進(jìn)位制的概念四則運(yùn)算法則及整數(shù)在不同進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化利用恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)

1、片第25講。 數(shù)論綜合(H )吶容概述】進(jìn)位制的概念、四則運(yùn)算法則及整數(shù)在不同進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，利用恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)位制解數(shù)論問(wèn)題.取整符號(hào)口與取小數(shù)部分符號(hào)的定義與基本性質(zhì)，包含這兩種符號(hào)的算式與方程的求解.兩次與分式不定方程，不便直接轉(zhuǎn)化為不定方程的數(shù)論問(wèn)題.各種數(shù)論證明題.【典型問(wèn)題】勵(lì)您級(jí)數(shù)：* r . 1 TniM-aJSC. .北京市第四屆迎春杯教學(xué)競(jìng)賽決賽第二題最口.用a, b, c, d, e分別代表五進(jìn)制中五個(gè)互不相同的數(shù)字，如果 (ade) 5, (adc) 5, (aad) 5是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么 (cde) 5所表示的整數(shù)寫(xiě)成十進(jìn)制的表示是多少？【分析與解】注意(a

2、dc) 5+(1) 5=(aab) 5,第二位改變了，也就是說(shuō)求和過(guò)程個(gè)位有進(jìn)位，則 b=0,而c=(10) 5 (1) 5=(4) 5,則 0=4.而(ade) 5 +(1) 5=(adc) 5,所以 e+1=c,則 e=3.又d+仁口，所以d=1, a=2.那么，(cde) 5 為(413) 5=4X 5 2+1X5+3=108.即(cde) 5所表示的整數(shù)寫(xiě)成十進(jìn)制的表示是108.級(jí)數(shù)：*.算式1534X 25=43214是幾進(jìn)位制數(shù)的乘法 ？【分析與解】注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為4X5=20,但是現(xiàn)在為 4,說(shuō)明進(jìn)走204=16,所以進(jìn)位制為16的約數(shù)：16、8、

3、4、2.因?yàn)樵街杏袛?shù)字 5,所以不可能為 4,2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有 1534X 25= 38350n-m,所 以只有4種可能滿足題意，一一考察，如下表：凡+ fft的值3333HH303101凡j m的值131133% 的值+ (時(shí)-m) 2166755715767m 的值 rt - (n - m)J 66655414634川的值不可能為 四位數(shù)不可能為 四位數(shù)不可能為 四位數(shù)44sg療的值1 _1156 TOC o 1-5 h z 如上表，只有1156, 4489滿足，即原來(lái)這個(gè)四位數(shù)為1156.級(jí)數(shù)：*北京市第四屆“迎春杯”教學(xué)競(jìng)賽決賽第二題第4翹.甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小

4、1988,那么滿足上述條件的自數(shù)有幾組【分析與解】設(shè)甲數(shù)為a,乙數(shù)為b,則a2 - ab=1988,有a(a -b)=1988.將1988分解質(zhì)因數(shù)1988=22 X7X71,其約數(shù)有(2+1) X (1 + 1) X (1+1) =12個(gè)，但是要求 ab,所以1只有約數(shù)個(gè)數(shù)的 一組解，即6組解.2滿足上述條件的自然數(shù)有 6組.嫡級(jí)數(shù)：*,1 ,“ 一,、一 一1，一，一.將1表示成兩個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，請(qǐng)給出所有的答案.6111O【分析與解】 設(shè)有 十 =,化簡(jiǎn)有（a - 6）（b -6）=6 2 =2X2X3X3,a b 6口一 612346b-636181296a7891012b4224

5、181512J J a + b1 1 742824l 1sL =9181 1io+l5 11 I+ 12 12111評(píng)汪：形如一十一=-（t為己知常數(shù)）的解法及解的個(gè)數(shù).AB t111-_,一、-，2+=- （t為已知常數(shù)）類(lèi)問(wèn)題，可以通過(guò)計(jì)算，轉(zhuǎn)化為 （A t）X（Bt尸t ;A Btt我們t2將分解質(zhì)因數(shù)后，再令（A t）其中一個(gè)為t2的一個(gè)約數(shù)（A-t）=a ,那么A=a+t,則B= t （ta為已知常數(shù)），A = a t所以，一般公式為t2（a為t的一個(gè)約數(shù)）；B = 一 +tl. a、一 oX+1 設(shè)t2的約數(shù)有x個(gè)，則A、B有 組（倜換順序算一種）.2注意有一組解A、B相等，就是1

6、A =21B =2t?給出全部可能的答案.9.將95寫(xiě)成若干個(gè)（至少兩個(gè)）連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種不同的寫(xiě)法【分析與解】95=5X 19,其大于1的奇約數(shù)有5, 19, 95這3個(gè).若自然數(shù) N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法.為什么呢？設(shè)這個(gè)自然數(shù)可以表示為k個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的形式，如果k是奇數(shù)，那么一定存在中間數(shù)，即為P,則這k個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為 kp,即為一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)自然數(shù)的乘積形式；如果k是偶數(shù)，那么存在兩個(gè)中間的數(shù)，即為q , q+1 ,則這k個(gè)連續(xù)自然數(shù)的為q + （ q+ 1k =一 k2寸1） ,2q+1為奇數(shù)，k為偶數(shù)，所以K為整數(shù)，

7、也是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)自然數(shù)的乘積222形式.并且一種表達(dá)方式對(duì)應(yīng)一個(gè)大于1的奇約數(shù).所以，將95寫(xiě)成若干(至少兩個(gè))連續(xù)自然數(shù)的和有 3種方法.第一種情況：如果有奇數(shù)個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相加:19,有 17+18+19+20+21;當(dāng)k=5時(shí)，p=19,即5個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間數(shù)為當(dāng)k=19時(shí)，P=5,即19個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間數(shù)為 5,顯然不存在;當(dāng)k=95時(shí)，P=l,即95個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間數(shù)為 1,顯然不存在; 第二種情況：如果有偶數(shù)個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相加：,k當(dāng)_=1時(shí)，2q+1=95,即2個(gè)自然數(shù)相加，中間兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是47,有47+48;2.k當(dāng)=5時(shí)，2q+1=19,即10個(gè)自然數(shù)相加

8、，中間兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是9,有5+6+7+8+9+10+11+12+13+14;2.k當(dāng)一=19時(shí)，2q+1=5,即38個(gè)自然數(shù)相加，中間數(shù)是2,顯然不存在；2,k當(dāng)一=95時(shí)，2q+1=1,即190個(gè)自然數(shù)相加，中間數(shù)是 0,顯然不存在.2所以，95寫(xiě)成若干個(gè)(至少兩個(gè))連續(xù)自然數(shù)的和，有 3種不同的寫(xiě)法：17+18+19+20+21, 47+48, 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14.勵(lì)國(guó)級(jí)數(shù)：*10 .在給定的圓周上有 2000個(gè)點(diǎn).任取一點(diǎn)標(biāo)上數(shù) 1;按順時(shí)針?lè)较驈臉?biāo)有1的點(diǎn)往后數(shù)2個(gè)點(diǎn)，在第2個(gè)點(diǎn)上標(biāo)上數(shù)2;從標(biāo)有2的點(diǎn)再往后數(shù)3個(gè)點(diǎn)，在第3個(gè)點(diǎn)上標(biāo)上數(shù)3;；依此類(lèi)推，

9、直至在 圓周上標(biāo)出1993.對(duì)于圓周上的這些點(diǎn)，有的點(diǎn)可能標(biāo)上多個(gè)數(shù)，有的點(diǎn)可能沒(méi)有被標(biāo)數(shù).問(wèn)標(biāo)有數(shù)1993的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)的最小數(shù)是多少？【分析與解】記標(biāo)有1為第1號(hào)，序號(hào)順時(shí)針的依次增大.當(dāng)超過(guò)一圈時(shí)，編號(hào)仍然依次增加，如 1號(hào)也是2001號(hào)，4001號(hào)，則標(biāo)有 2的是 1+2號(hào)，標(biāo)有 3的是1+2+3號(hào)，標(biāo)有 4的是1+2+3+4,，標(biāo)有 1993的是 1+2+3+ +1993=1987021 號(hào).1987021 除以2000的余數(shù)為1021,即圓周上的第 1021個(gè)點(diǎn)標(biāo)為1993.那么 1021+2000n=1+2+3+- + k= k(k 41),即 2042+4000n=k(k+1).

10、2當(dāng)n=0時(shí)，k(k+1)=2042 ,無(wú)整數(shù)解；當(dāng)n=1時(shí)，k(k+1)=6042 ,無(wú)整數(shù)解；當(dāng)n=2時(shí)，k(k+1)=10042 ,無(wú)整數(shù)解；當(dāng) n=3 時(shí)，k(k+1)=14042 ,有 118X119=14042,此時(shí)標(biāo)有 118;隨著n的增大，k也增大.所以，標(biāo)有1993的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)出的最小數(shù)為118.級(jí)數(shù)：*北京市第十屆“迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽第三題第2題11.甲、乙二人做同一個(gè)數(shù)的帶余除法，甲將其除以8,乙將其除以9.甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13.那么甲所得的余數(shù)是多少 ？【分析與解】設(shè)這個(gè)數(shù)為A,有A+ 8=6C,A+ 9=d其中b+e=13,因?yàn)橐话愕挠鄶?shù)小于除數(shù)，所以

11、 e只能取0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8這9值,出，如下表:E的取值01234567186的取值1312111098765.4的取值范用104-96-88-8072 64-56-48-40-86-86 + 711110395877971635547滿足的取值 A除以9余010810092847668605244均滿足的A除 以8的余數(shù)444444444這些滿足題意的數(shù)除以 8的余數(shù)都是4,所以甲所得的余數(shù)是 4.顏嫄級(jí)數(shù)：*，.有些三位數(shù)，如果它本身增加 3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來(lái)三位數(shù)的-.求所3有這樣的三位數(shù).【分析與解】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為abc,數(shù)字和為

12、a+b+c,如果沒(méi)有進(jìn)位，那么 abc+3 = ab(c + 3),顯然數(shù)字和增加了 3,不滿足，所以一定有進(jìn)位，貝 U abc+3=a(b+1)(c + 3-10),數(shù)字和為 0+(b+1)+(c+3 10)= 1(a+b+c),貝 U a+b+c=9,而 c+33必須有進(jìn)位，所以 c只能為7, 8, 9.驗(yàn)，如下表：。的值7E9用”的值20a的值2115的值 -010畋的值207一 “7 磔 E驗(yàn)證當(dāng)十位進(jìn)位及十位、個(gè)位均進(jìn)位時(shí)不滿足.所以，原來(lái)的三位數(shù)為 207, 117或108.勵(lì)嫡級(jí)娩* *某五屆“華羅庚金杯隼數(shù)學(xué)讖請(qǐng)賽.宴席第用超 111 .1m .試說(shuō)明：將和1 + &+&+IM

13、 +益寫(xiě)成一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) 一時(shí)，m不會(huì)是5的倍數(shù).【分析與解】分母中僅有25被52整除，因此通分后，公分母是52xa,a是不被5整除的自然數(shù)(事實(shí)上a=25 X3 2 X7X 11X 13X 17X 19X23X29X31X 37),并且減去變?yōu)橐籥-外，其他分?jǐn)?shù)的分子都2525a是5的倍數(shù).因而這些分?jǐn)?shù)的和為5b+a25a（其中b是自然數(shù)）.由于a不是5的倍數(shù)，所以5b+a不是5的倍數(shù)，當(dāng)然約分后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)m的分子m也不會(huì)是5 n的倍數(shù).跳恁級(jí)勖*.將某個(gè)17位數(shù)各位數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的新數(shù)與原來(lái)的數(shù)相加.試說(shuō)明，所得的和 中至少有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù).【分析與解】先假設(shè)和的各位數(shù)字全

14、是奇數(shù)，設(shè)這個(gè) 17位數(shù)為ablHcd ,則a+d為奇數(shù)，b+c的和小于10,于是十位不向前進(jìn)位，從而去掉前后各兩個(gè)兩位數(shù)字所得的13位數(shù)仍具有題述性質(zhì).依次類(lèi)推6次后，得到一位數(shù)，它與自身相加的和的個(gè)位數(shù)字必是偶數(shù)，矛盾 即開(kāi)始的假設(shè)不正確，所以和中至少有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù). 級(jí)數(shù)：*第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)遨請(qǐng)賽,復(fù)賽第17題.現(xiàn)有11塊鐵，每塊的重量都是整數(shù).任取其中10塊，都可以分成重點(diǎn)相等的兩組，每組有 5塊鐵.試說(shuō)明：這11塊鐵每塊的重量都相等.【分析與解】任取一塊后，其余的可分成兩組，重量相等，因此，其余的鐵塊的重量的和是偶數(shù)，換句話說(shuō)，11塊鐵的總重量與其中任一塊鐵的重量，奇偶性相同.這樣，11塊鐵的重量，或者全