1|的最小值為 。.設w = - + 史J , zi=w-z,z 2=w+z,z i,z 2對應復平面上的點A, B,點O為原點，/AOB=90, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 22|AO|=|BO| ,則 A OAB積是。 冗冗6.設 w = cos +i sin ,則(x-w)(x-w 3)(x-w 7)(x-w 9)的展開式為 。55.已知(V3 + i )m=(1+i) n(m,n C N+),則 mn的最小值是 。.復平面上，非零復數(shù) z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1 ?z2的實部為零，z1的輻角主值為,則z尸。6.當nC N,且1WnW100時，(3 +i)7 +1n的值中有實數(shù) 個。7e,Argz2 = , Argz3 =