機(jī)械畢業(yè)設(shè)計(jì)1167R六桿Ⅲ級機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)仿真論文

1、 TOC o 1-5 h z 1緒論(2)弓 1言(2) HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 1.2平面連桿機(jī)構(gòu)及桿組概述(2) HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 1.3進(jìn)行桿組系統(tǒng)仿真的意義(3) HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 1.4仿真軟件的發(fā)展?fàn)顩r與應(yīng)用(3)1.5 MATLAB 概述(3) HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 7R六桿III級機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真(5)2.1曲柄原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)學(xué)分析(

2、5)6RI級桿組運(yùn)動(dòng)學(xué)分析(6)7R六桿III級機(jī)構(gòu)MATLAB仿真積分模塊初值的確定(11)7R六桿I級機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型及結(jié)果(16) HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 7R六桿III級機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真(23)3.1曲柄原動(dòng)件動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立(23)6RI級桿組動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立(25)需要引用的函數(shù)(30)7R六桿I級機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型及結(jié)果(32) HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 結(jié)論(39) HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 參考

3、文獻(xiàn)(40) HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 致謝(41)1緒論1.1引言大學(xué)的四年生活，通過老師的講解和我自己的學(xué)習(xí)，我收獲了很多，我也深深的 喜歡上了機(jī)械這個(gè)行業(yè)，對機(jī)械加工和制造方面尤為感興趣，我覺得通過自己的努力 和思考來改變工藝規(guī)程來提高生產(chǎn)效率，提高經(jīng)濟(jì)效益很有成就感。我所研究的課題 就是給了這樣的機(jī)會(huì)我可以通過我的努力來優(yōu)化工藝規(guī)程，提高經(jīng)濟(jì)效益。此次畢業(yè) 設(shè)計(jì)，是在我們學(xué)完了機(jī)械制造工藝學(xué)、工藝裝備設(shè)計(jì)等課程，進(jìn)行了生產(chǎn)實(shí)習(xí)之后， 進(jìn)行的一個(gè)重要的實(shí)踐性環(huán)節(jié)。這要求我們把所學(xué)的工藝?yán)碚摵蛯?shí)踐知識，在實(shí)際的 工藝、夾具設(shè)計(jì)中綜合

4、地加以運(yùn)用，這有助與提高了我們分析和解決生產(chǎn)實(shí)際問題的 能力，為以后從事相關(guān)的技術(shù)工作奠定的基礎(chǔ)。1.2平面連桿機(jī)構(gòu)及桿組概述平面連桿機(jī)構(gòu)是將各構(gòu)件用轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副聯(lián)接而成的平面機(jī)構(gòu)。最簡單的平面 連桿機(jī)構(gòu)是由四個(gè)構(gòu)件組成的，簡稱平面四桿機(jī)構(gòu)。它的應(yīng)用非常廣泛，而且是組成 多桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。全部用回轉(zhuǎn)副組成的平面四桿機(jī)構(gòu)稱為鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)。僅能在某一角度擺動(dòng)的連 架桿，稱為搖桿。對于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)來說，機(jī)架和連桿總是存在的，因此可按照連架 桿是曲柄還是搖桿，將鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)分為三種基本型式：曲柄搖桿機(jī)構(gòu)、雙曲柄機(jī)構(gòu) 和雙搖桿機(jī)構(gòu)。在實(shí)際機(jī)械中，平面連桿機(jī)構(gòu)的型式是多種多樣的，但其中絕大多數(shù)是在鉸鏈四

5、桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展和演化而成。如曲柄滑塊機(jī)構(gòu)、導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)等。任何機(jī)構(gòu)都是由原動(dòng)件、機(jī)架和從動(dòng)件構(gòu)成的系統(tǒng)。由于機(jī)架的自由度為零，一 般每個(gè)原動(dòng)件的自由度為1，且根據(jù)運(yùn)動(dòng)鏈成為機(jī)構(gòu)的條件可知，機(jī)構(gòu)的自由度與原 動(dòng)件為應(yīng)相等，所以，從動(dòng)件系統(tǒng)的自由度數(shù)必為零。機(jī)構(gòu)的從動(dòng)件系統(tǒng)還可以進(jìn)一 步分解成若十個(gè)不可再分的自由度為零的構(gòu)件組合，這種組合稱為桿組。設(shè)n表示活 動(dòng)構(gòu)件數(shù)，PL表示低副個(gè)數(shù)，根據(jù)n的取值不同，村級可分為II級桿組和III級桿組。 其中11級桿組分為5種：RRRII級桿組、RRPII級桿組、RPRII級桿組、PRPII級桿 組以及RPPII級桿組。任何機(jī)構(gòu)都可以看作是由若十個(gè)基本村級依次

6、聯(lián)接于原動(dòng)件和機(jī)架而構(gòu)成的，這 就是所謂機(jī)構(gòu)的組成原理。通常，把由最高級別為II級桿組的基本桿組構(gòu)成的機(jī)構(gòu)稱 為II級機(jī)構(gòu)；把最高級為III級桿組的基本桿組構(gòu)成的機(jī)構(gòu)稱為III級機(jī)構(gòu)。1.3進(jìn)行桿組系統(tǒng)仿真的意義系統(tǒng)仿真是建立在控制理論、相似理論、信息處理技術(shù)和計(jì)算機(jī)初等理論基礎(chǔ)之 上的，以計(jì)算機(jī)和其他專用物理效應(yīng)設(shè)備為工具，利用系統(tǒng)模型對真實(shí)或假設(shè)的系統(tǒng) 進(jìn)行試驗(yàn)，并借助于專家的經(jīng)驗(yàn)知識、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和信息資料對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析研究， 進(jìn)而做出決策的一門綜合的實(shí)驗(yàn)性學(xué)科。仿真技術(shù)是分析、研究各種系統(tǒng)，尤其是復(fù)雜系統(tǒng)的重要工具。隨著機(jī)械行業(yè)的 迅速發(fā)展，對研究、設(shè)計(jì)的機(jī)械設(shè)備越來越復(fù)雜，用于制造各

7、種零件的材料價(jià)格越來 越昂貴，不可能每一步都采取試制再修改的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，采用仿真的方法可以在一 定程度上克服這種不足的不足，降低研究成本，提高效率。而連桿機(jī)構(gòu)作為常見的傳 動(dòng)機(jī)構(gòu)，對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)仿真，建立起基本桿組模塊的仿真模型，無疑對日 后的設(shè)計(jì)大有裨益。一般機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析，使用Quik BASIC語言或Fortran語言編寫程序進(jìn)行計(jì)算， 其缺點(diǎn)“透明性”差，修改麻煩等.而用MATLAB對機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，利用MATLAB 的simulink仿真模型的數(shù)據(jù)可視化的特點(diǎn)，就可以很容易觀察到運(yùn)動(dòng)參數(shù)是如何變化 的，極其簡便.同時(shí)，用MATLAB建立和修改仿真模型具有方便、快捷、很容易

8、擴(kuò)展 等優(yōu)點(diǎn).MATLAB仿真求解器提供很多解不同微分方程的方法，可以根據(jù)不同的微分 方程類型選擇相應(yīng)的求解方法.機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，由已知工作阻力，求出運(yùn)動(dòng)副的約束反力和驅(qū)動(dòng)力（或力矩）， 為選擇和設(shè)計(jì)軸承和零部件強(qiáng)度的計(jì)算及選擇原動(dòng)機(jī)提供理論依據(jù)。1.4仿真軟件的發(fā)展?fàn)顩r與應(yīng)用早期的計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)大致經(jīng)歷了幾個(gè)階段：20世紀(jì)40年代模擬計(jì)算機(jī)仿真； 50年代初數(shù)字仿真；60年代早期仿真語言的出現(xiàn)等。80年代出現(xiàn)的面向?qū)ο蠓抡婕?術(shù)為系統(tǒng)仿真方法注入了活力。我國早在50年代就開始研究仿真技術(shù)了，當(dāng)時(shí)主要 用于國防領(lǐng)域，以模擬計(jì)算機(jī)的仿真為主。70年代初開始應(yīng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真 4。隨著數(shù)字計(jì)

9、算機(jī)的普及，近20年以來，國際、國內(nèi)出現(xiàn)了許多專門用于計(jì)算機(jī) 數(shù)字仿真的仿真語言與工具，如CSMP，ACSL， SIMNOM， MATLAB/Simulink， Matrix/System Build，CSMP-C 等。1.5 MATLAB 概述MATLAB是國際上仿真領(lǐng)域最權(quán)威、最實(shí)用的計(jì)算機(jī)工具。它是MathWork公 司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化數(shù)學(xué)軟件，被譽(yù)為“巨人肩上的 工具”。MATLAB是一種應(yīng)用于計(jì)算技術(shù)的高性能語言。它將計(jì)算，可視化和編程結(jié)合 在一個(gè)易于使用的環(huán)境中，此而將問題解決方案表示成我們所熟悉的數(shù)學(xué)符號，其典 型的使用包括：.數(shù)學(xué)計(jì)算.運(yùn)算法則的推

10、導(dǎo).模型仿真和還原.數(shù)據(jù)分析，采集及可視化.科技和工程制圖.開發(fā)軟件，包括圖形用戶界面的建立MATLAB是一個(gè)交互式系統(tǒng)，它的基本數(shù)據(jù)元素是矩陣，且不需要指定大小。 通過它可以解決很多技術(shù)計(jì)算問題，尤其是帶有矩陣和矢量公式推導(dǎo)的問題，有時(shí)還 能寫入非交互式語言如C和Fortran等。MATLAB的名字象征著矩陣庫。它最初被開發(fā)出來是為了方便訪問由LINPACK 和EISPAK開發(fā)的矩陣軟件，其代表著藝術(shù)級的矩陣計(jì)算軟件。MATLAB在擁有很多用戶的同時(shí)經(jīng)歷了許多年的發(fā)展時(shí)期。在大學(xué)環(huán)境中，它 作為介紹性的教育工具，以及在進(jìn)階課程中應(yīng)用于數(shù)學(xué)，工程和科學(xué)。在工業(yè)上它是 用于高生產(chǎn)力研究，開發(fā)，分

11、析的工具之一。Simulink概述 Simulink是用于仿真建模及分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一組程序包，它支持線 形和非線性系統(tǒng)，能在連續(xù)時(shí)間，離散時(shí)間或兩者的復(fù)合情況下建模。系統(tǒng)也能采用 復(fù)合速率，也就是用不同的部分用不同的速率來采樣和更新。Simulink提供一個(gè)圖形化用戶界面用于建模，用鼠標(biāo)拖拉塊狀圖表即可完成建 模。在此界面下能像用鉛筆在紙上一樣畫模型。相對于以前的仿真需要用語言和程序 來表明不同的方程式而言有了極大的進(jìn)步。Simulink擁有全面的庫，如接收器，信號 源，線形及非線形組塊和連接器。同時(shí)也能自己定義和建立自己的塊。模塊有等級之 分，因此可以由頂層往下的步驟也可以選擇從底層往上建模

12、。可以在高層上統(tǒng)觀系統(tǒng)， 然后雙擊模塊來觀看下一層的模型細(xì)節(jié)。這種途徑可以深入了解模型的組織和模塊之 間的相互作用。2 7R六桿III級機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真2.1曲柄原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)學(xué)分析曲柄原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立圖1曲柄的復(fù)數(shù)坐標(biāo)系如圖1所示，在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系中，曲柄AB復(fù)向量的模rj為常數(shù)、幅角。j為變量，通 過轉(zhuǎn)動(dòng)副人與機(jī)架連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副A的復(fù)向量的模%為常量、幅角。i為常量，曲柄AB端 點(diǎn)B的位移、速度和加速度的推導(dǎo)如下：(2.1)A = r = rej%, r = r ej jB = A + r = rej% + r ej j將方程2.1兩邊對時(shí)間t求兩次導(dǎo)數(shù)得：7B = r % ej(%j +兀

13、 + r % ej(%j +兀/2) (2 2)j jj j由式2.2寫成矩陣形式有Re BIm B(2.3)r % cos(0 + 冗 / 2) + r 0 2 cos(0 + 冗)j j jj j jr 0 . sin(0 . +兀 / 2) + r 0 2 sin(0 . +兀)曲柄MATLAB運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模塊M函數(shù)function y=crank(x)%x(1)=rj%x(2)=thetaj%x(3)=dthetaj%x(4)=ddthetaj%y(1)=ReddB根據(jù)式(2.3)編寫曲柄原動(dòng)件MATLAB的M函數(shù)如下:曲柄桿長曲柄與水平方向夾角曲柄角速度曲柄角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)副B加速度實(shí)軸分

14、量 %y(2)=ImddB 轉(zhuǎn)動(dòng)副B加速度虛軸分量 ddB=x(1)*x(4)*cos(x(2)+pi/2)+x(1)*x(3)2*cos(x(2)+pi);x(1)*x(4)*sin(x(2)+pi/2)+x(1)*x(3)、2*sin(x(2)+pi);y=ddB;此函數(shù)模塊用于計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)副B的加速度的水平分量和垂直分量輸入?yún)?shù)為曲柄 的長度、角位移、角速度和角加速度；輸出參數(shù)為曲柄端部(轉(zhuǎn)動(dòng)副B)的加速度的 水平分量和垂直分量。2.26皿級桿組運(yùn)動(dòng)學(xué)分析2.2.1 6Rm級桿組運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立圖2 6RIII級桿組的位置參數(shù)如圖2所示，在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系中，由3個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副(B,C,D)和3個(gè)

15、內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副(E,F,G),4個(gè) 構(gòu)件(BE,CF,DG和EFG)構(gòu)成1個(gè)6RIII級桿組，構(gòu)件BE,CF,DG的長度分別為r. rk構(gòu)件 EFG的3個(gè)邊為e, f, g,方向如圖所示，規(guī)定所有復(fù)向量與實(shí)軸正方向逆時(shí)針夾角為 0,并用相應(yīng)的下標(biāo)來區(qū)別，用B,C,D,E,F和G分別表示該轉(zhuǎn)動(dòng)副的復(fù)數(shù)坐標(biāo)，則各 個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)推導(dǎo)如下：E B + rejiF C + r ejQ jj(2.4)G D + r ejkKkf E G fej f(2.5)g F E *。g將式（2.4 ）代入式（2.5）并整理得:-r ej% + r e j。j - gejs = B - C-罕吧 + /% - eefi

16、e = C - D （26） rej% - r ej%k - fe 為 f = D - B將式（2.4）全式（2.6）三式合并成矩陣得：rej （,. +兀i0rej （ +兀 /2） ir ej（j +兀/2）jr ej（j +兀/2）0r ej（k +兀/2）kr ej（k +兀/2） keej （e +兀/2）0fej（ f+兀/2）gej （ g +兀/2）0i.Jke6f-g.2i.2jO；k2e2f2-g -1rej （,. +兀）i0rej （,. +兀）iB- CC- DD- Br ej （ j +兀） jr ej （ Jj0r ej （ k +兀） k一 r ej（kk一 e

17、ej （e +兀）fej （f一 gej （ g+兀）0（2.7）將式（2.7）展開整理得:- r cos（. +-r sin（.r cos（. +；）r cos（. + ；）兀-r cos（. + ）兀、cos（ + ）-g cos（r cos（ + ）ii2r sin（ +）ii2兀cos（k + ）r sin（ + ；）一 r cos（ +：）一 r sin（ +）2兀-e cos（ + ）一 e sin（ + ；）一 f cos（f + 2） f sin（f +） g 2 g sin（g +；）00.（T；r cos（ +丸）r sin（ +丸）0 0r cos（ +丸）r sin（

18、+丸）r cos（ +丸） r sin（ +丸）r cosrj（ +丸）sin（+丸）J0000r cos（0 +丸）r sin（ +兀）k kr cos（0 +丸）r cos（0 +丸）00 r cos（0 +兀）00 r cos（0 +兀）e cos（ +兀）00-e.e sin泌 +兀）00e0 f cos（ +兀）00 f cos（ +兀）0fRe B- Re C0,2j*.*Im B-Im C0*20*2e+Re C Re DIm C- Im D0，2gRe D Re B _Im D Im B_；L g（2.8）點(diǎn)E, F, G的加速度分別為Re gRe B+八兀 cos(0 + *

19、_Im礦_ Im B_疝0.+1） _r 0 +i i=Re C+八冗1 co戲 j+*Im FIm Csin（0 + 業(yè)）L j 2cos（ + 兀）iisin（ +兀）0 +jr 02;icos（0 +兀）jsin（0 + 兀）jr 02j jRe G=Re D+cos（0k+京.r 0 +cos（0 + 兀）-kLIm GLIm Dsin（0Lk+;） 一k ksin（0 + 兀）LkJr 02k k（2.9）2.2.2 6RO級桿組MATLAB運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模塊M函數(shù)根據(jù)式(2.9)編寫6RIII級桿組MATLAB的M函數(shù)如下:function y=R6ki（x）%x（1）=riBE桿長%

20、x（2）=rjCF桿長%x（3）=rkDG桿長%x(4)=eFG桿長%x(5)=fGE桿長%x(6)=gEF桿長%x(7)=theta-iBE桿與水平方向夾角%x(8)=theta-jDF桿與水平方向夾角%x(9)=theta-kDG桿與水平方向夾角%x(10)=theta-eFG桿與水平方向夾角%x(11)=theta-fGE桿與水平方向夾角%x(12)=theta-gEF桿與水平方向夾角%x(13)=dtheta-iBE桿角速度%x(14)=dtheta-jEF桿角速度%x(15)=dtheta-kDG桿角速度%x(16)=dtheta-eGE桿角速度%x(17)=dtheta-fGE桿角

21、速度%x(18)=dtheta-gEF桿角速度%x(19)=ReddB轉(zhuǎn)動(dòng)副B加速度實(shí)軸分量%x(20)=ImddB轉(zhuǎn)動(dòng)副B加速度虛軸分量%x(21)=ReddC轉(zhuǎn)動(dòng)副C加速度實(shí)軸分量%x(22)=ImddC轉(zhuǎn)動(dòng)副C加速度虛軸分量%x(23)=ReddD轉(zhuǎn)動(dòng)副D加速度實(shí)軸分量%x(24)=ImddD轉(zhuǎn)動(dòng)副D加速度虛軸分量%y(1)=ddtheta-iBE桿角加速度%y(2)=ddtheta-jCF桿角加速度%y(3)=ddtheta-kDG桿角加速度%y(4)=ddtheta-eFG桿角加速度%y(5)=ddtheta-fGE桿角加速度%y(6)=ddtheta-fEF桿角加速度%y(7)=R

22、eddE轉(zhuǎn)動(dòng)副E加速度實(shí)軸分量%y(8)=ImddE轉(zhuǎn)動(dòng)副E加速度虛軸分量%y(9)=ReddF轉(zhuǎn)動(dòng)副F加速度實(shí)軸分量%y(10)=ImddF轉(zhuǎn)動(dòng)副F加速度虛軸分量%y(11)=ReddG轉(zhuǎn)動(dòng)副G加速度實(shí)軸分量%y(12)=ImddG轉(zhuǎn)動(dòng)副G加速度虛軸分量a=-x(1)*cos(x(7)+pi/2) x(2)*cos(x(8)+pi/2) 0 0 0 -x(6)*cos(x(12)+pi/2);-x(1)*sin(x(7)+pi/2) x(2)*sin(x(8)+pi/2) 0 0 0 -x(6)*sin(x(12)+pi/2);0 -x(2)*cos(x(8)+pi/2) x(3)*cos(

23、x(9)+pi/2) -x(4)*cos(x(10)+pi/2) 0 0;0 -x(2)*sin(x(8)+pi/2) x(3)*sin(x(9)+pi/2) -x(4)*sin(x(10)+pi/2) 0 0;x(1)*cos(x(7)+pi/2) 0 -x(3)*cos(x(9)+pi/2) 0 -x(5)*cos(x(11)+pi/2) 0;x(1)*sin(x(7)+pi/2) 0 -x(3)*sin(x(9)+pi/2) 0 -x(5)*sin(x(11)+pi/2) 0;c=-x(1)*cos(x(7)+pi) x(2)*cos(x(8)+pi) 0 0 0 -x(6)*cos(x

24、(12)+pi);-x(2)*sin(x(7)+pi) x(2)*sin(x(8)+pi) 0 0 0 -x(6)*sin(x(12)+pi);0 -x(2)*cos(x(8)+pi) x(3)*cos(x(9)+pi) -x(4)*cos(x(10)+pi) 0 0;0 -x(2)*sin(x(8)+pi) x(3)*sin(x(9)+pi) -x(4)*sin(x(10)+pi) 0 0;x(1)*cos(x(7)+pi) 0 -x(3)*cos(x(9)+pi) 0 -x(5)*cos(x(11)+pi) 0;x(1)*sin(x(7)+pi) 0 -x(3)*sin(x(9)+pi)

25、0 -x(5)*sin(x(11)+pi) 0;b1=c*x(13)A2;x(14)A2;x(15)A2;x(16)A2;x(17)A2;x(18)A2;b2=x(19)-x(21);x(20)-x(22);x(21)-x(23);x(22)-x(24);x(23)-x(19);x(24)-x(20);b=b1+b2;ddtheta=inv(a)*b;y(1)=ddtheta(1);y(2)=ddtheta(2);y(3)=ddtheta(3);y(4)=ddtheta(4);y(5)=ddtheta(5);y(6)=ddtheta(6);y(7)=x(19)+x(1)*ddtheta(1)*

26、cos(x(7)+pi/2)+x(1)*x(13)A2*cos(x(7)+pi);y(8)=x(20)+x(1)*ddtheta(1)*sin(x(7)+pi/2)+x(1)*x(13)A2*sin(x(7)+pi);y(9)=x(21)+x(2)*ddtheta(2)*cos(x(8)+pi/2)+x(2)*x(14)A2*cos(x(8)+pi);y(10)=x(22)+x(2)*ddtheta(2)*sin(x(8)+pi/2)+x(2)*x(14)A2*sin(x(8)+pi);y(11)=x(23)+x(3)*ddtheta(3)*cos(x(9)+pi/2)+x(3)*x(15)A

27、2*cos(x(9)+pi);y(12)=x(24)+x(3)*ddtheta(3)*sin(x(9)+pi/2)+x(3)*x(15)A2*sin(x(9)+pi);這個(gè)模塊用于求III級桿組中各桿的加速度的水平及垂直分量。輸入?yún)?shù)為構(gòu)件2、構(gòu)件3的角位移和角速度，構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的桿長，構(gòu)件5的3個(gè)邊長，構(gòu) 件2、構(gòu)件3、構(gòu)件4的角位移和角速度，構(gòu)件5的3個(gè)邊向量的角位移和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng) 副B,C,D的加速度；輸出參數(shù)為構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的角加速度，構(gòu)件5的3個(gè) 邊向量的角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)副E,F,G的加速度。2.3 7R六桿4級機(jī)構(gòu)MATLAB仿真積分模塊初值的確定運(yùn)用牛頓一辛普森法進(jìn)行

28、角位移分析圖3 7R六桿III級機(jī)構(gòu)圖3所示是由原動(dòng)件(曲柄1)和一個(gè)6RI級桿組所組成的7R六桿I級機(jī)構(gòu)，復(fù)數(shù)向量坐標(biāo)亦如圖所示，各構(gòu)件的尺寸為r=120mm，r =400mm，r =300mm，I J I - I- xj Xr-I IM / I /-J、， 7 入1入且兀_1且兀_1，入 2，UVLJ_L AAA，入 3 W且 A A 且 Ad.，r4=300mm，ReD=250mm，F(xiàn)G=450mm，GE=180mm，EF=350mm，ImD=350mm， ReC=700mm，ImC=350mm，構(gòu)件1以等角速度10rad/s逆時(shí)針方向回轉(zhuǎn)，試求構(gòu)件2 和構(gòu)件3的位移、速度和加速度。由圖

29、3可列以下三個(gè)方程：AB+BE-AD-DG -EG=0，(2.10)(2.11)(2.12)即 r1+r2-AD-r4-f=0AB+BE+EF-AC-CF=0即 r1+r2+g-AC-r3=0EF+FG+GE=0,即 g+e+f=0rej1 + r e 元2 一 ADefi1一由復(fù)向量坐標(biāo)，可寫出式(2.10)、式(2.11)及式(2.12)的角位移方程為:AD 一 r4ej04 一 f - .f = 0(2.13)(2.14)(2.15)rej&1 + r ej2 + g - ejg - ACejAC - r ej3 = 0 TOC o 1-5 h z 123e - eR + f - ej

30、+ g - e凡=0f (0 ,0 ,0 ) = r cos(0 ) + r cos(0 ) 一 AD cos(0 ) 一 r cos(0 ) 一 f - cos(0 ) = 024 f 1122AD 44f將式(2.13)、式(2.14)、式(2.15)展開，整理得:,0 ,0 ) = r sin(0 ) + r sin(0 ) 一 AD sin(0 ) 一 r sin(0 ) 一 f - sin(0 ) = 024 f 1122AD 44ff (0 ,0 ,0 ) = r cos(0 ) + r cos(0 ) 一 AC cos(0 ) 一 r cos(0 ) 一 g - cos(0 )

31、= 023 g 1122AC 33gf (0 ,0 ,0 ) = r sin(0 ) + r sin(0 ) 一 AC sin(0 ) 一 r sin(0 ) 一 g - sin(0 ) = 023 g 1122AC 33gf (0 , 0 ,0 ) = e - cos(0 ) + f - cos(0 ) + g - cos(0 ) = 0e f gefgf (0 , 0 , 0 ) = e - sin(0 ) + f - sin(0 ) + g - sin(0 ) = 0e f gefg由式(2.16)求出雅可比矩陣為:一 r sin(0 )0 r sin(0 )2244r cos(0 )0

32、 一 r cos(0 )2244一 r sin(0 ) r sin(0 )0J =2233r cos(0 ) 一 r cos(0 )02233000000(2.16)0f .物0J00- f - cos(0f )000g - sin(0 )00- g - cos(0一 e - sin(0 )- f - sin(0 ) - g - sin(0 )e - cos(0 )f - cos(0 ) g - cos(0 )efg(2.17)function y=r6posi(x)%x(1)=theta-1%x(2)=theta-2%x(3)=theta-3%x(4)=theta-4%x(5)=theta-

33、e%x(6)=theta-f%x(7)=theta-g%x(8)=theta-AC%x(9)=theta-AD%x(10)=r1%x(11)=r2根據(jù)式(2.16)、式(2.17)，由牛頓一辛普森求解方法得編制M函數(shù)如下:桿1與水平方向夾角桿2與水平方向夾角(估計(jì)量) 桿3與水平方向夾角(估計(jì)量) 桿4與水平方向夾角(估計(jì)量) 桿e與水平方向夾角(估計(jì)量) 桿f與水平方向夾角(估計(jì)量) 桿g與水平方向夾角(估計(jì)量) AC與水平方向夾角 AD與水平方向夾角 桿1長度 桿2長度桿3長度桿4長度%x(12)=r3%x(13)=r4%x(14)=e桿e長度%x(15)=f桿f長度%x(16)=g桿g長

34、度%x(17)=AC桿 AC 長度%x(18)=AD桿 AD 長度%y(1)=theta-22桿與水平方向夾角%y(2)=theta-33桿與水平方向夾角%y(3)=theta-44桿與水平方向夾角%y(4)=theta-ee桿與水平方向夾角%y(5)=theta-ff桿與水平方向夾角%y(6)=theta-gg桿與水平方向夾角%theta2=x(2);theta3=x(3);theta4=x(4);theta5=x(5);theta6=x(6);theta7=x(7);%epsilon=1.0E-6;%f=x(10)*cos(x(1)+x(11)*cos(theta2)-x(18)*cos(

35、x(9)-x(13)*cos(theta4)-x(15)*cos(theta6);x(10)*sin(x(1)+x(11)*sin(theta2)-x(18)*sin(x(9)-x(13)*sin(theta4)-x(15)*sin(theta6); x(10)*cos(x(1)+x(11)*cos(theta2)+x(16)*cos(theta7)-x(17)*cos(x(8)-x(12)*cos(theta3); x(10)*sin(x(1)+x(11)*sin(theta2)+x(16)*sin(theta7)-x(17)*sin(x(8)-x(12)*sin(theta3); x(14

36、)*cos(theta5)+x(15)*cos(theta6)+x(16)*cos(theta7);x(14)*sin(theta5)+x(15)*sin(theta6)+x(16)*sin(theta7); %while norm(f) epsilonJ= -x(11)*sin(theta2) 0 x(13)*sin(theta4) 0 x(15)*sin(theta6) 0;x(11)*cos(theta2) 0 -x(13)*cos(theta4) 0 -x(15)*cos(theta6) 0;-x(11)*sin(theta2) x(12)*sin(theta3) 0 0 0 -x(1

37、6)*sin(theta7);x(11)*cos(theta2) -x(12)*cos(theta3) 0 0 0 x(16)*cos(theta7);0 0 0 -x(14)*sin(theta5) -x(15)*sin(theta6) -x(16)*sin(theta7);0 0 0 x(14)*cos(theta5) x(15)*cos(theta6) x(16)*cos(theta7);dth=inv(J)*(-1.0*f);theta2=theta2+dth(1);theta3=theta3+dth(2);theta4=theta4+dth(3);theta5=theta5+dth(

38、4);theta6=theta6+dth(5);theta7=theta7+dth(6);f=x(10)*cos(x(1)+x(11)*cos(theta2)-x(18)*cos(x(9)-x(13)*cos(theta4)-x(15)*cos(th eta6);x(10)*sin(x(1)+x(11)*sin(theta2)-x(18)*sin(x(9)-x(13)*sin(theta4)-x(15)*sin(t heta6);x(10)*cos(x(1)+x(11)*cos(theta2)+x(16)*cos(theta7)-x(17)*cos(x(8)-x(12)*c os(theta3

39、);x(10)*sin(x(1)+x(11)*sin(theta2)+x(16)*sin(theta7)-x(17)*sin(x(8)-x(12) *sin(theta3);x(14)*cos(theta5)+x(15)*cos(theta6)+x(16)*cos(theta7);x(14)*sin(theta5) +x(15)*sin(theta6)+x(16)*sin(theta7);norm(f)end;y(1)=theta2;y(2)=theta3;y(3)=theta4;y(4)=theta5;y(5)=theta6;y(6)=theta7;此函數(shù)模塊的輸入量為桿1與水平方向的夾角、

40、其余各桿與水平方向夾角的估計(jì) 值以及桿的桿長及AC、AD兩個(gè)收入?yún)⒘康臈U長和角度的估計(jì)值，輸出參量為2, 3, 4, E,F,G桿與水平方向的夾角。7R六桿III級機(jī)構(gòu)在圖所示位置，估計(jì)構(gòu)件2, 3, 4, e, f, g的角位移為%=5.9341rad, %=1.9199rad,禹=1.9199rad, Oe=0, 0f=2.3562rad, Og=0.3491。輸入?yún)?數(shù) x=40*pi/180 340*pi/180 110*pi/180 110*pi/180 0 135*pi/180 20*pi/180 atan(350/700) atan(350/250) 120 400 300 30

41、0 450 180 350 sqrt(350A2+700A2) sqrt(350人2+250人2),解得 %=-0.3725rad, %=-1.2735rad, 04=-1.2735rad, 0e=3.1416rad, Of=-0.8040rad, %=0.3794rad。運(yùn)用牛頓一辛普森法進(jìn)行角速度分析&2&34g&f0.-g Jr sin(0 )r cos(0 )r sin(0 )r cos(0 )2 0 2000r sin(0 )r cos(0 )r sin(0 )r cos(0 )00000000e - sin(0 )e - cos(0 )ef - sin(O )f - cos(&f)

42、 0 f0f - sin(七) f - cos(& j00g - sin(0 )g - cos(0 )g - sin(0：)g - cos(0g)-1r sin 0r cos 0 r sin 0.r cos 01 0 10對式(2.10)-式(2.12)求導(dǎo)并展開成矩陣形式為:(2.18)根據(jù)式(2.18)編寫M函數(shù)如下:function y=r6vel(x)%x(1)=theta-1%x(2)=theta-2%x(3)=theta-3%x(4)=theta-4%x(5)=theta-e%x(6)=theta-f%x(7)=theta-g%x(8)=dtheta-1%x(9)=r1%x(10)

43、=r2%x(11)=r3桿1與水平方向夾角 桿2與水平方向夾角 桿3與水平方向夾角 桿4與水平方向夾角 桿e與水平方向夾角 桿f與水平方向夾角 桿g與水平方向夾角 桿1角速度 桿1長度 桿2長度 桿3長度%x(12)=r4桿4長度%x(13)=e桿e長度%x(14)=f桿f長度%x(15)=g桿g長度%y(1)=dtheta-2桿2角加速度%y(2)=dtheta-3桿3角加速度%y(3)=dtheta-4桿4角加速度%y(4)=dtheta-e桿e角加速度%y(5)=dtheta-f桿f角加速度%y(6)=dtheta-g桿g角加速度A= -x(10)*sin(x(2) 0 x(12)*si

44、n(x(4) 0 x(14)*sin(x(6) 0;x(10)*cos(x(2) 0 x(12)*cos(x(4) 0 x(14)*sin(x(6) 0;-x(10)*sin(x(2) x(11)*sin(x(3) 0 0 0 -x(15)*sin(x(7);x(10)*cos(x(2) -x(11)*cos(x(3) 0 0 0 x(15)*cos(x(7);0 0 0 -x(13)*sin(x(5) -x(14)*sin(x(6) -x(15)*sin(x(7);0 0 0 x(13)*cos(x(5) x(15)*cos(x(6) x(15)*cos(x(7);B=x(10)*sin(x

45、(1);-x(10)*cos(x(1);x(10)*sin(x(1);-x(10)*cos(x(1);0;0*x(8); y=inv(A)*B;此函數(shù)模塊輸入量為各桿與水平方向的角度以及桿1的角速度，輸出參數(shù)為2, 3, 4, E,F,G桿的角加速度。圖3所示機(jī)構(gòu)，由位移分析計(jì)算出的各桿角度和曲柄1的角 速度為 10rad/s，則輸入?yún)?shù)為：x= 40*pi/180 -0.3725-1.2735-1.27353.1416-0.8040 0.3794 10 120 400 300 300 450 180 350，代入上面的 M 文件，求得 2，3，4, e，f，g 桿的角速度依次分別為-3.49

46、rad/s，-4.5298rad/s，-4.5298rad/s，0rad/s，0rad/s， 0rad/s。2.4蟲六桿皿級機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型及結(jié)果2.4.1 7公六桿皿級機(jī)構(gòu)圖3所示是由原動(dòng)件(曲柄1)和1個(gè)6RIII級桿組所組成的7R六桿III級機(jī)構(gòu)， 復(fù)數(shù)向量坐標(biāo)如圖14 1所示，各構(gòu)件的尺寸為的r =120mm, r =400mm, r =300mm, 旦.，.旦】、，VHJA，2，3，r4=300mm，ReD=250mm，F(xiàn)G=450mm，GE=180mm，EF=350mm，ImD=350mm， ReC=700mm，ImC=350mm，構(gòu)件1以等角速度10rad/s逆時(shí)針方向回轉(zhuǎn)，試

47、求構(gòu)件2 和構(gòu)件3的位移、速度、加速度。2.4.2 7R六桿山級機(jī)構(gòu)MATLAB運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型7R六桿III級機(jī)構(gòu)MATLAB運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型如圖所示，在圖中各積分 模塊的初值是以曲柄1的幅角為0.72rad和角速度等于10rad/s逆時(shí)針方向回轉(zhuǎn)時(shí)，相 應(yīng)各個(gè)構(gòu)件的位移、速度的瞬時(shí)值，2個(gè)MATLAB函數(shù)模塊分別為crank.m和r6ki.m, 其中crank.m函數(shù)模塊的輸入?yún)?shù)為曲柄的長度、角位移、角速度和角加速度；輸出 參數(shù)為曲柄端部(轉(zhuǎn)動(dòng)副B)的加速度的水平分量和垂直分量;r6ki.m函數(shù)模塊的輸入 參數(shù)為構(gòu)件2、構(gòu)件3的角位移和角速度，構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的桿長，構(gòu)件5 的3個(gè)邊長

48、，構(gòu)件2、構(gòu)件3、構(gòu)件4的角位移和角速度，構(gòu)件5的3個(gè)邊向量的角 位移和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副B,C,D的加速度；輸出參數(shù)為構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的角加速度， 構(gòu)件5的3個(gè)邊向量的角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)副E,F,G的加速度。每個(gè)數(shù)據(jù)線上標(biāo)注了相應(yīng) 變量，常量模塊放置了各個(gè)構(gòu)件的尺寸，長度分別為m，角度單位為rad。設(shè)置仿真 時(shí)間為1s，仿真結(jié)果輸出到工作空間變量simout中，輸出格式為array,求解器選用 ode45，步長選用變步長。2.4.3 7R六桿1級機(jī)構(gòu)MATLAB運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果由于曲柄轉(zhuǎn)速為10rad/s,因此每轉(zhuǎn)動(dòng)1周的時(shí)間是0.628s,用繪圖命令 plot(tout,simout(:,1)，p

49、lot(tout,simout(:,2)，plot(tout,simout(:,5)，plot(tout,simout(:,6)， plot(tout,simout(:,9)，plot(tout,simout(:,10)，plot(tout,simout(:,3)，plot(tout,simout(:,4) 繪制出構(gòu)件2和構(gòu)件3的位移、速度、加速度，構(gòu)件4的位移、向量e的位移，如圖 所示。從該圖中可以看出這些參數(shù)也都是周期變化的。從圖3所給出的各個(gè)構(gòu)件的尺寸可以看出，由構(gòu)件3, 4, 5, 6構(gòu)成平行四邊形， 因此構(gòu)件5就作平動(dòng)，復(fù)數(shù)向量e,f,g的角位移為常量、角速度為零。從圖6 (g)中

50、看出復(fù)數(shù)向量e仿真結(jié)果確實(shí)如此。同時(shí)構(gòu)件3, 4的角位移、角速度、角加速度應(yīng) 該相同，比較圖6 3)和(h)曲線也相同，這兩組也說明了所推導(dǎo)的6RI級桿組 的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真公式及相應(yīng)的M函數(shù)和仿真模型是正確的。ootheta-2dtheta-4theta-3dthetatheta-4ddrt:heta-2 1/s 1/sthms:zrLdthets-2 1/sdthela-2zzretdthets-3thets-3 1/s 1/sdtheta-3：lTEtthets-4dthets-4theta-2 1/s 1/sdtheta-4theta-3:zretdthets-ethets-e 1/stli

51、eta-4dtheta-f:rtdthets-fthmsdditfieta-2dditfieta-2theta-iTdkfthela-3lEddEthetasdtheta-2祠出目dtheta-3rEki.mlmddFdtlieti-4 1/s 1/s祠 ddGdtlretMdthets-gthets-glmddGdthela-f出亦5ReddEdthela-gilmdldlEReddBRefddFlsimautllmddFlcrsnk.mReddCReddGTo WDikspsoellmdtfC0 明赤：lmddGReddDlmddCDlmddDReddDMATLA.EFunctionMAT

52、LAB Functionthets-1 dtheta-Tthets-2 - I ., ii1- 1.S1/s0.4IntegrstDiE-0.3sim-cutTo Wc-iteps oeF 1/Sr* 1/sdthets-1Dddthets-1lmddDddtheta-4圖6 （a） 構(gòu)件2的角位移（縱坐標(biāo)表示角位移的大小，單位為rad；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6（b）構(gòu)件3的角位移（縱坐標(biāo)表示角位移的大小，單位為rad；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6 （c） 構(gòu)件3的角速度（縱坐標(biāo)表示角速度的大小，單位為rad/s；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6（d） 構(gòu)件2的角速度（縱坐標(biāo)表示角

53、位移的大小，單位為rad/s；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6 （e）構(gòu)件2的角加速度（縱坐標(biāo)表示角加速度的大小，單位為rad/s2；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6（f）構(gòu)件3的角加速度（縱坐標(biāo)表示角加速度的大小，單位為rad/s2；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）4.53.52.500 10.20.30.40.5 OS 0.7 O.S 0.91圖6 （g） 向量e的角位移（縱坐標(biāo)表示角位移的大小，單位為rad；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）圖6（h） 構(gòu)件4的角位移（縱坐標(biāo)表示角位移的大小，單位為rad；橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為s。）37R六桿III級機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真3.1曲柄原動(dòng)件動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的

54、建立曲柄原動(dòng)件動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)分析圖7曲柄的受力模型如圖7所示，已知曲柄AB向量的模ri為常數(shù)，幅角危為變量，質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)副 A的距離為rci，質(zhì)量為mi,繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji,作用于質(zhì)心上的外力為Fxi和Fyi、 外力矩為Mi,曲柄與機(jī)架聯(lián)接，轉(zhuǎn)動(dòng)副A的約束反力為Rxa和Rya,驅(qū)動(dòng)力矩為 Ml。由理論力學(xué)可得： TOC o 1-5 h z RA - R b + F = m Re，S（3.1）R - R + F -m g = m ImS（3.2）yA yB yi ii iM + M + R r sin 0 - R r cos 0 +1 i xA ci i yA ci iR （r - r ）sin0

55、- RyB（r - r ）cos0 =（3.3）xB i ciii ciiJ $ i i由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識可推得：ReS = Re A+ r 0 cos（0 +兀 /2） + r 02 cos（0 +兀）（3.4）ici i ici iiIms = ImA+ r 0 sin（0 +兀/2） + r 02 sin（0 +兀）（3.5）ici i ici ii將式（3.4）、式（3.5）代入式（3.1）、式（3.2）,并與式（3.3）合并得:RxAR睥M1m R A+ m r cos(0 +兀 / 2) + m r 0 2 cos(0 +兀)F + Ri ei ci iii ci iixi xBm R

56、A+ m r 0 sin(0 +兀 / 2) + m r 0 2 sin(0 +兀)F + R + m gi ei ci iii ci iiyi yB iJ 0 R r sin0 + R r cos0 R (r r )sin0 + R (r r ) cos0 Mi i xA ci i yA ci i xB i cii yB i cii i(3.6)曲柄MATLAB動(dòng)力學(xué)仿真模塊M函數(shù)根據(jù)式(3.6)編寫曲柄原動(dòng)件MATLAB的M函數(shù)如下:曲柄與水平方向夾角曲柄角速度曲柄角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)副B約束反力水平分量 轉(zhuǎn)動(dòng)副B約束反力垂直分量 轉(zhuǎn)動(dòng)副A約束反力水平分量 轉(zhuǎn)動(dòng)副A約束反力垂直分量 轉(zhuǎn)動(dòng)副A的驅(qū)動(dòng)

57、力矩function y=crankdy(x)%x(1)=theta-i%x(2)=dtheta-i%x(3)=ddtheta-i%x(4)=RxB%x(5)=RyB%y(1)=RxA%y(2)=RyA%y(3)=M1 g=9.8ri=0.4;rci=0.2;mi=1.2;Ji=0.016;Fxi=0;Fyi=0;Mi=0;ReddA=0;ImddA=0;y(1)=mi*ReddA+mi*rci*x(3)*cos(x(1)+pi/2)+mi*rci*x(2)2*cos(x(1)+pi)-Fxi+x(4); y(2)=mi*ImddA+mi*rci*x(3)*sin(x(1)+pi/2)+mi*

58、rci*x(2)2*sin(x(1)+pi)-Fyi+x(5)+mi*g;y(3)=Ji*x(3)-y(1)*rci*sin(x(1)+y(2)*rci*cos(x(1)-x(4)*(ri-rci)*sin(x(1)+x(5)*(ri-rci)*cos(x(1)-Mi;此函數(shù)模塊轉(zhuǎn)用于求動(dòng)副A的約束反力和曲柄上作用的驅(qū)動(dòng)力矩。輸入?yún)?shù)是 曲柄原動(dòng)件的角位移、角速度和角加速度以及轉(zhuǎn)動(dòng)副B的反作用力；輸出參數(shù)是轉(zhuǎn) 動(dòng)副A的約束反力和曲柄上作用的驅(qū)動(dòng)力矩。3.2 6Rm級桿組動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立3.2.16Rffl級桿組動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)分析由3個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副(B,C,D)和3個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副(E,F,G)組成的6R

59、III級桿組如圖3.2.1(a) 所示，其中具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的3個(gè)構(gòu)件：BE構(gòu)件、FC構(gòu)件和GD構(gòu)件的受力情況如 圖3.2.1(b)、(c)、(d)所示。除不受驅(qū)動(dòng)力矩外，其受力分析同曲柄的受力 分析是一樣的，直接給出公式為：R+ R= m ReB+ m r cos(0+兀 / 2) + m r 0 2 cos(0+兀)一F(3.7)xB xE ii ci iii ci iixiR+ R= m ImB+ m r 0 sin(0+ 兀 / 2) + m r 02sin(0+兀)一 F+ m (3.8)yB yE ii ci iii ci iiyi igR r sin 0 - R r cos0 -

60、R (r r )sin0 + R (r r )cos0 = J 0 - MxB ci i yB ci i xE i cii yE i cii i i iR + R = m Re C+ m r 0, cos(0 +兀 / 2) + m r 0 2 cos(0 +兀)-FxCxF jj cj jjj cj jjxjR + R =m ImC+ m r 0* sin(0 +兀 / 2) + m r 0 2 sin(0 +兀)-F + m gyC yF jj cj j jj cj jjxj jR r sin0 - R r cos0 - R (r - r )sin0 + R (r - r )cos0 =