高考數學二輪復習專題02 函數的綜合應用（原卷版）

1、專題02函數的綜合應用 【考點預測】高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的綜合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等式的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導

2、數的幾何意義，特別是應用導數研究函數的單調性、最值等.【題型歸納目錄】題型一：函數與數列的綜合題型二：函數與不等式的綜合題型三：函數中的創(chuàng)新題【典例例題】題型一：函數與數列的綜合例1已知數列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是自然對數的底數，則（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 例2已知數列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則下列說法正確的是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SK

3、IPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 例3已知數列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則下列說法正確的是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 例4已知數列 SKIPIF 1 0 滿足： SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則下列關于數列 SKIPIF 1 0 的敘述正確的是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 例5已知等差數列 SKIPIF 1 0 的前n項和為 SKIPIF 1 0 ，滿足

4、 SKIPIF 1 0 ，則下列結論正確的是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 例6若等差數列 SKIPIF 1 0 的公差 SKIPIF 1 0 ，令函數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 ，則下列四個結論中： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；錯誤的序號是_.【方法技巧與總結】利用函數與數列知識的相互聯(lián)系、相似性質：（1）抽象函數的關系與數列遞推關系式類似.(2)函數單調性與數列單調性

5、的相似性.（3）數列與不等式的綜合可以利用數列的形式構造輔助函數，利用函數的性質證明不等式，因此解決數列問題可轉化為函數問題，用函數的知識或方法解決.題型二：函數與不等式的綜合例7已知函數 SKIPIF 1 0 是定義域為R的函數， SKIPIF 1 0 ，對任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，均有 SKIPIF 1 0 ，已知a，b SKIPIF 1 0 為關于x的方程 SKIPIF 1 0 的兩個解，則關于t的不等式 SKIPIF 1 0 的解集為（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1

6、 0 例8已知函數 SKIPIF 1 0 ，若關于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 有且僅有兩個整數解，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是_例9不等式 SKIPIF 1 0 的解集為：_例10德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法，在其年幼時，對 SKIPIF 1 0 的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數 SKIPIF 1 0 ，設數列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，若

7、存在 SKIPIF 1 0 使不等式 SKIPIF 1 0 成立，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是_.【方法技巧與總結】不等式問題轉化為函數問題是靜態(tài)轉化為動態(tài)，常量轉化為變量，這體現了函數思想，并能用函數的圖像及性質解答.題型三：函數中的創(chuàng)新題例11定義兩個函數的關系：函數 SKIPIF 1 0 的定義域分別為 SKIPIF 1 0 ，若對任意的 SKIPIF 1 0 ，總存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，我們就稱函數 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的“子函數”已知函數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

8、 （1）求函數 SKIPIF 1 0 的單調區(qū)間；（2）若 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的一個“子函數”，求 SKIPIF 1 0 的最小值例12若存在常數 SKIPIF 1 0 ，使得對定義域 SKIPIF 1 0 內的任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，則稱函數 SKIPIF 1 0 在其定義域 SKIPIF 1 0 上是“ SKIPIF 1 0 利普希茲條件函數”（1）若函數 SKIPIF 1 0 是“ SKIPIF 1 0 利普希茲條件函數”，求常數 SKIPIF 1 0 的最小值；（2）判斷函數 SKIPIF 1 0 是否是“ SKIP

9、IF 1 0 利普希茲條件函數”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（3）若 SKIPIF 1 0 是周期為2的“ SKIPIF 1 0 利普希茲條件函數”，證明：對任意的實數 SKIPIF 1 0 ,都有 SKIPIF 1 0 例13對定義域 SKIPIF 1 0 的函數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，規(guī)定：函數 SKIPIF 1 0 （1）若函數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，寫出函數 SKIPIF 1 0 的解析式；（2）求問題（1）中函數 SKIPIF 1 0 的值域；（3）若 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是常數，且 SK

10、IPIF 1 0 ，請設計一個定義域為R的函數 SKIPIF 1 0 ，及一個 SKIPIF 1 0 的值，使得 SKIPIF 1 0 ，并予以證明.例14對于函數 SKIPIF 1 0 ，若存在正常數 SKIPIF 1 0 ，使得對任意的 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，我們稱函數 SKIPIF 1 0 為“ SKIPIF 1 0 同比不減函數”（1）求證：對任意正常數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都不是“ SKIPIF 1 0 同比不減函數”；（2）若函數 SKIPIF 1 0 是“ SKIPIF 1 0 同比不減函數”，求 SKIPIF 1

11、0 的取值范圍；（3）是否存在正常數 SKIPIF 1 0 ，使得函數 SKIPIF 1 0 為“ SKIPIF 1 0 同比不減函數”，若存在，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍；若不存在，請說明理由【方法技巧與總結】緊扣題目中所給的信息和對已知條件的解讀理解，將其轉化為已有的認知結構，然后利用函數性質解題.【過關測試】一、單選題1已知函數 SKIPIF 1 0 ，若對任意的實數a，b，總存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 成立，則實數m的取值范圍是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2若定義在R

12、上的函數 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則其圖象關于點 SKIPIF 1 0 成中心對稱.已知：函數 SKIPIF 1 0 ，則函數 SKIPIF 1 0 圖象的中心對稱點是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3已知函數 SKIPIF 1 0 ，若函數 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的圖象相交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標分別記為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKI

13、PIF 1 0 D SKIPIF 1 0 4已知 SKIPIF 1 0 是定義在 SKIPIF 1 0 上的奇函數，對任意兩個不相等的正數 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF 1 0 ，則（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 5關于函數 SKIPIF 1 0 有下述四個結論：f(x)是偶函數f(x)在區(qū)間（ SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ）單調遞增f(x)在 SKIPIF 1 0 有4個零點f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是ABCD6已知函數 SKIPIF 1 0

14、 的圖象上存在點P，函數g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 7已知 SKIPIF 1 0 ，且函數 SKIPIF 1 0 .若對任意的 SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 恒成立，則實數 SKIPIF 1 0 的取值范圍為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 8設函數 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，若存在唯一的整數 SKIPIF 1 0 ，使

15、得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 二、多選題9對于定義域為 SKIPIF 1 0 的函數 SKIPIF 1 0 ，若存在區(qū)間 SKIPIF 1 0 ，同時滿足下列條件： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是單調的；當定義域是 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的值域也是 SKIPIF 1 0 ，則稱 SKIPIF 1 0 為該函數的“和諧區(qū)間”.下列函數存在“和諧區(qū)間”的是（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1

16、0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 10設 SKIPIF 1 0 ，計算機程序中的命令函數 SKIPIF 1 0 表示不超過 SKIPIF 1 0 的最大整數，例如： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .若函數 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ），則下列說法正確的是（）A SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上為單調函數B SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上不存在最大值C SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上有5個零點D若 SKIPIF 1 0 的圖象上至少存在4

17、對關于坐標原點對稱的點，則 SKIPIF 1 0 .11數學的對稱美在中國傳統(tǒng)文化中多有體現，譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化對稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠將圓的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優(yōu)美函數”，下列說法正確的是（）A對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數”有無數個B SKIPIF 1 0 可以是某個圓的“優(yōu)美函數”C正弦函數 SKIPIF 1 0 可以同時是無數個圓的“優(yōu)美函數”D函數 SKIPIF 1 0 是“優(yōu)美函數”的充要條件為函數 SKIPIF 1 0 的圖象是中心對稱圖形12設 SKIPIF 1 0 表示不超過 SKIPIF 1 0 的最大

18、整數，給出以下命題，其中正確的是（）A若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C若 SKIPIF 1 0 ，則可由 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 的范圍是 SKIPIF 1 0 D若 SKIPIF 1 0 ，則函數 SKIPIF 1 0 的值域為 SKIPIF 1 0 13已知函數 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _， SKIPIF 1 0 _.三、填空題14已知函數 SKIPIF 1 0 ，給出下列命題：存在實數 SKIPIF 1 0 ，使得函數 SKIPIF 1 0 為奇函數；對任意實數 SKIPIF 1 0 ，均存在實數 SKIPIF 1 0 ，使得函數 SKIPIF 1 0 關于 SKIPIF 1 0 對稱；若對任意非零實數 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都成立，則實數 SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 ；存在實數 SKIPIF 1 0 ，使得函數 SKIPIF 1 0 對任意非零實數 SKIPIF 1 0 均存在6