概率20162.5,2連續(xù)型隨機變量及其

1、2.5 連續(xù)型隨機變量及其 概率密度函數(shù)定義 設(shè) X 是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得其中F ( x )是它的分布函數(shù)則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，f ( x )是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)F ( x )與密度函數(shù) f ( x )的幾何意義p.d.f. f ( x )的性質(zhì) 常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù) 在 f ( x ) 的連續(xù)點處， 積分不是Cauchy 積分，而是Lesbesgue 意義下的積分，所得的變上限的函數(shù)是

2、絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)線段質(zhì)量長度密度注意: 對于連續(xù)型隨機變量X , P ( X = a) = 0這里 a 可以是隨機變量 X 的一個可能的取值命題 連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調(diào) 概率為1 (零) 的事件未必發(fā)生 (不發(fā)生)事實上對于連續(xù)型隨機變量Xbxf ( x)axf ( x)a例1 有一批晶體管，已知每只的使用壽命 X 為 連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為( c 為常數(shù)) 求常數(shù) c(2) 已知一只收音機上裝有3只這樣的晶體管，每只晶體管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.解(1)c = 1000(2)設(shè)事件 A 表示一只晶體管的壽命小于

3、1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為 Y例2 設(shè)隨機變量X的概率密度為求(1) (2) 的分布函數(shù)。解(1) (2) 當時, 當時, 當時,當時,的分布函數(shù)為 (1) 均勻分布( a , b)上的均勻分布記作2.6 常見的連續(xù)型隨機變量的分布若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從區(qū)間其中X 的分布函數(shù)為xf ( x)abxF( x)ba即 X 的取值在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正比. 這正是幾何概型的情形.在進行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第 k 位進行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作服從應(yīng)用場合例3 秒表的最小刻度

4、差為0.01秒. 若計時精度是取最近的刻度值, 求使用該秒表計時產(chǎn)生的隨機誤差X 的概率密度, 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率. 解 由題設(shè)知隨機誤差 X 等可能地取得區(qū)間 上的任一值，則所以(2) 指數(shù)分布若 X 的概率密度為則稱 X 服從 參數(shù)為的指數(shù)分布X 的分布函數(shù)為 0 為常數(shù)1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a b, 應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似若 X服從指數(shù)分布,則所以，又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上例4 假定一

5、大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) 服從參數(shù)為t 的Poisson分布, 求相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布.解 即T服從指數(shù)分布 2.7 正態(tài)分布若X 的概率密度為則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 ) 為常數(shù)，N (-3 , 1.2 )f (x) 的性質(zhì)： 圖形關(guān)于直線 x = 對稱: f ( +a ) = f ( - a) 在 x = 時, f (x) 取得最大值在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點處有拐點曲線 y = f (x) 以x軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀 f (x) 的兩個參數(shù)

6、： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2 則比x = 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線 x = 附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點前者取 Showfn1,fn3大小應(yīng)用場合 若隨機變量 X 受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加, 則 X 服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差； 人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生們的考試成績；一種重要的正態(tài)分布：N (0,1) 標準正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為 (x)，其值有專門的表可查 (x) 是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱-xx對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)作變量代換例5 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解P380 附表3例6 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解二 圖解法0.2由圖0.3例 3 原理設(shè) X N ( , 2), 求解在一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 )的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間的可能性很小由3 原理知，當標準正態(tài)分