(完整word版)高中物理競(jìng)賽-話題18：關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題

1、 話題18：關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題一、剛體的力學(xué)性質(zhì):討論的問(wèn)題中，研究對(duì)象是剛體、剛性球、剛性桿或拉直的、不可伸長(zhǎng)的線等，它們都具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，是不會(huì)發(fā)生形變的理想化物體，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離是恒定不變的；任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是由平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成的.如圖所示，三角板從位置ABC移動(dòng)到位置ABC，可以認(rèn)為整個(gè)板一方面做平動(dòng)，使板上點(diǎn)B移到點(diǎn)B，另一方面又以點(diǎn)B為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A、點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C.由于前述剛體的力學(xué)性質(zhì)所致，點(diǎn)A、C及板上各點(diǎn)的平動(dòng)速度相同，否則板上各點(diǎn)的相對(duì)位置就會(huì)改變.這里，我們稱點(diǎn)B為基點(diǎn).分析剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，基點(diǎn)可以任意選擇.于是我們得到剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則：

2、剛體上每一點(diǎn)的速度都是與基點(diǎn)速度相同的平動(dòng)速度和相對(duì)于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和.我們知道轉(zhuǎn)動(dòng)速度v二rw，r是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，剛體自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則，對(duì)于既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿或不可伸長(zhǎng)的線繩，每個(gè)時(shí)刻我們總可以找到某一點(diǎn)，這一點(diǎn)的速度恰是沿桿或繩的方向，以它為基點(diǎn)，桿或繩上其他點(diǎn)在同一時(shí)刻一定具有相同的沿桿或繩方向的分速度（與基點(diǎn)相同的平動(dòng)速度）.結(jié)論一、桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度.再來(lái)研究接觸物系接觸點(diǎn)速度的特征.由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相

3、同的法向分速度，否則將分離或形變，從而違反接觸或剛性的限制.至于沿接觸面的切向接觸雙方是否有相同的分速度，則取決于該方向上雙方有無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，若無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則接觸雙方將具有完全相同的速度.因此，我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論二、接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同.相交物系交叉點(diǎn)速度的特征是什么呢?我們來(lái)看交叉的兩直線a、b，如圖所示，設(shè)直線a不動(dòng)，當(dāng)直線b沿自身方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)P并不移動(dòng)，而當(dāng)直線b沿直線a的方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)P便沿直線a移動(dòng)，因交點(diǎn)P亦是直線b上一點(diǎn)，故與直線b具有相同的沿直線a方向的平移速度.同理，若直線b固定，直

4、線a移動(dòng)，交點(diǎn)P的移動(dòng)速度與直線a沿直線b方向平動(dòng)的速度相同.根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成原理，當(dāng)兩直線a、b各自運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)分別是兩直線沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).于是我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論三、線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和二、相關(guān)的速度所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個(gè)通過(guò)某種方式聯(lián)系起來(lái)的速度.比如一根桿上的兩個(gè)速度通過(guò)桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過(guò)繩發(fā)生聯(lián)系.（一）、當(dāng)繩（桿）端在做既不沿繩（桿）方向，又不垂直于繩（桿）方向的運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般要將繩（桿）端的運(yùn)動(dòng)分解為沿繩（桿）方向和垂直于繩（桿）方向二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。1、如圖所示的情況，繩AB拉著物體m在水平面上運(yùn)動(dòng)，A端以速度

5、v做勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)m做什么運(yùn)動(dòng)？1有的同學(xué)會(huì)將繩的速度V分解成豎直分速度vSina和水平分速度vcosa，以為木塊的速度u=vcosa（uv），而且vB隨著a的增大而越來(lái)越大。2、如圖所示，桿AB沿滑下，A、B二端的速度v和v也是二個(gè)相AB關(guān)的速度。將-分解成沿桿方向的分速-和垂直于桿的分速va2,將v分解成沿桿方向的分速v和垂直于桿的分速vBB1B2vA2由于桿的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，所以v二v,A1B1即vcosa=vsina，即ABv=vtanaAB3、如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v沿水平面0向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點(diǎn).求當(dāng)ZAOP時(shí)，AB桿的速度.

6、0分析與解這是接觸物系相關(guān)速度問(wèn)題.由題可知，桿與凸輪在A點(diǎn)接觸，桿上A點(diǎn)速度v是豎直向上的，輪上AA點(diǎn)的速度V是水平向右的，根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征,0兩者沿接觸面法向的分速度相同，如圖所示，即vcosa=vsina，則A0故AB桿的速度為vtana0（二）、兩桿交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)兩桿的交點(diǎn)同時(shí)參與了二桿的運(yùn)動(dòng)，而且相對(duì)每一根桿還有自己的運(yùn)動(dòng)，因而是一種比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。1、圖（a）中的AC、BD兩桿均以角速度繞A、B兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖示。當(dāng)t=0時(shí),a=卩=60。,試求t時(shí)刻兩棒交點(diǎn)M點(diǎn)的速度和加速度。本問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也是關(guān)聯(lián)速度的問(wèn)題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是兩桿的角速度相同，所以a

7、+P=1200不變，推知M點(diǎn)的軌跡在正三角形M外接圓上運(yùn)動(dòng).由此可重點(diǎn)在幾何模型上去探求解法。當(dāng)t=0時(shí)，AABM為等邊三角形，因此AM=BM=l，它的I外接圓半徑R=OM=斗l，圖（b）。二桿旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，a角增大的l(a)(b)角度一直等于0角減小的角度，所以M角的大小始終不變（等于600）,因此M點(diǎn)既不能偏向圓內(nèi)也不能偏向圓外，只能沿著圓周移動(dòng)，因?yàn)閆MOM和ZMAM是對(duì)著同一段圓弧(MM)的圓心角和圓周角，所以ZMOM二2ZMAM，即M以2o的角速度繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，任意時(shí)刻t的速度大小恒為2忑v=R(2)=l3向心加速度的大小恒為4J3a=R(2o)2=2l322OO=竺sin0O

8、O=爛sin0-l2在AOOO中:因?yàn)榻呛?角互補(bǔ)，所以O(shè)OO2二OO2+OO2-2OO-OOcos申cos申=一cos0OO=v2+v2+2vvcos0A1212sin0OO因此兩桿交點(diǎn)相對(duì)于紙平面的速度v=i：v2+v2+2vvcos0門(mén)0At1212sin0不難看出，經(jīng)過(guò)At時(shí)間后，原交點(diǎn)在l上的位置移動(dòng)到了A位置，因此交點(diǎn)相對(duì)l的11位移就是AO,交點(diǎn)相對(duì)l的速度就是：1,(AO+OO)v=1At(vAt-cot0+二)_isin0Atvcos0+v_12sin0用同樣的方法可以求出交點(diǎn)相對(duì)l的速度2vcos0+vV_212sin0因?yàn)锳t可以取得無(wú)限小，因此上述討論與Vi,V2是否為

9、常量無(wú)關(guān)。如果Vi,V2是變量,上述表達(dá)式仍然可以表達(dá)二桿交點(diǎn)某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。B3、如圖所示，合頁(yè)構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其邊長(zhǎng)之比為3：1，頂點(diǎn)A以速度v沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，3求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)B的速度.2分析與解:頂點(diǎn)B作為BA桿上的一點(diǎn)，其速度是沿BA桿方向的速度V及垂直于BA2112121桿方向速度V的合成；同時(shí)作為桿BA上的一點(diǎn),122其速度又是沿B2A2桿方向的速度V2及垂直于號(hào)2桿方向的速度V；的合成.由于兩桿互成直角的特定條件，由圖顯見(jiàn)，VV，21v_v12-故頂點(diǎn)%的速度可通過(guò)分篤速度的矢量和求得，而根據(jù)桿的約束的特征，得A2VV12A12A2于是可得vB2岸V)

10、2+岸V)22A12A2由幾何關(guān)系可知:VA2:v_AA:AA:AA_3:5:6A30102035vvA1A2由此求得上述解析，我們是選取了速度為沿桿方向的某一點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)考察頂點(diǎn)B的速度的.當(dāng)2然我們也可以選取其他合適的點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)分析.如圖O所示,若以A、A點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)122作為BA桿上的點(diǎn)，其速度是21與A點(diǎn)相同的平動(dòng)速度v和TOC o 1-5 h z1A對(duì)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v之合成，同時(shí)B點(diǎn)作為BA桿上的點(diǎn)，其速度是與A點(diǎn)相同的平1竹2222動(dòng)速度v和對(duì)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v之合成，再注意到題給的幾何條件，從矢量三角形中由A22n2余弦定理得v=；v2+v2-2vvcos135oB2WA1n1A

11、1n1而由矢量圖可知兩解殊途同歸.4、如圖所示，水平直桿AB在圓心為O、半徑為r的固定圓圈上以勻速U豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點(diǎn)處一小滑環(huán)M的速度，設(shè)OM與豎直方向的夾角為9.分析與解當(dāng)小環(huán)從圓圈頂點(diǎn)滑過(guò)圓心角為9的一段弧時(shí)，據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，將桿的速度u沿桿方向與圓圈切線方向分解，則M的速度為uv=sin9C5、如圖所示，直角曲桿OBC繞O軸在如圖所示的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿OA滑動(dòng).已知OB=10cm,曲桿的角速度3=0.5rad/s，求二60。時(shí)，小環(huán)M的速度.MB分析與解本題首先應(yīng)該求出交叉點(diǎn)M作為桿BC上一點(diǎn)的速度v，而后根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，求出該

12、速度沿OA方向的分量即為小環(huán)速度.由于剛性曲桿OBC以O(shè)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故其上與OA直桿交叉點(diǎn)的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑OM、大小是將其沿MA、MB方向分解成兩個(gè)分速度，如圖所示，即得小環(huán)M的速度為v=v=vtanp=103cm/s.MMAd之間的關(guān)系.軸環(huán)很薄且第二個(gè)軸環(huán)緊鄰第一個(gè)軸環(huán).分析與解軸環(huán)O2速度為v，將此速度沿軸環(huán)O1、O2的交叉點(diǎn)A處的切線方向分解成v、v兩個(gè)分量，如圖，由線狀相交物系交叉點(diǎn)相關(guān)速12度規(guī)律可知，交叉點(diǎn)A的速度即為沿對(duì)方速度分量注意到圖中顯示的幾何關(guān)系便可得vvv=a2sin92三、關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)的合成和分解的一個(gè)基本模型關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的關(guān)聯(lián)，分析時(shí)既要考慮

13、運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，又要考慮物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡，還要考慮連繩的長(zhǎng)度，建立好正確的幾何模型對(duì)解題至關(guān)重要。1、如圖所示，桿AB的A端以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，在桿運(yùn)動(dòng)時(shí)恒與一靜止的半圓周相切，半圓周的半徑為R,當(dāng)桿與水平線的交角為9時(shí),求桿的角速度及桿上與半圓相切點(diǎn)C的速度.分析與解考察切點(diǎn)C的情況.由于半圓靜止，桿上點(diǎn)C速度的法向分量為零，故點(diǎn)C速度必沿桿的方向.以點(diǎn)C為基點(diǎn)，將桿上點(diǎn)A速度V分解成沿桿方向分量V1和垂直于桿方向分量v（如圖所示），則v是點(diǎn)A與點(diǎn)C相同21CBRAO的沿桿方向平動(dòng)速度，V是點(diǎn)A對(duì)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，故可求得點(diǎn)C的速度為2v=v=v-cos9，C1又v=v-sinAC2由題給

14、幾何關(guān)系知，A點(diǎn)對(duì)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為AC二R-cot9代入前式中即可解得=vsin29Rcos9度是多大?分析與解首先根據(jù)繩約束特點(diǎn)，任何時(shí)刻繩BD段上各點(diǎn)有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v，再看繩的這個(gè)速度與物體A移動(dòng)速度的關(guān)系：設(shè)物體A右移速度為v，則相對(duì)于物體A（或動(dòng)滑輪B的軸心），繩上B點(diǎn)的速度為v，即xxv二v，BAx方向沿繩BD方向；而根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點(diǎn)速度是相對(duì)于參照系A(chǔ)（或動(dòng)滑輪B的軸心）的速度v與參照系A(chǔ)對(duì)靜止參照系速度vcosa的合成，即xxv=v+vcosa,BAx由上述兩方面可得vxv1+cosa3、如圖所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的

15、光滑釘子A上,以恒定的速度v拉繩，當(dāng)繩與豎直方向成a角時(shí)，求線軸中心O的運(yùn)動(dòng)速度v.設(shè)線軸的外徑為R，內(nèi)徑為r，線軸沿水平面做無(wú)滑0動(dòng)的滾動(dòng).分析與解當(dāng)線軸以恒定的速度v拉繩時(shí)，線軸沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).從繩端速度v到軸心速度v，是通過(guò)繩、軸相切接觸相關(guān)的.考察切點(diǎn)B的速度：本題中0繩與線軸間無(wú)滑動(dòng)，故繩上B點(diǎn)與軸上B點(diǎn)速度完全相同，即無(wú)論沿切點(diǎn)法向或切向，兩者均有相同的分速度.圖是軸上B點(diǎn)與繩上B點(diǎn)速度矢量圖：軸上B點(diǎn)具有與軸心相同的平動(dòng)速度v及對(duì)軸心的0轉(zhuǎn)動(dòng)速度rw（w為軸的角速度），那么沿切向軸上B點(diǎn)的速度為r-v0sina；而繩上B點(diǎn)速度的切向分量正是沿繩方向、大小為速度v，于是有關(guān)系式,

16、即rwvsina=v.0又由于線軸沿水平地面做純滾動(dòng)，故與水平地面相切點(diǎn)C的速度為零，則軸心速度為v二Rw，0由以上兩式可解得Rvv=0r-RsinaRv分析與解設(shè)木板與線軸相切于C點(diǎn)，則板上C點(diǎn)與線軸上C點(diǎn)有相同的法向速度v，而板上C點(diǎn)的這個(gè)法向速度正是C點(diǎn)關(guān)于Bn軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，如圖所示，即avBC=Rcot-n2現(xiàn)在再來(lái)考察線軸上C點(diǎn)的速度：它應(yīng)是C點(diǎn)對(duì)軸心O的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v和與軸心相同的平動(dòng)Cn速度v的矢量和，而v是沿C點(diǎn)切向的，則C點(diǎn)法向速度v應(yīng)是0Cnn又由于線軸為剛體且做純滾動(dòng)，故以線軸與水平面切點(diǎn)為基點(diǎn),應(yīng)有vvR+rR.vva將v=vsma、=-0兩式代入vRcoty式中，得1-c

17、osa=(R+r)v的速度va相同的方向是水平方向線軸的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成：平行于斜面的直線運(yùn)動(dòng)，其速度為v0；繞軸心的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度等于。在題中情況下，A點(diǎn)的速度（圖a）等于丁=丁+A0不難看出，v=R，且v丄v，由此可得ARv=0sina同理可以求出線軸與斜面相切C點(diǎn)的速度（圖b）齊=丁+卩C0其速度在斜面方向的投影為v=v一RC0將v=代人v=v-R得0sinaC0(b)1-sinasina6、輪子在直線軌道上作純滾動(dòng)，輪子邊緣點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道曲線稱為滾輪線設(shè)輪子半徑為R,輪子邊緣點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的滾輪線如圖所示，試求此滾輪線在最高點(diǎn)曲率半徑P和在最低點(diǎn)曲率半徑P12P解為計(jì)算P、P，可將輪子

18、的滾動(dòng)設(shè)計(jì)為最簡(jiǎn)單的勻速純滾動(dòng)，并將輪心相對(duì)直線軌道12的勻速度記為v.0P點(diǎn)相對(duì)直線軌道的運(yùn)動(dòng)速度等于P點(diǎn)相對(duì)輪心運(yùn)動(dòng)速度與輪心相對(duì)直線軌道運(yùn)動(dòng)速度之和，在最高點(diǎn)這一速度大小應(yīng)為v=2v10在最低點(diǎn)這一速度大小則降為v=0。0P點(diǎn)相對(duì)直線軌道的加速度等于P點(diǎn)相對(duì)輪心的加速度a，與輪心相對(duì)直線軌道的加速度之和，后者為零，故有a=av2a即為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，方向隨時(shí)變化，大小恒為a=a=P在最高點(diǎn)和在最低點(diǎn)的a顯然全部用作向心加速度，因此同有a心=v2-0Rv2據(jù)算式p=，可得a心v2p=4R1a心v2p=0度解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿

19、繩的方向，那么P的速度V=vcos9現(xiàn)取Q為參考系，因?yàn)镼無(wú)加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度。aa+aptn在Q系中，P有一個(gè)垂直于PQ的速度vvsin9。10v2v2sin29a0nllaViV0人血9sin(0+A0)sin9=sin9cosA0+cos9sinA0sin9迪tAtAtAtAtAt解法一、這是一個(gè)比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，將此運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：一個(gè)是B滑輪不動(dòng),卷?yè)P(yáng)機(jī)以速度v收吊索；另一個(gè)是AB段吊索長(zhǎng)度不變，B滑塊以0vV向右運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)運(yùn)動(dòng)使A滑塊得到了一個(gè)速度V=ism9第二個(gè)運(yùn)動(dòng)使A滑塊得到另一個(gè)速度v=-v-cot92v-vcos9A的真實(shí)速度v

20、=v+v-A12sin9將A的速度分解成沿吊索方向的分量鈿和垂直吊索方向的分量v:丄cos9v-vcos90sin9B速度的垂直于吊索的分量B丄所以A相對(duì)于B垂直于吊索方向的速度v-vcos9v=vv=0A丄B丄A丄sin9v2v2cos9A物體的向心加速度a=a丄=a丄l/cos9l00分析A的受力情況可知Tmgsin9Ncos9=maTcos9=N聯(lián)立，即可求得T解法二、以滑輪B為參照物，A物體速度可看成水平方向的速度v和豎直方向的速度v的合成，卷?yè)P(yáng)機(jī)雖然也有向左的速度v，但不影響吊索的速度，所以物體A沿吊索方向的速度亦為v.即0vvcos9v=vcos9+vsin9得v=o0sin9vvcos9A速度垂直吊索的分量v=vsin9-vcos9=A丄sin9以下同解法一。四、物理學(xué)中特殊的