抽象函數(shù)練習(xí)

1、抽象函數(shù)練習(xí)1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。2、已知函數(shù)對(duì)任意，滿足條件，且當(dāng)時(shí)，求不等式的解。 3、設(shè)函數(shù)的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對(duì)任何，成立。求：（1）； （2）對(duì)任意值，判斷值的正負(fù)。4、是否存在函數(shù)，使下列三個(gè)條件：；。同時(shí)成立？若存在，求出的解析式，如不存在，說明理由。5、設(shè)是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）；（2）若，求的取值范圍。6、設(shè)函數(shù)的反函數(shù)是。如果，那么是否正確，試說明理由。7、己知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；是定義域中的一個(gè)數(shù)）；當(dāng)時(shí)，。試問：（1）的奇偶性如何？說明理由

2、。（2）在上, 的單調(diào)性如何？說明理由。8、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在0，）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍。9. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求的定義域。10. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。11. 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，同時(shí)滿足下列條件：；，求的值。12. 設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。13. 設(shè)對(duì)滿足的所有實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，求的解析式。14. 設(shè)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，求證：在R上為增函數(shù)。15. 已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有，試判斷的奇偶性。參考解答：1、解：設(shè)，當(dāng)，即

3、，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。2、解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 3。3、解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對(duì)任意，有，這與題設(shè)矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對(duì)任意x，f（x）0恒成立。4、解：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如

4、下：（1）x1時(shí)，又x N時(shí)，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時(shí)有，則xk1時(shí)，xk1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。5、解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。6、解：設(shè)f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。7、解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0 x1x22a，則0 x2x12a，在（0，2a）上f

5、（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設(shè)2ax4a，則0 x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設(shè)2ax1x24a，則0 x2x12a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。8、解：（1）令y1，則f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，時(shí)，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，又，又，故。9.解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1，410、解：的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是11.解：取，得因?yàn)椋杂秩〉?2.解：令，得，即有或。若，則，對(duì)任意均成立，這與存在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對(duì)任意均成立，因此，對(duì)任意，有下面來證明，對(duì)任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對(duì)任意所以13、解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：14.證明：在中