線(xiàn)性代數(shù)是最有趣最有價(jià)值的73課件

1、 線(xiàn)性代數(shù)是最有趣最有價(jià)值的 大學(xué)數(shù)學(xué)課程 -David C. Lay廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)，物理學(xué)，數(shù)學(xué)，生物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，力學(xué)，信號(hào)與信號(hào)處理，系統(tǒng)控制，通信，航空等學(xué)科和領(lǐng)域。應(yīng)用于理工類(lèi)的后繼課程，如電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理、機(jī)械振動(dòng)、機(jī)器人學(xué)等課程。 線(xiàn)性方程組的應(yīng)用劍橋減肥食譜問(wèn)題 一種在20世紀(jì)80年代很流行的食譜，稱(chēng)為劍橋食譜，是經(jīng)過(guò)多年研究編制出來(lái)的。這是由Alan H. Howard博士領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)8年對(duì)過(guò)度肥胖病人的臨床研究，在劍橋大學(xué)完成的。這種低熱量的粉狀食品精確地平衡了碳水化合物

2、、高質(zhì)量的蛋白質(zhì)和脂肪、配合維生素、礦物質(zhì)、微量元素和電解質(zhì)。為得到所希望的數(shù)量和比例的營(yíng)養(yǎng)，Howard博士在食譜中加入了多種食品。每種食品供應(yīng)了多種所需要的成分，然而沒(méi)有按正確的比例。例如， 脫脂牛奶是蛋白質(zhì)的主要來(lái)源但包含過(guò)多的鈣，因此大豆粉用來(lái)作為蛋白質(zhì)的來(lái)源，它包含較少量的鈣。然而大豆粉包含過(guò)多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪較少，然而乳清又含有過(guò)多的碳水化合物 在這里我們把問(wèn)題簡(jiǎn)化，看看這個(gè)問(wèn)題小規(guī)模的情形。表1是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量。3 1.1 7 0 脂肪 45 74 34 52 碳水化合物 33 13 51 36 蛋白質(zhì) 乳清 大豆

3、面粉 脫脂牛奶 減肥所要求的每日營(yíng)養(yǎng)量每100克食物所含營(yíng)養(yǎng)（g） 營(yíng) 養(yǎng) 表 1 如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少才能全面準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這個(gè)營(yíng)養(yǎng)要求？ 以100克為一個(gè)單位，為了保證減肥所要求的每日營(yíng)養(yǎng)量，設(shè)每日需食用的脫脂牛奶x1個(gè)單位，大豆面粉x2個(gè)單位，乳清x3個(gè)單位，則由所給條件得 解上方程組得，解為即為了保證減肥所要求的每日營(yíng)養(yǎng)量，每日需食用脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。 MATLAB代碼如下：Untitled2.mclear;A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1;b=33;45;3; U=rref(A,b)

4、網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題 當(dāng)科學(xué)家、工程師或者經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一些數(shù)量在網(wǎng)絡(luò)中的流動(dòng)時(shí)自然推導(dǎo)出線(xiàn)性方程組。例如，城市規(guī)劃和交通工程人員監(jiān)控一個(gè)網(wǎng)絡(luò)狀的市區(qū)道路的交通流量模式；電氣工程師計(jì)算流經(jīng)電路的電流；以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析通過(guò)分銷(xiāo)商和零售商的網(wǎng)絡(luò)從制造商到顧客的產(chǎn)品銷(xiāo)售。許多網(wǎng)絡(luò)中的方程組涉及成百甚至上千的變量和方程。 一個(gè)網(wǎng)絡(luò)包含一組稱(chēng)為接合點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集，并由稱(chēng)為分支的線(xiàn)或弧連接部分或全部的節(jié)點(diǎn)。流的方向在每個(gè)分支上有標(biāo)示，流量（速度）也有顯示或用變量標(biāo)記。 網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)是全部流入網(wǎng)絡(luò)的總流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的總流量，且全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量。于是，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量可以用一個(gè)方

5、程來(lái)描述。網(wǎng)絡(luò)分析的問(wèn)題就是確定當(dāng)局部信息（如網(wǎng)絡(luò)的輸入）已知時(shí)，求每一分支的流量。電路問(wèn)題 在工程技術(shù)中所遇到的電路，大多數(shù)是很復(fù)雜的，這些電路是由電器元件按照一定方式互相連接而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。在電路中，含有元件的導(dǎo)線(xiàn)稱(chēng)為支路，而三條或三條以上的支路的會(huì)合點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。電路網(wǎng)絡(luò)分析，粗略地說(shuō)，就是求出電路網(wǎng)絡(luò)種各條支路上的電流和電壓。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算，通常采用基爾霍夫（Kirchhoff）定律來(lái)解決。以圖3-2所示的電路網(wǎng)絡(luò)部分為例來(lái)加以說(shuō)明。 設(shè)各節(jié)點(diǎn)的電流如圖所示，則由基爾霍夫第一定律（簡(jiǎn)記為KCL）（即電路中任一節(jié)點(diǎn)處各支路電流之間的關(guān)系：在任一節(jié)點(diǎn)處，支路電流的代數(shù)和在任一瞬時(shí)恒為零（通

6、常把流入節(jié)點(diǎn)的電流取為負(fù)的，流出節(jié)點(diǎn)的電流取為正的）。該定律也稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)電流定律），有 對(duì)于節(jié)點(diǎn)A： 對(duì)于節(jié)點(diǎn)B：對(duì)于節(jié)點(diǎn)C：對(duì)于節(jié)點(diǎn)D：于是求各個(gè)支路的電流就歸結(jié)為下面齊次線(xiàn)性方程組的求解 相應(yīng)MATLAB代碼為：dianliu.mclearA=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0;b=0;0;0;0;R,s=rref(A,b);r=length(s);disp(對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系為：)x=null(A,r)其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均為正數(shù)，所以通解中的3個(gè)任意常數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足以下條件： 如果則：解之，得

7、其解為 交通流問(wèn)題 圖3-3給出了某城市部分單行街道在一個(gè)下午早些時(shí)候的交通流量（每小時(shí)車(chē)輛數(shù)目）。計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的車(chē)流量。 由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，有對(duì)于節(jié)點(diǎn)A：對(duì)于節(jié)點(diǎn)B：對(duì)于節(jié)點(diǎn)C：對(duì)于節(jié)點(diǎn)D：對(duì)于節(jié)點(diǎn)E：于是，所給問(wèn)題可以歸結(jié)為如下線(xiàn)性方程組的求解。 求解該問(wèn)題的相應(yīng)MATLAB代碼：wangluo.mclearA=-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1; 1,0,-1,0,0,0;b=50;0;-60;50;-40;R,s=rref(A,b);m,n=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:

8、)=R(1:r,end);disp(非齊次線(xiàn)性方程組的特解為：)x0disp(對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系為：)x=null(A,r) 解這個(gè)方程組，得 其中：馬爾科夫鏈 馬爾科夫鏈在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來(lái)做數(shù)學(xué)模型。在每種情形中，該模型習(xí)慣上用來(lái)描述用同一種方法進(jìn)行多次的實(shí)驗(yàn)或測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中每次測(cè)試的結(jié)果屬于幾個(gè)指定的可能結(jié)果之一，每次測(cè)試結(jié)果依賴(lài)于最近的前一次測(cè)試。 例如，若每年要統(tǒng)計(jì)一個(gè)城市及其郊區(qū)的人口，像 這樣的向量可以顯示60%的人口住在這個(gè)城市中，40%的人口住在郊區(qū)。 中的分量加起來(lái)等于1，是說(shuō)明這個(gè)地區(qū)的總?cè)丝凇?當(dāng)向量在 中的一個(gè)馬爾科夫鏈

9、描述一個(gè)系統(tǒng)或?qū)嶒?yàn)時(shí)， 中的數(shù)值分別列出系統(tǒng)在n個(gè)可能狀態(tài)中的概率，或?qū)嶒?yàn)結(jié)果是n個(gè)可能結(jié)果之一的概率。 稱(chēng)為狀態(tài)向量。馬爾科夫鏈可用一階差分方程來(lái)刻畫(huà)： 定義1 一個(gè)具有非負(fù)分量且各分量的數(shù)值相加等于1的向量稱(chēng)為概率向量；各列向量均為概率向量的方陣稱(chēng)為隨機(jī)矩陣；一個(gè)概率向量序列 和一個(gè)隨機(jī)矩陣P，使得 稱(chēng)為馬爾科夫鏈。下面我們先看一個(gè)數(shù)值的例子 例 令 考慮系統(tǒng)：它的狀態(tài)由馬爾科夫鏈 描述，隨著時(shí)間的流逝，這個(gè)系統(tǒng)將有什么結(jié)果？解 后面向量中的數(shù)值保留4位或5位有效數(shù)字。繼續(xù)可得這些向量似乎是逼近 的。注意到下面若系統(tǒng)處于狀態(tài)q，則從上一次測(cè)量到下一次測(cè)量，系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生變化。 定義2 若P是

10、隨機(jī)矩陣， 則滿(mǎn)足 的概率向量q稱(chēng)為隨機(jī)矩陣P的穩(wěn)態(tài)向量。若隨機(jī)矩陣P的冪 僅包含正的數(shù)值，稱(chēng)P是一個(gè)正則隨機(jī)矩陣。 在上例中，向量q是隨機(jī)矩陣P的穩(wěn)態(tài)向量。又 關(guān)于馬爾科夫鏈我們有下面的定理 定理 若P是一個(gè) 正則隨機(jī)矩陣，則P具有惟一的穩(wěn)態(tài)向量q。進(jìn)一步，若x0是任一個(gè)起始狀態(tài)，且 ，則當(dāng) 時(shí)，馬爾科夫鏈 收斂到q。 這個(gè)定理的證明在有關(guān)馬爾科夫鏈的教科書(shū)可找到，這里不做證明。這個(gè)定理的奇妙之處在于初始狀 由于P2中每個(gè)數(shù)是嚴(yán)格正的，故P是一個(gè)正則隨機(jī)矩陣。狀態(tài)對(duì)馬爾科夫鏈的長(zhǎng)期行為沒(méi)有影響。下面舉一例說(shuō)明求解隨機(jī)矩陣的穩(wěn)態(tài)向量的一種方法。 例 設(shè) ，求P的穩(wěn)態(tài)向量。 解 由定義知，穩(wěn)態(tài)向

11、量是方程的解，所以求穩(wěn)態(tài)向量就是要解這個(gè)方程。 即最后，在 的全體解的集合中求一個(gè)概率向量，這是簡(jiǎn)單的，在通解中，令 ，得 則q即為所求。容易求得其通解為 對(duì)應(yīng)的MATLAB代碼為：weitai.mP=0.6,0.3;0.4,0.7;E=1,0;0,1;R,s=rref(P-E);r=length(s);x=null(P-E,r)聯(lián)合收入問(wèn)題 已知三家公司X,Y,Z具有圖2-1所示的股份關(guān)系，即X公司掌握Z(yǔ)公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另兩家公司控制等等。 現(xiàn)設(shè)X，Y和Z公司各自的營(yíng)業(yè)凈收入分別是12萬(wàn)元、10萬(wàn)元、8萬(wàn)元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入

12、加上在其他公司的股份按比例的提成收入、試確定各公司的聯(lián)合收入及實(shí)際收入。 解 依照?qǐng)D2-1所示各個(gè)公司的股份比例可知，若設(shè)X、Y、Z三公司的聯(lián)合收入分別為x,y,z,則其實(shí)際收入分別為0.7x，0.2y，0.3z。故而現(xiàn)在應(yīng)先求出各個(gè)公司的聯(lián)合收入。 因?yàn)槁?lián)合收入由兩部分組成，即營(yíng)業(yè)凈收入及從其他公司的提成收入，故對(duì)每個(gè)公司可列出一個(gè)方程，對(duì)X公司為x=120000+0.7y+0.5z對(duì)Y公司為y=100000+0.2z對(duì)Z公司為z=80000+0.3x+0.1y故得線(xiàn)性方程組因系數(shù)行列式故此方程組有唯一解。MATLAB代碼為：syms x y zeq1=sym(x-0.7*y-0.5*z=1

13、20000);eq2=sym(y-0.2*z=100000);eq3=sym(-0.3*x-0.1*y+z=80000);x y z=solve(eq1,eq2,eq3)Y公司的聯(lián)合收入為y=137309.64(元)實(shí)際收入為0.2*137309.64=27461.93(元)Z公司的聯(lián)合收入為z=186548.22(元)實(shí)際收入為0.3*186548.22=55964.47(元)于是X公司的聯(lián)合收入為X=309390.86(元)實(shí)際收入為0.7*309390.86=216573.60（元） 現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計(jì)例 把飛行器的外形分成若干大的部件，每個(gè)部件沿著其表面又用三維的細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體

14、，這些立方體包括了機(jī)身表面以及此表面內(nèi)外的空氣。對(duì)每個(gè)立方體列寫(xiě)出空氣動(dòng)力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡(jiǎn)化為線(xiàn)性方程。對(duì)一個(gè)飛行器，小立方體的數(shù)目可以多達(dá)400,000個(gè)，而要解的聯(lián)立方程可能多達(dá)2,000,000個(gè)。 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性的應(yīng)用 藥方配制問(wèn)題 通過(guò)中成藥藥方配制問(wèn)題，理解向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組向量的線(xiàn)性表示以及向量空間等線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)。 問(wèn)題：某中藥廠(chǎng)用9種中草藥A-I，根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，各用量成分見(jiàn)表1（單位：克）。 206201228I103510101656H25392251749G50553553552

15、5F633525210E35471552597D014501135C5560352512012B10038201214210A7號(hào)成藥6號(hào)成藥5號(hào)成藥4號(hào)成藥3號(hào)成藥2號(hào)成藥1號(hào)成藥中藥 表 1 試解答： （1）某醫(yī)院要購(gòu)買(mǎi)這7種特效藥，但藥廠(chǎng)的第3 號(hào)藥和第6號(hào)藥已經(jīng)賣(mài)完，請(qǐng)問(wèn)能否用其他特效藥配制出這兩種脫銷(xiāo)的藥品。 （2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成分，請(qǐng)問(wèn)能否配制？如何配制？305214I216841H3811871G8015550F76053E5110244D82714C6714162B8816240A3號(hào)新藥2號(hào)新藥1號(hào)新藥 中藥 表 2解

16、：（1）把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量:u1, u2, u3, u4, u5 ,u6, u7 分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量 組的線(xiàn)性相關(guān)性。 若向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則無(wú)法配制脫銷(xiāo)的特效藥；若向量組線(xiàn)性相關(guān)，且能將 u3, u6 用其余向量線(xiàn)性表示，則可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品問(wèn)題（1）的分析與求解Matlab代碼 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38;60;14;47;33;55;3

17、9;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U) 計(jì)算結(jié)果為從最簡(jiǎn)行階梯型U0中可以看出r=1 2 4 5 7，R(U)=5,向量組線(xiàn)性相關(guān)，一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為 故可以配制3號(hào)和6號(hào)藥。問(wèn)題（2）的分析與求解 三種新藥用v1，v2，v3表示，問(wèn)題化為v1，v2，v3能否由u1-u7線(xiàn)性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。令 U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3 U0,r=rref(U)計(jì)算結(jié)果為v1 v2 v3由U0的最后三列可以看出結(jié)果一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為：u1, u2,

18、 u4, u5, u7,v3, 可以看出 v1=u1+3u2+2u4， v2=3u1+4u2+2u4+u7由于v3在最大無(wú)關(guān)組,不能被線(xiàn)性表示，所以無(wú)法配制。 特征值、特征向量的應(yīng)用 假設(shè)A可對(duì)角化，特征向量 ， ， 特征值 的基，故任一初始向量 x0 可惟一表示為 (1)x0的這種特征向量分解確定了序列 所發(fā)生的情況。因?yàn)?是特征向量，所以 一般地有(2)下面的例子說(shuō)明當(dāng) 時(shí)，(2)會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。 生態(tài)系統(tǒng) 用 表示在時(shí)間k（單位：月）貓頭鷹和老鼠的數(shù)量， 是在研究區(qū)域貓頭鷹的數(shù)量， 是老鼠的數(shù)量（單位是千只）。設(shè)它們滿(mǎn)足下面的方程 （3）其中p是被指定的正參數(shù)。第1個(gè)方程中的 表示，如果

19、沒(méi)有老鼠為食物，每月僅有40%的貓頭鷹存活下來(lái)，第2個(gè)方程的 表明，如果沒(méi)有貓頭鷹捕食老鼠，則老鼠的數(shù)量每月增長(zhǎng)20%。若有足夠多的老鼠， 表示貓頭鷹增長(zhǎng)的數(shù)量，而負(fù) 解 方程（ 3）的差分方程形式為 ，其中 當(dāng)p=0.325時(shí)，矩陣的特征值為 和 ，對(duì)應(yīng)的特征向量是 初始向量x0可表示為 ，那么對(duì)k0，有項(xiàng) 表示由于貓頭鷹的捕食所引起的老鼠的死亡數(shù)量（事實(shí)上，一個(gè)貓頭鷹每月平均吃掉1000p只老鼠）。當(dāng)p=0.325時(shí)，預(yù)測(cè)該系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)。當(dāng)k時(shí)， 很快趨于零。假設(shè)c10，那么對(duì)所有足夠大的k，有 (4)隨著k的增大，上式的近似程度會(huì)更好，故對(duì)足夠大的 k(5)近似式（5）表明最終 的2個(gè)

20、分量（貓頭鷹和老鼠的數(shù)量）每月以大約1.05的倍數(shù)增長(zhǎng)，即月增長(zhǎng)率為5%。由（4）， 就近似等于（6,13）的倍數(shù)，因此， 的2分量之比率也近似于6與13的比率, 該例說(shuō)明了有關(guān)生態(tài)系統(tǒng) 的兩個(gè)基本事實(shí)，若A是n階矩陣，它的特征值滿(mǎn)足 和 ， 是 對(duì)應(yīng)的特征向量，若x0由(1)式給出且 ， 那么對(duì)足夠大的k， (6)和(7)式（6）和（7）的近似精度可根據(jù)需要通過(guò)取足夠大的k來(lái)得到。由（7）式知， 每時(shí)段最終以近似 的倍數(shù)增長(zhǎng)，因此， 確定了系統(tǒng)的最終增長(zhǎng)率。同樣由（6）式知，對(duì)足夠大的k， 的2個(gè)分量 之比近似等于p1 對(duì)應(yīng)分量之比。也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)每6只貓頭鷹，大約有13000只老鼠。二次型

21、的應(yīng)用 工程師、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家常常要尋找在一些特定集合內(nèi)的x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值。具有代表性的是，這類(lèi)問(wèn)題可化為x是在一組單位向量中的變量的優(yōu)化問(wèn)題。下面我們將看到，這類(lèi)條件優(yōu)化問(wèn)題有一個(gè)有趣且精彩的解。我們還是從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始我們的討論。 例 在下一年度，某縣政府計(jì)劃用一筆資金修x百公里的公路，修整y百平方公里的公園，政府部門(mén)必須確定在兩個(gè)項(xiàng)目上如何分配它的資金，如果可能的話(huà)，可以同時(shí)開(kāi)始兩個(gè)項(xiàng)目，而不是僅開(kāi)始一個(gè)項(xiàng)目。假設(shè)x和y必須滿(mǎn)足下面限制條件見(jiàn)圖5-12。每個(gè)陰影可行集合的點(diǎn)(x,y)表示一個(gè)可能的年度工作計(jì)劃，求在限制曲線(xiàn) 上的點(diǎn)，使資金利用達(dá)到最大

22、。 為了制定工作計(jì)劃，縣政府需要考慮居民的意見(jiàn)，為度量居民分配各類(lèi)工作計(jì)劃(x,y)的值或效用，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常利用下面的函數(shù) 稱(chēng)之為效用函數(shù)，曲線(xiàn) （c為常數(shù)）稱(chēng)之為無(wú)差異曲線(xiàn)，因?yàn)樵谠撉€(xiàn)上的任意點(diǎn)的效用值相等?，F(xiàn)制定一個(gè)工作計(jì)劃，使得效用函數(shù)達(dá)到最大。 解 約束條件的方程 并沒(méi)有描述一個(gè)單位向量集，可進(jìn)行變量代換修正這個(gè)問(wèn)題。把約束條件的方程變形： 令 ，則約束條件變成 ，效用函數(shù)變成令 ，則原問(wèn)題變?yōu)椋谙拗茥l件 下 的最大值。 二次型 的矩陣為 A的特征值為10，對(duì)應(yīng)特征值10的單位特征向量為 。所以 的最大值為10，且在 處取得。 于是，最優(yōu)的工作計(jì)劃是修建 百公里的公路，修整 百平方公

23、里的公園。最優(yōu)工作計(jì)劃是限制曲線(xiàn)和無(wú)差異曲線(xiàn)的切點(diǎn)，具有更大效用的點(diǎn)(x,y)位于和限制曲線(xiàn)不相交的無(wú)差異曲線(xiàn)上，見(jiàn)圖5-13。 可逆矩陣的應(yīng)用密碼問(wèn)題矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆矩陣的方法。先在26個(gè)英文字母與數(shù)字間建立起一一對(duì)應(yīng)，例如可以是 若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯。在一個(gè)較長(zhǎng)的信息編碼中，人們會(huì)根據(jù)那個(gè)出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值而猜出它代表的是哪個(gè)字母，比如上述編碼中出現(xiàn)最多次的數(shù)值時(shí)5，人們自然會(huì)想到它代表的是字母E，因?yàn)?/p>

24、統(tǒng)計(jì)規(guī)律告訴我們，字母E是英文單詞中出現(xiàn)頻率最高的。 我們可以利用矩陣乘法來(lái)對(duì)“明文”SEND MONEY進(jìn)行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加非法用戶(hù)破譯的難度，而讓合法用戶(hù)輕松解密。如果一個(gè)矩陣A的元素均為整數(shù)，而且其行列式|A|=1，那么由 即知，A-1的元素均為整數(shù)。我們可以利用這樣的矩陣A來(lái)對(duì)明文加密，使加密之后的密文很難破譯?，F(xiàn)在取明文“SEND MONEY”對(duì)應(yīng)的9個(gè)數(shù)值3列被排成以下矩陣矩陣乘積對(duì)應(yīng)著將發(fā)出去的密文編碼： 43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用戶(hù)用A-1去左乘上述矩陣即可解密得到明文。為了構(gòu)造“密鑰”矩陣A，我們可以從單位陣I開(kāi)始

25、，有限次地使用第三類(lèi)初等行變換，而且只用某行的整數(shù)倍加到另一行，當(dāng)然，第一類(lèi)初等行變換也能使用。這樣得到的矩陣A，其元素均為整數(shù)，而且由于|A|=1可知， A-1的元素必然均為整數(shù)。矩陣對(duì)角化的應(yīng)用行業(yè)就業(yè)人數(shù)預(yù)測(cè) 設(shè)某中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明： （1）在這30萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有15萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，9萬(wàn)人從事工業(yè)，6萬(wàn)人經(jīng)商。 （2）在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商。 （3）在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商。 （4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工。 現(xiàn)欲預(yù)測(cè)

26、一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過(guò)多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢(shì)。 解 若用3維向量 表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知 而欲求， 并考察在 時(shí) 的發(fā)展趨勢(shì)。依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為 即進(jìn)而推得即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由An決定。事實(shí)上，運(yùn)用實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交對(duì)角化方法，可以輕松求得An。 人口遷徙問(wèn)題 設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ摹Ｈ丝诘姆植紕t因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開(kāi)始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問(wèn)10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、

27、50年后又如何？ 分析與求解這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示，設(shè)市區(qū)和郊區(qū)初始人口數(shù)量分別為：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后，市區(qū)人口為 xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊區(qū)人口 xs1 0.06xc0 (10.02)xs0用矩陣乘法來(lái)描述，可寫(xiě)成： 建立模型并用MATLAB求解從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可寫(xiě)為 輸入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0得到： 人口分布趨勢(shì)分析無(wú)限增加時(shí)間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一

28、組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么這個(gè)過(guò)程趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值。先求A的特征值和特征向量，得到將A對(duì)角化 人口分布的趨勢(shì) 式中的第二項(xiàng)會(huì)隨著k的增大趨向于零。如果只取小數(shù)點(diǎn)后兩位，則只要k27，這第二項(xiàng)就可以忽略不計(jì)，從而得到 。 THANKSbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8

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