數(shù)值計(jì)算方法解析課件

1、第一章 引論數(shù)值計(jì)算方法華長(zhǎng)生制作1第一章 緒論 1.3 誤差 1.1 數(shù)值計(jì)算的研究對(duì)象與特點(diǎn) 1.2 數(shù)值問題與數(shù)值方法華長(zhǎng)生制作2 1.1 計(jì)算機(jī)數(shù)值方法的研究對(duì)象與特點(diǎn)以計(jì)算機(jī)為工具,求解各種數(shù)學(xué)模型,都要經(jīng)歷三個(gè)過程:總體設(shè)計(jì)模型的細(xì)化詳細(xì)設(shè)計(jì)主要為算法設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)數(shù)值方法研究的是將數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題，并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法進(jìn)而設(shè)計(jì)數(shù)值算法華長(zhǎng)生制作3數(shù)值問題：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間關(guān)系即：輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題如求解線性方程組求解二次方程是數(shù)值問題一、數(shù)值問題 1.2 數(shù)值問題與數(shù)值算法華長(zhǎng)生制作4求解微分方程不是數(shù)值問題將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化”“離

2、散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題的主要方法，這也是計(jì)算方法的任務(wù)之一華長(zhǎng)生制作5二、數(shù)值方法數(shù)值方法:是指解數(shù)值問題的在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的系列計(jì)算公式在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)sqrt()常見的在計(jì)算機(jī)上不能直接運(yùn)行的計(jì)算有:開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等要在計(jì)算機(jī)上實(shí)行上述運(yùn)算需將其化為可執(zhí)行的等價(jià)或近似等價(jià)運(yùn)算華長(zhǎng)生制作6應(yīng)化為如求根公式應(yīng)化為公式華長(zhǎng)生制作7研究數(shù)值方法的主要任務(wù):1.將計(jì)算機(jī)上不能執(zhí)行的運(yùn)算化為在計(jì)算機(jī)上可 執(zhí)行的運(yùn)算2.針對(duì)所求解的數(shù)值問題研究在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行 的且有效的計(jì)算公式3.因?yàn)榭赡懿?/p>

3、用了近似等價(jià)運(yùn)算,故要進(jìn)行誤差分析, 即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性本課程的重點(diǎn)就是對(duì)線性方程組、微積分、微分方程、矩陣特征值及回歸擬合等問題尋找行之有效的數(shù)值方法華長(zhǎng)生制作8三、數(shù)值算法數(shù)值算法是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程.數(shù)值算法有四個(gè)特點(diǎn):1.目的明確算法必須有明確的目的,其條件和結(jié)論均應(yīng)有清楚的規(guī)定2.定義精確對(duì)算法的每一步都必須有精確的定義3.可執(zhí)行算法中的每一步操作都是可執(zhí)行的4.步驟有限算法必須在有限步內(nèi)能夠完成解題過程華長(zhǎng)生制作9例1. 給出等差數(shù)列1,2,3,10000的求和算法解:記數(shù)器置零華長(zhǎng)生制作10 1.3 誤差一、誤差的種類及來源模型誤差描述誤差在建立數(shù)學(xué)模

4、型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對(duì)問題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問題有一定的區(qū)別.觀測(cè)誤差參數(shù)誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差截?cái)嗾`差方法誤差由于計(jì)算機(jī)只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算,因此要將有些需用極限或無窮華長(zhǎng)生制作11過程進(jìn)行的運(yùn)算有限化,對(duì)無窮過程進(jìn)行截?cái)?這就帶來誤差.截?cái)嗾`差是對(duì)參與計(jì)算的數(shù)學(xué)公式做簡(jiǎn)化可行處理后所產(chǎn)生的誤差（用有限過程代替無限過程或用容易計(jì)算的方法代替不容易計(jì)算的方法），是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各

5、項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開華長(zhǎng)生制作12舍入誤差計(jì)算誤差在數(shù)值計(jì)算過程中還會(huì)遇到無窮小數(shù),因計(jì)算機(jī)受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差過失誤差由于模型錯(cuò)誤或方法錯(cuò)誤引起的誤差.這類誤差一般可以避免華長(zhǎng)生制作13數(shù)值計(jì)算中除了過失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所考慮和分析的就是截?cái)嗾`差和舍入誤差經(jīng)過大量的運(yùn)算之后,積累的總誤差有時(shí)會(huì)大得驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的研究對(duì)象.二、誤差和誤差限定義1. 華長(zhǎng)生制作14絕對(duì)誤差限或誤差限,顯然或且華長(zhǎng)生制作15哪個(gè)更精

6、確呢?定義2. relativeerror華長(zhǎng)生制作16絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限往往未知代替相對(duì)誤差代替相對(duì)誤差限因此華長(zhǎng)生制作17例1.解:華長(zhǎng)生制作18例2.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對(duì)誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個(gè)單位華長(zhǎng)生制作19; 四則運(yùn)算誤差限的公式: 故三、誤差的傳播與估計(jì)華長(zhǎng)生制作20即華長(zhǎng)生制作21華長(zhǎng)生制作22華長(zhǎng)生制作23華長(zhǎng)生制作24絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子相對(duì)誤差增長(zhǎng)因子華長(zhǎng)生制作25求近似數(shù)285.35,196.87,58.43,4.96的和,其中每個(gè)數(shù)的絕對(duì)誤差限為0.5*10-2 285.35196.8758.43+) 4.96 545.61和545.61的絕對(duì)誤差

7、限為: 4*(0.5*10-2)=0.020.5*10-1因此和545.61應(yīng)舍入為545.6 加減運(yùn)算華長(zhǎng)生制作26例2 求3.150950,15.426463,568.3758, 7684.388的和加減運(yùn)算0.5*10-3 C=8271.341沒有意義按最壞情況 估算誤差 3.150950 15.426463 568.3758 +7684.388 8271.341213 0.0000005 0.0000005 0.00005 + 0.0005 0.0005510 華長(zhǎng)生制作27例題 求和 3.150950 15.426463 568.3758 +7684.388 3.1510 15.42

8、65 568.3758 +7684.388 8271.3413 作舍入 處理 和的絕對(duì)誤差限為3*(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.5*10-2,可將結(jié)果舍入為8271.34華長(zhǎng)生制作28加減法運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (1) 大量運(yùn)算時(shí),有時(shí)會(huì)很大 例 計(jì)算多項(xiàng)式的值 如果將公式改寫 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)的情況a+b+ca+c+b華長(zhǎng)生制作29例如計(jì)算 采用3位浮點(diǎn)數(shù)以截?cái)喾绞竭M(jìn)行運(yùn)算從左到右的次序計(jì)算得y=2.91從右到左的次序計(jì)算得y=2.92 誤差0.017誤差0.007華長(zhǎng)生制作30例:方程x2-(109+1)x+109=0其精確解為x1=109, x2=1 字

9、長(zhǎng)為8位的計(jì)算器求解 華長(zhǎng)生制作31當(dāng)被減數(shù)和減數(shù)相差很大時(shí)，大數(shù)的相對(duì)誤差起主要作用 很小 約為1 華長(zhǎng)生制作32兩個(gè)相近數(shù)相減,易失有效位兩正數(shù)之差 C=x-y的相對(duì)誤差是因?yàn)閤和y的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有效數(shù)字位會(huì)大大減少，使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失。 例如：cos20=0.9994,1- cos20=0.0006避免這種情況,可以使用轉(zhuǎn)換公式;或者增加字長(zhǎng),維持一定有效位,保證精度 華長(zhǎng)生制作33乘積運(yùn)算乘積運(yùn)算的相對(duì)誤差為各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和，其相對(duì)誤差限等于各乘數(shù)相對(duì)誤差限之和 華長(zhǎng)生制作34求c=12.2*73.56的相對(duì)誤差限和絕對(duì)誤差限華長(zhǎng)生制作35商運(yùn)算商運(yùn)算的相對(duì)誤差

10、限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對(duì)誤差限之和華長(zhǎng)生制作36例 求c=25.7/3.6的相對(duì)誤差限和絕對(duì)誤差限華長(zhǎng)生制作37注意 (1) 當(dāng)分母很小時(shí)，|dc|可能很大舍入誤差 放大了106倍 華長(zhǎng)生制作38(2) 當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí),會(huì)因有效數(shù)字喪失而出現(xiàn)(1)的情況 這里分子的誤差被擴(kuò)大104倍華長(zhǎng)生制作39指數(shù)運(yùn)算x的p次冪的相對(duì)誤差是x本身的相對(duì)誤差的p倍若令p=1/q，則可得x的q次根的相對(duì)誤差是x本身相對(duì)誤差的1/q倍華長(zhǎng)生制作40例 求c=(12.2)2的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限 例 設(shè)正方形面積s=12.34,其絕對(duì)誤差限|s| 0.01,問邊長(zhǎng)a具有多大的相對(duì)誤差限和多少位有效數(shù)字？

11、華長(zhǎng)生制作41有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字四、有效數(shù)字定義3. 有8位有效數(shù)字只有5位有效數(shù)字華長(zhǎng)生制作42且因此,可根據(jù)上述分析對(duì)有效數(shù)字有如下結(jié)果:或華長(zhǎng)生制作43五、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則例8.計(jì)算定積分解:華長(zhǎng)生制作44 數(shù)值穩(wěn)定算法 在計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差能被控制在一定的范圍內(nèi)，且對(duì)最后的結(jié)果影響不大的算法稱為穩(wěn)定算法。不是數(shù)值穩(wěn)定的算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。 數(shù)值不穩(wěn)定算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真， 對(duì)數(shù)值不穩(wěn)定的算法常采用轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)值穩(wěn)定的算法來處理 。 華長(zhǎng)生制作45誤差放大 5千倍!但如果利用遞推公式華長(zhǎng)生制作46因此在計(jì)算公式選用及算法設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注意以下原則1. 四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問題(1) 防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算誤差會(huì)放大誤差不會(huì)放大華長(zhǎng)生制作47而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.華長(zhǎng)生制作48(2) 作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,會(huì)使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失由于在算法設(shè)計(jì)中,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減,則改變計(jì)算公式,如使用三角變換、有理化等等華長(zhǎng)生制作49例9.解方程解:由中學(xué)知識(shí)韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長(zhǎng)為8,基底為10的