安徽省馬鞍山市中加學(xué)校2020屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題理(含解析)

1、安徽省馬鞍山市中加學(xué)校 2020 屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題 理（含解析）一.選擇題：本大題共 12個(gè)小題 ,每小題 5分,共 60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的 .已知集合， ，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】 C 【解析】由題得，集合，所以 .集合中元素的個(gè)數(shù)為 3.故選 C.已知命題： ，則命題為（）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】 D【解析】全稱命題的否定是特稱命題，則： 若命題：，則命題為， .本題選擇D選項(xiàng)已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位） ，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2、 【答案】 D【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得： ，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 .本題選擇D選項(xiàng).已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D.【答案】 A【解析】由題意得， ，則，即 .所以雙曲線的漸近線方程為，即 .故選 A.2020 年 8月 1日是中國人民解放軍建軍 90周年，中國人民銀行為此發(fā)行了以此為主題的 金銀紀(jì)念幣 . 如圖所示是一枚 8 克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑，面額100 元. 為了測算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)用 1 粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲 100 次，其中恰有 30 次落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)軍旗 的面積大約是（ ）A. B. C. D.【答案

3、】 B【解析】利用古典概型近似幾何概型可得，芝麻落在軍旗內(nèi)的概率為，設(shè)軍旗的面積為S,由題意可得：.本題選擇B選項(xiàng)下列函數(shù)中，與函數(shù)的定義域 . 單調(diào)性與奇偶性均一致的函數(shù)是（ ）A. B. C. D.【答案】 D【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，且在 R 上單調(diào)遞減，對于A,是奇函數(shù)，但不在 R上單調(diào)遞減；對于B,是奇函數(shù)，但在 R上單調(diào)遞增；對于 C，對于D,畫出函數(shù)圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，故選 D.如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的 寬及俯視圖的直徑可

4、知其側(cè)視圖為 A.故選 A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平 齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬 . 由三視圖畫 出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整 .設(shè)，則，的大小關(guān)系為（ ）A. B.C. D.【答案】 A【解析】由題意得， . 得，而 .所以，即 1.又.故.選 A.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則

5、輸出的值為（ ）A. B. C. D.【答案】 B 【解析】由框圖可知， . 故選 B.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，得到函數(shù)的圖 象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法錯(cuò)誤的是（ ）A. 最小正周期為 B. 圖象關(guān)于直線對稱C. 圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D. 初相為【答案】 C【解析】易求得，其最小正周期為，初相位，即A，D 正確，而.故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即B項(xiàng)正確，故C錯(cuò)誤選 C.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反 之，平行于拋物線的對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn). 已知拋物線的焦點(diǎn) 為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)

6、射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則直線的斜率為（A. B. C. D.【答案】 B【解析】令，代入可得，即 . 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，所以 .故選 B.點(diǎn)睛：拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線周上反射后 , 反射 光線平行于拋物線的對稱軸 .已知的內(nèi)角， ，的對邊分別是， ，且，若，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】由題意可得： ,且，據(jù)此可得：，即：，據(jù)此有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； 三角形滿足兩邊之和大于第三邊，則， 綜上可得：的取值范圍為 .本題選擇B選項(xiàng)點(diǎn)睛： 1在解三角形的問題中，三角形內(nèi)角和

7、定理起著重要作用，在解題時(shí)要注意根據(jù)這個(gè) 定理確定角的范圍及三角函數(shù)值的符號(hào)，防止出現(xiàn)增解或漏解2 正、余弦定理在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意靈活性，尤其是其變形應(yīng)用時(shí)可相互轉(zhuǎn)化如a2 = b2 + c22bccos A可以轉(zhuǎn)化為sin2 A = sin2 B+ sin 2 C 2sin Bsin Ceos A 利用這些變形可進(jìn)行 等式的化簡與證明.二. 填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分設(shè)，則等于 .【答案】 30【解析】，則，故答案為 .向如圖所示的邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)任投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入陰影部分的概率為答案】 【解析】由題意陰影部分的面積為，所以所求概率為設(shè)滿足約束條件，其中目標(biāo)函

8、數(shù)的最大值為12，則的最小值為 .【答案】【解析】試題分析：不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影區(qū)域所示，根據(jù)圖形可知，目 標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 .考點(diǎn)： 1、線性規(guī)劃； 2、均值定理 . 【方法點(diǎn)晴】線性規(guī)劃問題一般有截距型問題、斜率型問題、距離型問題、含參數(shù)問題、實(shí) 際應(yīng)用問題等幾類常見的考法 . 這里重點(diǎn)考查截距型問題，即轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，直線在軸的截距 越大則值越大，反之當(dāng)時(shí)，直線在軸的截距越大則值越小，掌握這一結(jié)論便可以求出目標(biāo)函 數(shù)最優(yōu)解 .中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形

9、的三棱錐稱之為鱉臑(bi e n d o).若三棱錐為鱉臑,且丄平面,又該鱉臑的外接球的表面積為，則該鱉臑的體積為 【答案】【解析】由題意得 , 所以由得 , 因此鱉臑的體積為三 . 解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明 . 證明過程或演算步驟在中，角所對的邊分別為，且 .( 1)若依次成等差數(shù)列，且公差為，求的值；( 2)若，試用表示的周長，并求周長的最大值.【答案】 (1)7 ；(2) 答案見解析 .【解析】試題分析： (1) 由等差數(shù)列定義可得 ，再根據(jù)余弦定理得方程，解方程可得的值；(2) 先根據(jù)正弦定理用表示表示邊，再利用兩角差正弦公式及配角公式將周長函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本 三角函數(shù)，最后根據(jù)范圍及

10、正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值 .試題解析： (1) 成等差數(shù)列，且公差為，又，恒等變形得 ，解得或，又 .(2) 在中，.的周長，又，當(dāng)即時(shí)，取得最大值“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門的健身方式， 小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微 信運(yùn)動(dòng)”，他隨機(jī)選取了其中的 40人（男.女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并 將數(shù)據(jù)整理如下：（1）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表， 并據(jù)此判斷能否有 95鳩上的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有 關(guān)？附:，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635（2）若小王

11、以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計(jì)其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布，現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人，其中每日走路不超過 5000步的有人，超過10000步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件做成 2 X 2列聯(lián)表，計(jì)算出卡方系數(shù)，再與參數(shù)進(jìn)行比對，做出判斷；（2）先求隨機(jī)變量的分布列，再運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解：（I）積極型懈怠型總計(jì)男14620女81220總計(jì)221840，故沒有 95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)；5000 步的概率為，超過(n)由題知，小王的微信好友中任選一人，其每日走路步數(shù)不超

12、過10000 步的概率為，且當(dāng)或時(shí)， ，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，即的分布列為：如圖，三棱柱中，四邊形是菱形， ， , 二面角為，(I)求證：平面平面 ；(n)求二面角的余弦值.【答案】 (1) 證明見解析； (2).【解析】試題分析： ( 1)由菱形可得，由棱柱和可得，由直線與平面垂直判定定理，可得,可證。( 2)過交點(diǎn)作 , 垂足為 , 連則為二面角的平面角。由二面角為，可求得各線段長，即可算出二面角的平面角。試題解析：( 1)證明：在三棱柱中，由得，則，又是菱形 , 得, 而,則,故平面平面 .( 2)由題意得為正三角形，取得中點(diǎn)為D,連CD,BD,則,又易得 , 則為二面角的平面角，因, =

13、, 所以 ,所以過交點(diǎn)作 , 垂足為 , 連 則為二面角的平面角， 又得所以 【點(diǎn)睛】 證明面面垂直，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；用普通方法求二 面角，講究“一作、二證、三求”，通過輔助線先把二面角的平面 面角，及計(jì)算所需要線段 作出來，再證明所作角是二面角的平面角，再由所給條件計(jì)算二面角的平面角。已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)， ，且的中點(diǎn)在軸上 .（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；（n）已知軌跡上的不同兩點(diǎn)，與的連線的斜率之和為2,求證：直線過定點(diǎn).【答案】（I） （）； （ n）證明見解析.【解析】試題分析：（I）設(shè)（），將題意與兩點(diǎn)間距離公式相結(jié)合可得結(jié)論；（n）設(shè)直線的方程為

14、,聯(lián)立直線與拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理可得,由兩點(diǎn)間斜率計(jì)算公式及斜率之和 為 2 可得,故可得的值,即可得結(jié)果 .試題解析：（I）設(shè)（），因?yàn)樵谳S上且中點(diǎn)在軸上，所以，由，得， 化簡得,所以點(diǎn)的軌跡的方程為（） （n）設(shè)直線的方程為，,由得，所以，同理，所以，化簡得，又因?yàn)?，所以，所以直線過定點(diǎn) . 點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋 達(dá)定理的合理運(yùn)用；在該題中利用直譯法求的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題是高考 的必考點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線的方程構(gòu)成方程組，結(jié)合韋達(dá)定理及整體代換思想代入，可得， 即的值.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) .

15、1）求的取值范圍 .2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明【答案】 (1) ； (2) 證明見解析 .【解析】試題分析： (1)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)不同根. 變量分離為，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，根據(jù)趨勢可得函數(shù)在上范圍為，在上范圍為，因此要 有兩解，需， ( 2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：等價(jià)于，而由零點(diǎn)可得. 代入化簡得，令，則，因此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為，由于，所以命題得證 . 試題解析：(1)依題意， 函數(shù)的定義域?yàn)椋?所以方程在有兩個(gè)不同根 . 即方程在有兩個(gè)不同根 . 轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)又，即時(shí)，時(shí)， 所以在上單調(diào)增，在

16、上單調(diào)減，從而 .又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是 1，且在時(shí)，在時(shí)， 所以由的圖象，要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即 ( 2)由( 1)可知分別是方程的兩個(gè)根，即， ， 設(shè)，作差得， ，即.原不等式等價(jià)于令，則， 設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 即不等式成立，故所證不等式成立 .點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略 (1) 構(gòu)造差函數(shù) . 根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確 定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式. (2)根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù). 一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多 元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù) .在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)) ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 .(I)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；(n)設(shè)點(diǎn).分別在.上運(yùn)動(dòng)，若的最小值為1求的值.【答案】(I) ； ( n)或.，代入即【解析】試題分析： ( 1)用余弦的差角公式把方程變形為，再兩邊同時(shí)乘以，將將， 可得曲線的直角坐標(biāo)方程。 (2)由( 1)得曲線是圓心為，半徑為 2的圓， 直線化普通方程 為，即圓心到直線的距離為 R+仁3,由點(diǎn)到直線的距離公式可求得 m.試題解析：(I)即，所以，將，代入得的直角坐標(biāo)方程為；(H)將化為