高三數(shù)學(xué)高考考點(diǎn)解析線線角與線面角的題型與解法全國(guó)通用

1、線線角與線面角高考考綱透析：線線，線面，面面的平行與垂直，異面直線所成角，直線與平面所成角Wj考熱點(diǎn)：異面直線所成角，直線與平面所成角知識(shí)整合：.轉(zhuǎn)化思想：將異面直線所成的角，直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，然后解三角 形;線線平行 U 線面平行 U 面面平行,線，線之 線，面匕 面，面，利用空間圖形的平行，垂直,對(duì)稱關(guān).求角的三個(gè)步驟：一猜，二證，三算.猜是關(guān)鍵，在作線面角時(shí)系，猜斜線上一點(diǎn)或斜線本身的射影一定落在平面的某個(gè)地方，然后再證熱點(diǎn)題型1例1、如圖，在直三棱柱 ABC A1B1cl中，AC =3,BC =4,AB=5,AA =4，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn).(I )求證 AC -LB

2、Ci；(n)求證 ACil_平面CDBi；(出)求異面直線AG與BiC所成角的余弦值.解析；異面直線所成角的平面角頂點(diǎn) O的選取一般選在兩異面直線的端點(diǎn)處，初學(xué)者或觀察能力有限者可采用窮舉法，實(shí)行逐個(gè)端點(diǎn)考察，也有 取在某線段的中點(diǎn)處解：(I)直三棱柱 ABOABiC,底面三邊長(zhǎng) AC=3, BC=4AB=5ACBC,且BC在平面ABC內(nèi)的射影為 BC,ACXBG;(II )設(shè)CB與CiB的交點(diǎn)為 E,連結(jié)DE D是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，DE/AC i, DE 二 平面 CDB, AC 0平面 CDB,ACi/ 平面 CDB;(III ) DE/AC i, /CEM AG與 BC所成的角

3、，在 CEDP,ED=1 ACi = 5, CD=1AB=5, CE=1 CB=2 2,22222-8cos / CED =-2 2.2 52ClinBiA1/異面直線 AC與BC所成角的余弦值 2叵5E解法二：.直三棱錐 ABCAB1cl底面三邊長(zhǎng) AC =3,BC =4, AB =5 ,ACBCCG兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，則 C(0,0,0),A(3,0,0),C i(0, 0,4),B(0,4,0),B i(0,4,4),D(3 ,2,0)2(1)7 AC1 =(-3,0,0), BC1 = (0,4,4)，, AC1 BC； = 0, AC1 1 BC1 .(n )設(shè)CBi與GB的交點(diǎn)

4、為E,則E(0,2,2)一1 3 一. DE =( - ,0, 2), ACi =(-3,0,4), 2=i .DE ACi,. DE / ACi2/ DE u 平面 CDBi, ACi 0平面 CDBi,.ACi/TCDBi.(叫AC (3,0,4), = (0,4,4),不 KACiLCBi,2.2cos : ACi,CBi =：=-,|ACi|CBi|5Bi.異面直線 AG與BiC所成角的余弦值為2.25熱點(diǎn)題型2例 2、如圖，在斜三棱柱 ABCAB1G 中，NA1AB =AAC,AB = AC, AA= A1B = a,側(cè)面B BCC與底面ABC所成的二面角為120： E、F分別是棱B

5、1c1、AA的中點(diǎn)(I)求AA與底面ABC所成的角(n)證明AE /平面B1FC（出）求經(jīng)過(guò)A,、A、B、C四點(diǎn)的球的體積解：（I）過(guò)A作A1H _L平面ABC ,垂足為H .連結(jié)AH ,并延長(zhǎng)交BC于G ,于是ZA1AH為AA與底面ABC所成的角. ZAiAB =ZAiAC,AG 為/BAC 的平分線.又 AB = AC ,，AG _L BC ,且 G 為 BC 的中點(diǎn).因此，由三垂線定理 A1A_ BC . A1A/B1B,且 EG/ZBiB,EG _L BC .于是/AGE為二面角A BCE的平面角，即 /AGE =120;由于四邊形 A AGE為平行四邊形，得 ZA1AG =60 1（

6、n ）證明：設(shè) EG與B的交點(diǎn)為P ,則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn).連結(jié)PF .在平行四邊形 AGEA中，因F為A1A的中點(diǎn)，故 A1E/FP .而FP仁平面B1 FC , A1E0平面B1 FC ,所以A1E/平面B1FC .（出）連結(jié) A1C .在 AC 和 AA1AB 中，由于 AC = AB , /A1AB =N A AC , A1A= A1A,則AACAAAB,故 AC = AB .由已知得 AA=AB = AC=a.又 A1H _L平面ABC ,H為 MBC的外心.設(shè)所求球的球心為 O ,則O亡A1H ,且球心O與A1A中點(diǎn)的連線OF _L AA.1在 RtAA1FO 中，AQ=AF= 2a

7、 二二泡. 故所求球的半徑R 二三3 a ,球的體 cosAA1H cos30 334-R327熱點(diǎn)題型3例3、如圖，在四棱錐 PABC右，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PA上底面 ABCD, AB= 6-/3x+1=0./l 2 Z=1.14(n)由于 N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè) N點(diǎn)坐標(biāo)為(x, 0, z),1 ,、NE AP=0,則 ME =(x, ,1z).由 NE，面 PAC 可得：4_.即2NE AC = 0,1(x, ,1z) (0,0,2) =0,2(-x,-,1 -z) ( 3,1,0) =0,2即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(上3，0,1),從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1,黑15,AE=- PD=,3.1714即AC與PB所成角的余弦值為3.1714解法二：(I)設(shè) ACn BD=O,連 OE,貝 U OE/PB, / EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.在 AAOE 中，AO=1, OE=- PB=2cosEOA 二(n)在面 ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交 AB于F,則NADF =6 5 口一AD 2.3連 PF,則在 RtA ADF 中