高中數(shù)學(xué)從一題多解,看集合問題的求解策略學(xué)法指導(dǎo)

1、從一題多解，看集合問題的求解策略宋會民、具體集合問題2例 1.已知 M =2,a,b, N =2a2b ，且 M =N，求 a, b 的值。分析：本題的一個重要條件是M=N ,可以根據(jù)集合的性質(zhì)求解。解法1 ：根據(jù)集合中元素的互異性，得a = 2a, a b2 .、, J ?；騛-b ,解此方程組得 b = b2 、b=2aa = 0 7或b=1a =0或b =01412，根據(jù)集合中元素的互異性得a = 0或b =11 a 二一41 b = ,2解法2 :由M=N ,知M、N中元素分別對應(yīng)相同，得2a b = 2a + b ，門 a a ，即2ab = 2aba +b(b -1) =0ab(2

2、b -1) =0因集合中元素互異，所以a, b不能同時為0,當(dāng)b#0時，由得a = 0或b=1；當(dāng)a=0 2一、,、 八，-113=0時，由得b=1或b=0 （舍去）；當(dāng)b=，時，由得a=。所以a, b的值分別為24b = 1a,點撥：本題中如不注意集合中元素的互異性，可得方程組有三組不同的解，從而得b的三組值。對于此類問題，常常需要代入檢驗。例 2.已知集合 M =x |y2 =x +1, P=x|y2 = 2（x 3）,那么 M p等于（）A. （x,y）|x 二|,y =： 236B. （-1,3）C. -1,3D.（-二,3）分析：識別集合 M, P的元素的特征，是求 Mcp的關(guān)鍵，如

3、果審題不認真，一看到 求兩個集合的交集，就解方程組，于是錯選Ao其實MCP的元素根本不是（x,y）,而是x的形式，一定要注意區(qū)分下面三個集合x|y = -x2+4x, y | y = -x2+4x, -2（x,y）|y=r +4x,匕們的息義不同。解法 1：由 x =y2 1 之一1,得吊=x |x 之一1 =一1,）。由 x = y2+3E3,得2P=x |x 3。M 1p=x|-1 x 3 =-1,3,故選 Co解法2：排除法。因M1P的元素是x,而不是（x,y）的形式，所以排除 Ao比較B項 與C項，如果取x =-1,-1M,-1P,知1W（M IP）,所以排除Bo再比較C項和D項，Wx

4、=N, 2*M,所以排除D,故選C。二、集合中的文字應(yīng)用題例3.有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三本新書，至少讀過其中一本的有18人，讀過數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的分別有 9人、8人、11人，同時讀過數(shù)學(xué)、物理的有 5人，同時讀過物理、化學(xué)的 有3人，同時讀過化學(xué)、數(shù)學(xué)的有 4人，三本書都讀過的有幾人？分析：理解“至少”、“同時”、“分別”詞語的含義，并用集合形式表示出來是解 題的關(guān)鍵。解法1:設(shè)A=讀過數(shù)學(xué)書的人, B=讀過物理書的人, C=讀過化學(xué)書的人,則 A riB=同時讀過數(shù)學(xué)、物理書的人, BPlC=同時讀過物理、化學(xué)書的人, APlC = 同 時讀過數(shù)學(xué)、化學(xué)書的人, aUbUc = 至少讀過數(shù)理化中

5、一本書的人，依題意知AriBriC= 三本書者B讀過的人, 則aCIbCIc的元素個數(shù)是 1 8（8 十9 十1 ）1 十（3 +4+5） =2。解法2:（韋恩圖法）如圖所示。設(shè)三本書都讀過的有 x人，則18=8+9+11345十x,解得x=2。三、抽象的集合問題例4.已知全集U和集合M、N、P, M =CuN,N=CuP,則M與P的關(guān)系是（）A. M =CuPB. M = PC. P =MD. M =P分析：利用韋恩圖求解，也可以利用補集的性質(zhì)求解。UM（P）解析1:（韋恩圖法）如圖所示，知 M=P,故選Bo解析2:（性質(zhì)法） M =Cu（CuP）=P。故選B。例5.設(shè)I為全集，Si、S2、

6、S3是I的三個非空子集，且 Si US? US3 = I ,則下列論斷正確的是()CiS(S2S3)=中c. CIGcIs2 cIs3 =中解法1根據(jù)集合交、并、補的關(guān)系$=(CiS2 CiS3)D. &三(C1S2 C1S3)CI(AUB)=CIAncIB,可立即判斷 C正確。解法2:假設(shè)& =S2 =S3 #中，可排除B、D、A,驗證C正確。解法3構(gòu)造具體的集合檢驗。如S1 =1,2, S2 =2, S3 =2,3, I =1,2,3,經(jīng)檢驗容易排除A、B、D,故選Co點撥：本題的三種解法主要是集合的交、并、補概念及運算，以及特殊化的思想方法。例6.設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足 A J B J I ,則下列各式中錯誤的是()A. (CIA) B=IB. (CIA) (CIB)=IC. A (CIB) .：，D. (CIA) (CIB)=CIB分析：本題利用韋恩圖或特殊化方法解決。解法1:由題意，畫出適合題意的圖形如圖，圖中陰影部分為(CIA)U(CIB),顯然它不是I,故選Bo解法 2：(特例法)設(shè) A =a,b,0, B=a,b,c,