第10章-講義3質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化

1、1理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY10.3 質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化 為了便于問題的處理，將質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系用一個(gè)簡單的與之等效的力系來代替，稱為質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化。 由靜力學(xué)中力系的簡化理論知道，在一般情況下任意力系向一點(diǎn)簡化，可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力的大小和方向由力系的主矢決定，這個(gè)力偶的力偶矩由力系對簡化中心的主矩決定。10.3.1 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系的 主矢和主矩(10-8)質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系的主矢質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系的主矢2理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn) Di 相對于空間某一固定點(diǎn) O 的矢徑為(10-9) 則(

2、10-10)上式表明：質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系的主矢等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積并冠以負(fù)號。(10-11)表明：式 (10-6) 本質(zhì)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式3理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對固定點(diǎn)的主矩(10-12)質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對空間固定點(diǎn) O 的主矩 對于質(zhì)量不變的質(zhì)點(diǎn)系，則有質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn) O 的動(dòng)量矩4(10-13)理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY上式表明：質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對固定點(diǎn) O 的主矩等于質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并冠以負(fù)號。5理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY(10-14)表明：式 (10-7) 中

3、的點(diǎn) A 取為固定點(diǎn) O 時(shí)，其本質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)系對空間固定點(diǎn) O 的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對動(dòng)點(diǎn)的主矩不要求 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對任意動(dòng)點(diǎn) A 的主矩 為各質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾慣性力對動(dòng)點(diǎn) A 的矩的矢量和，即(10-15)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn) Di 相對于動(dòng)點(diǎn) A 的矢徑為 ，則(10-15)根據(jù)力系對不同兩點(diǎn)的主矩關(guān)系式 (4-20) ，得到6理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY(10-16)(10-17)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對不同兩點(diǎn)的動(dòng)量矩關(guān)系式 (9-16) ，得到(10-18)將上式兩邊對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到(10-19)7理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY將式 (10-

4、19) 代入式 (10-17) 得到(10-20)再根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對動(dòng)點(diǎn) A 的絕對動(dòng)量矩和相對動(dòng)量矩關(guān)系式 (9-14) ，有(10-21)將上式兩邊對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到8理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY(10-22)將式 (10-22) 代入式 (10-20) 得到(10-23)上式表明：質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對動(dòng)點(diǎn) A 的主矩，等于兩項(xiàng)之和，其中第一項(xiàng)為質(zhì)點(diǎn)系對動(dòng)點(diǎn) A 的相對動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的負(fù)值；第二項(xiàng)為質(zhì)點(diǎn)系在平移坐標(biāo)系 Axyz （一般為非慣性參考系）中牽連慣性力的合力 （作用于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心）對動(dòng)點(diǎn) A 的矩。(10-24)表明：式 (10-7) 中的點(diǎn) A 取為一般動(dòng)

5、點(diǎn)時(shí)，其本質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)系對該空間一般動(dòng)點(diǎn) A 的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。9理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對質(zhì)心的主矩重要 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn) Di 相對于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 C 的矢徑為 則質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾慣性力系對質(zhì)心的主矩為(a) 顯然(b) 由10理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY(c)(d)11理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY 又由(10-27) 與 相比較，得到 12(10-28)表明：式 (10-7) 中的點(diǎn) A 取為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 C 時(shí)，其本質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心 C 的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY13理論力學(xué)B 第10章達(dá)

6、朗貝爾原理BRY結(jié)論 表明： 質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的平衡方程，完全包含了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、對空間固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。 表明：質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的平衡方程，還包含了質(zhì)點(diǎn)對任意動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。 (1) (2) (3) 達(dá)朗貝爾原理實(shí)質(zhì)上是與動(dòng)量原理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、動(dòng)量矩定理）等價(jià)的（碰撞類問題除外）。 達(dá)朗貝爾原理只是提供了一種用靜力學(xué)方法，列寫系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的方法，并未改變問題的動(dòng)力學(xué)實(shí)質(zhì)，但是，方程形式的這種變換卻帶來了分析、解決力學(xué)問題的新思路和新方法。14 (4) 由質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的矩方程還可以任意選取其他點(diǎn)為矩心，因此用它來求解動(dòng)力學(xué)問題，可有效地避免在對一般動(dòng)點(diǎn)寫動(dòng)

7、量矩定理時(shí)經(jīng)常會(huì)發(fā)生的錯(cuò)誤。 這就是用達(dá)朗貝爾原理多于用動(dòng)量原理求解動(dòng)力學(xué)問題的原因。理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY15理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY10.3.2 平面運(yùn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化平面運(yùn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系向質(zhì)心簡化 (1) 剛體作平面運(yùn)動(dòng)，其達(dá)朗貝爾慣性力系向質(zhì)心 C 簡化得到一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力和一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力偶。 (2) 這個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力的作用線過質(zhì)心，其力矢與達(dá)朗貝爾慣性力系的主矢 相同(10-29) (3) 這個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力偶的力偶矩等于達(dá)朗貝爾慣性力系對質(zhì)心 C 的主矩 (10-30)16理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY (4)

8、具有質(zhì)量對稱面的平面運(yùn)動(dòng)剛體，其達(dá)朗貝爾慣性力系向質(zhì)心 C 簡化： 在工程實(shí)際中，平面運(yùn)動(dòng)剛體常常具有質(zhì)量對稱面，且質(zhì)量對稱面沿自身所在的平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí) 的方向恒垂直于其質(zhì)量對稱面，則 剛體對過其質(zhì)心并垂直于其質(zhì)量對稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體運(yùn)動(dòng)的角速度 則 剛體運(yùn)動(dòng)的角加速度(10-31) 在這種情況下，平面運(yùn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系向其質(zhì)心 C 簡化所得到的一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力和一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力偶矩，如圖所示。C17理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY平面平動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化 則平動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系向質(zhì)心 C 簡化的結(jié)果為一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力(10-32) 這一結(jié)論對空間平

9、動(dòng)剛體也是成立的。C18理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化OC(10-33)(10-34) * 若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對稱面，且定軸垂直于質(zhì)量對稱面， 則(10-35) 此時(shí)向質(zhì)心簡化得到一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力（用兩個(gè)正交分量表示）一個(gè)達(dá)朗貝爾慣性力偶矩19理論力學(xué)B 第10章達(dá)朗貝爾原理BRY * 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系向定軸上點(diǎn) O 簡化：OC(10-36)(10-37)(10-38)（具有質(zhì)量對稱面）提示： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的達(dá)朗貝爾慣性力系向質(zhì)心點(diǎn)簡化與向定軸上點(diǎn) O 簡化是等價(jià)的。最容易犯的錯(cuò)誤是，將達(dá)朗貝爾慣性力畫在質(zhì)心上，而將達(dá)朗貝爾慣性力偶矩按定軸 O 計(jì)算，即按式 (10-38) 計(jì)算。20 當(dāng)按圖示方法表示達(dá)朗貝爾慣性力和達(dá)朗貝爾慣性力偶矩時(shí)，在寫它們的大小時(shí)，不要再將對應(yīng)矢量式前的“負(fù)號”帶入，因?yàn)椤柏?fù)號”所表示的方向（或轉(zhuǎn)向）相反