2020年下半年教資考試初中數學真題及答案

1、第 頁2020年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力試題（初級中學）注意事項：考試時間為120分鐘，滿分150分。請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案字母按要求涂黑。錯選、多選或未選均無分。）。sinx+3x,1.極限lim的值是(xtotanx+2x43A.B.-322.設a為向量m=(2,2,1)和n=(-1,2,2)的夾角,C.8D.不存在則cosa是（）。495C.93.設f(x)=xxGG,l,則下列不正確的是）

2、。A.f（X）在（0,1上連續(xù)B.f（X）在（0,1上一致連續(xù)C.f（x）在（0,11上可導D.f（X）在（0,1上單調遞減空間曲面x2-4y2+z2二25被平面x=3截得的曲線是（）。A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.圓甲乙兩位選手通過五局三勝制比賽爭奪1000元獎金，前三局比賽結果為甲二勝一負1現(xiàn)因故停止比賽，設在每局比賽中，甲乙獲勝的概率都是，如果按照甲乙最終獲勝的概率大小分配獎金，甲應得獎金為（）。A.500元B.600元C.666元D.750元已知球面方程為x2+y2+z2+在z軸上一點P作球面的切線與球面相切與點M,線段PM長為2邁，則在點P的坐標（0,0,z）中，z的值為（）。A.

3、2B.2C.3D.4編制數學測試卷的步驟一般為（）。A.制定命題原則，明確測試目的，編擬雙向細目表，精選試題B.明確測試目的，制定命題原則，精選試題，編擬雙向細目表明確測試目的，制定命題原則，編擬雙向細目表，精選試題明確測試目的，制定命題原則，編擬雙向細目表，精選試題解二元一次方程組用到的數學方法主要是（）。A.降次B.放縮C.消元D.歸納二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）1357一35719計算行列式5713713510.設函數f（x）在la,b上連續(xù)，證明aa設A是3X4矩陣，其秩為3,已知耳,n為非齊次線性方程組AX=b兩個不同的12(x)1(bx12，b=bx23bJ3

4、丿IxJ3解，其中X=（1）請用n，n構造ax=o的一個解，并寫出Ax=o的通解；（4分）122）求AX=b的通解。（3分）簡述進行單元教學設計的基本流程。簡述數學運算的基本內涵。三、解答題（本大題1小題，10分）已知一束光線在空氣中從點A到達水面上的點P,然后折射成水下的點B（如圖所示），射光在空氣中的速度為c,在水中的速度為c，光線在點P的入射角為0，折射角為0。（1）若OP長為X，請寫出光線從點A到達點B所需時間T（JC）的表達式；00（2）若T（x）是光線由點A到達點B所需時間的極小值，證明竺0=。0sm0c四、論述題（本大題1小題，15分）伴隨著大數據時代的到來，數據分析已經深入到現(xiàn)

5、代社會生活的各個方面，結合實例闡述在中學數學中培養(yǎng)學生數據分析能力的意義。五、案例分析題（本大題1小題，20分）閱讀案例，并回答問題。案例“三角形中位線定理”是八年級學生的學習內容，下面是兩位教師的教學片段：（一）教師甲在講授中位線定理這一內容時，利用“數學軟件A”作了兩次測量，一次是驗證三角形中位線定理，另一次是驗證順次連接四邊形的中點所圍成的圖形為平行四邊形。教師甲發(fā)現(xiàn)，當他讓學生動手測量的時候，有一部分學生懶散地坐著，沒有剛開始接觸該軟件時那樣積極，課后教師向幾位同學詢問情況，有學生說這兩道題書上都有結論，早就看過了，再去測量是不是有點兒傻？（2）教師乙教師首先讓學生探究問題，如圖2,五

6、邊形ABCDE中，點F、G、H、I分別是AB、BC、CD、DE的中點，J、K分別是FH、GI的中點，AE與JK有什么關系？學生們馬上打開“數學軟件A”進行測量，很快發(fā)現(xiàn)AE=4JK，能不能證明發(fā)現(xiàn)的結論呢？學生們沒有一點頭緒。教師提示說當遇到問題解決不了的時候，我們是不是進一步先解決容易的問題？教師引導學生去研究三角形中位線定理和順次連接四邊形中點所圍成的圖形是平行四邊形兩個問題，經過師生的共同研究，取AD的中點L后，學生不僅驗證了AE=4JK，而且高興地發(fā)現(xiàn)AE和JK還存在平行關系，如圖3。問題：（1）請分別對教師甲和乙的教學進行評價；（10分）（2）請畫出適用于本節(jié)課教學的“三角形中位線定

7、理”證明的示意圖（圖中輔助線用虛線表示）；（5分）（3）結合本案例，請談談信息技術在數學中的作用。（5分）六、教學設計題（本大題1小題，30分）針對“分式的基本性質”一課完成下列教學設計。（1）寫出教學重點；（6分）（2）設計新知識（性質均分）的導入和探索過程；（16分）（3）設計一個運用分數基本性質的問題，并給出解答。（8分）2020年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力試題（初級中學）參考答案及解析一、選擇題十sinx+3xx+3x4【答案】A。解析：本題可用等價無窮小求極限。hm=故本xtotanx+2xx+2x3題選A?！敬鸢浮緽。解析:本題考查空間向量數量積的運算。m-n=

8、2x（1）+2x2+lx2=4,mi22+22+12=3,ni=p(1)2+22+223,cosa故本題選B?！敬鸢浮緽。解析：本題考查函數的連續(xù)性及一致連續(xù)性，可導及單調性。A選項，因為函數f（x）=1是初等函數，它在區(qū)間（0,1上有定義，所以在（0,1上是連續(xù)的，正確；xB選項，根據一致連續(xù)的定義可知，在區(qū)間的任何部分，只要自變量的兩個數值接近到一定程度，就可使對應的函數值達到所指定的接近程度。因為f（x）=1在區(qū)間（0,11上的圖象x陡的程度大，取兩個接近的數值時，不能保證函數值的接近程度在指定的范圍內，所以f（x）在（0,1上不是一致連續(xù)的，錯誤；C選項，因為初等函數在定義域內都是可導

9、的，所以函數f（x）=1在區(qū)間（0,11上可導，正確；D選項，由函數圖象可知，函數f（x）=1在區(qū)間（0,1xx內單調遞減，正確。故本題選B。4【答案】C。解析：本題考查空間曲線方程的知識。根據題意求曲線方程可以把x=3代入空間曲面x24y2+z225得到方程z24y216，此曲線方程z24y216確定為雙曲線。故本題選C。【答案】D。解析：本題考查概率求解的知識。甲乙2人每局獲勝的概率均為1，2甲勝兩局乙負局以后，那么甲要是獲勝的話就只有2種情況：（1）接下來一局，甲勝乙負，1111概率為；（2）接下來是甲先負一局，然后甲勝，概率為x=4。綜上，甲獲勝的概率1331為懇+t=g，那么乙獲勝的

10、概率為1丁=丁，所以按照獲勝的概率來看，他們分配獎金4444的比例應該是3：1。故本題選Do【答案】C。解析：本題考查空間解析幾何知識。連接球面切點M與球心O,MOIPM。在直角三角形PMO中，OP=：OM2+PM2v12+（2、邁）23，因為P點在Z軸上，所以點P的坐標為（0,0,3）。故本題選Co【答案】B。解析：本題考查課程標準。數學試卷設計的步驟：明確測試目的，制定命題原則，精選試題，編擬雙向細目錄。故本題選B?！敬鸢浮緾o【解析】本題考查數學教學知識。解二元一次方程組可以用消元的方法把元一次方程組轉化為一元一次方程，其中用到的數學方法是消元。故本題選C。二、簡答題9.【答案】2048

11、。解析：本題考查行列式的計算。1357163571357357116571157116x5713167131713713516135113513571357022-6022-616x16x2048044-400-880-22-2000-8【答案】見解析。解析：令t=a+bx，貝yx=a+bt，當x二a時，t=b，x=b時，t=a，從而t的取值范圍為tgla,b,所以bf(a+b一xAx=JafC(a+bt)=JbfC)dt=Jbf(xxTOC o 1-5 h zabaa【答案】(1)nn；k(nn)kgr；(2)n+kG-n)kgr1212112解析:(1)vn、n為非齊次線性方程組AX=b的

12、兩個不同的解，：An=b，An=b HYPERLINK l bookmark77 o Current Document i2i2，一得：A(nn)=0,ax=0的一個解為nn。矩陣R(a)=34 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document i2i2AX=0有無數多個解，且自由未知量的個數為1,ax=0的通解為k(nn)kgroi2(2)vn為非齊次線性方程組ax=b的一個特解，k(nn)kgr為ax=0的ii2通解，非齊次線性方程組ax=b的通解為：n+k(n-n)kgr。ii2【參考答案】單元教學設計的基本流程需從課前、課中、課后三個層次考慮。課前包括

13、：教材分析：分析課程標準的要求；分析每課教材內容在整個學期的學習內容和本單元中的地位與作用。學生分析:分析學生已有的認知水平和能力狀況；分析學生存在的學習問題；分析學生的學習需要和學習行為。教學目標分析：知識與能力目標；過程與方法目標；情感、態(tài)度、價值觀目標。教學重點與難點：教學重點；教學難點。教學方式：確定進行課堂教學所要采取的教學策略、方法與技巧。教學環(huán)境和教學用具：教學環(huán)境的設計與準備；教學用具的設計與準備。課中包括：(1)課堂導入；(2)講授新課；(3)鞏固練習；(4)課堂小結；(5)布置作業(yè)。課后包括：(1)對學生學習效果的評價；(2)對教學設計的評價?！緟⒖即鸢浮繑祵W運算是指在明晰

14、運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。數學運算是解決數學問題的基本手段。數學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。數學運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。通過高中數學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。三、解答題2)見解析14.【參考答案】(1)T(x)=Xo=+J7-Xo0csmUcsmU解析：(1)由路程與時間和速度的關系式，

15、得到光線從A到B所需的時間T(x)=APBP/x卜0CsinU(2)以P為原點，以PP方向為x軸，以過點P與x軸垂直的直線為y軸建立直角坐標系，設A(Xi,yi)B(x25y2)，由A發(fā)出一束光線射向x軸，與x軸交點設為P(x,O),最終經過點B,設xixx2，作MN丄x軸于P點，MN為法線，入射角0=ZAPM,折射角0=ZBPN，所以胡+朋=-3+yi2+應x)2+yi2，要使TS取得極小值，需使dTodT_2。x,)*20?一x,)C1)dxd2c(xx1+y22c(xx)?+y2即1丿1、2J2xxix2一x+yi，又因為sinU=xxi+yix2一xsinUsinUsinU:sinU四

16、、論述題【參考答案】課程標準認為數據分析觀念是指：在現(xiàn)實生活中處理問題時先做調查研究，收集到有用的數據，分析數據中蘊含的信息并以此為依據做出判斷；掌握解決問題的多種方法，能根據問題或實際情況選出合適的方法；體驗數據分析中的隨機性，在足夠的數據中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。也就是說在數據分析觀念的指導下，學生能夠用適當的統(tǒng)計分析方法對收集的大量數據進行分析，提取有用信息或形成結論，從而對數據加以研究和概況總結。在中學數學中，對于培養(yǎng)學生數據分析的能力，一定要讓學生對數據分析產生興趣，俗話說，興趣是學習的最好老師，有了興趣再難的事，我們也會風雨無阻，勇往直前。然后一定要結合學生的生活實際，畢竟數據來源于生活，這樣采

17、集的數據學生才會產生興趣，并且容易理解，不顯得那么苦噪乏味。而且用數學知識去解決生活中的問題也是我們學習數學的的終極目標。最后培養(yǎng)學生由小及大，從身邊的小事具一反三，了解數據分析的意義。為國家、為世界培養(yǎng)具有應用意識、實踐能力、創(chuàng)新意識的高素質人才。例如學生可以分析自己一個星期的生活開銷。首先我們可以問學生知道爸爸媽媽每個星期給你多少生活費吧，自己每個星期還剩多少或者超支了多少吧，那你們知道你把錢用在了什么地方嗎?難道你們不想為自己制定一個收支清單嗎?明白自己什么地方該用或不該用，在周末時去買自己心怡的東西嗎？請同學們收集自己這個星期的生活收支，等到下個星期一起來分析數據，得出結論。這種和學生

18、開銷密切相關的課題，學生肯定有興趣。而且學生在收集,整理、分析數據的過程中，學生能夠了解自己的開銷情況從而養(yǎng)成節(jié)約的傳統(tǒng)美德。另外游戲也可以有效激發(fā)學生的興趣，使學生影響深刻的重要途徑，比如在課堂上做擊鼓傳花的游戲，讓學生分析誰得到花的次數最多或最少。最后從游戲回歸到書本，學生就能輕易理解，課堂也不再枯燥無聊。同時也幫助學生初步掌握了數據分析的方法，掌握在生活中運用數據分析解決實際問題的重要方法。五、案例分析題【參考答案】教師甲在本節(jié)課的導入過程中，直接用簡單的驗證結論方式進行導入，在學生已經提前預習的情況下，這樣導入不能激發(fā)學生的學習興趣，使學生自然發(fā)生學習需求。教師甲的導入缺乏啟發(fā)性，違背了現(xiàn)代學生觀中“以人為本”的理念。同時，教師甲課前沒有掌握學生的實際情況，違背了現(xiàn)代教師觀中教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者。教師乙通過創(chuàng)設情景，讓學生在經歷和體驗中學習數學，而不是直接獲得結論。這樣做可以激發(fā)學生學習興趣,把學生引入環(huán)境中去，讓學生身臨其境，自然發(fā)生學習需求。同時，教師乙由易到難的設計課程，也符合學生的認知規(guī)律。已知在DABC中，D、