復變函數與積分變換第4章解析函數的級數展開及其應用精課件

1、第4章 解析函數的級數展開及其應用本章首先介紹復數項級數和復變函數項級數的一些基本概念與性質；其次介紹冪級數的概念及其收斂性的判別、解析函數的Taylor級數和Laurent級數展開；最后應用Taylor級數與Laurent級數研究解析函數的一些性質 4.1復級數的概念及基本性質4.1.1復數數列與實數列一樣，把順序排列的一串復數：稱為復數列，記為zn(n=1,2,)，zn稱為數列的通項或一般項.定義4.1設zn(n=1,2,)為一復數列，zC如果對任意0，存在自然數N，當nN時，有則z稱為復數列zn的極限，記為此時也稱復數列zn收斂于z如果復數列zn沒有極限，則稱zn發(fā)散定理4.1假設 則

2、的充分必要條件是 且證必要性由 即得，充分性由可知.證畢.例4.1復數列 (n=1,2,)收斂于2i，因為收斂的復數列與收斂實數列有類似的性質，比如：收斂復數列zn的極限是唯一的；收斂復數列zn一定有界, 即存在正數M，使得zn M對任意自然數n成立.例4.2討論級數 的斂散性.解因為 發(fā)散，故原級數發(fā)散.由定理4.2及實數項級數收斂的必要條件易得下面結論.定理4.3 收斂的必要條件是定理4.4若 收斂，則 收斂.證假設 (n=1,2,)， 則 (n=1,2,)，因 收斂，由正項級數的收斂判別法知 和 都絕對收斂，再由定理4.2知 收斂.定義4.3若 收斂，則稱 絕對收斂，若 收斂,而 發(fā)散，

3、則稱 條件收斂.定理4.5假設zn =xn+iyn(n=1,2,)，則 絕對收斂的充分必要條件是 和 都絕對收斂.證必要性因為 (n=1,2,)，故由 絕對收斂可推得 和 絕對收斂.充分性由 和 絕對收斂知 收斂，又 從而 收斂，即 絕對收斂.收斂復級數有下述性質，其證明與實數項級數完全相同.設 收斂，,為常數，則 收斂，且設 絕對收斂，則它的Cauchy乘積 也絕對收，且4.1.3復變函數項級數定義4.4設fn(z)(n=1,2,)是定義在平面點集E上的復變函數列，稱為點集E上的（復變）函數項級數， 稱為部分和函數.如果對 收斂，稱z0為級數式(4.1)的一個收斂點.收斂點的全體稱為函數項級

4、數的收斂域.在收斂域內級數收斂于一個復變函數f(z)，稱f(z)為級數式(4.1)的和函數，記為 .例4.3討論 的收斂域，并求出和函數.解當 1時， ，故 發(fā)散;當 1時, 又部分和函數故和函數為 于是 的收斂域為z0，使得設 ，則 ，注意到而級數 收斂.由定理4.6知，級數 在開圓 盤 內絕對收斂，證畢.推論4.8若冪級數(4.2)在z=z2(z0)時發(fā)散，則它在區(qū)域zz0z2z0內任一點發(fā)散.事實上，若存在使得z0z2z0，且 收斂，則由定理4.7知級數 在zz00，使得a.當zz0R 時，冪級數（4.2）發(fā)散.定義4.5如果存在R:0R+，使得當zz0R 時，冪級數式式（4.2）發(fā)散，

5、則稱R為冪級數式（4.2）的收斂半徑，而圓盤zz0R 稱為冪級數式（4.2）的收斂圓.注：若冪級數式（4.2）的收斂半徑為R，則在圓周zz0=R 上，冪級數式（4.2）可能收斂可能發(fā)散.下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數的情形.定理4.9如果冪級數式（4.2）的系數滿足則冪級數式（4.2）的收斂半徑定理4.10如果冪級數式（4.2）的系數滿足 則冪級數式（4.2）的收斂半徑例4.4求冪級數 的收斂半徑與收斂域.解因為 ，故原級數的收斂半徑R=1，即收斂圓為 .而當 時， 因 ，而 收斂，由定理4.6知 在 上處處收斂，故它的收斂域為z1.例4.5求冪級數 的收斂半徑與收斂

6、域.解因為故原級數的收斂半徑R=1e，即收斂圓為z11e.當z1=1e 時，因為故 ，由級數收斂的必要條件知 上處處發(fā)散，從而原級數的收斂域即為收斂圓z11e.例4.6求冪級數 的收斂半徑，并討論它在z=0和z=2處的斂散性解因為 ，故原級數的收斂半徑R=1,即收斂圓為 z11.當z=2時，原級數為 ，它是調和級數，故發(fā)散；當z=0時，原級數為 ，由交錯級數的Leibniz判別法知級數收斂，即在收斂圓的邊界z1=1 上，原級數既有收斂點，也有發(fā)散點.4.2.2冪級數的性質（1）冪級數的運算性質 設 與 的收斂半徑分別為R1和R2，則 ,為常數；其中（2）冪級數的分析性質定理4.11設冪級數 的

7、收斂半徑為R，和函數為S(z)，則S(z)在zz0R 內解析，且S(z)可逐項求導S(z)在zz0R 內可逐項積分，即對收斂圓內任一點z有證明從略.4.2.3Taylor級數定理4.11表明冪級數式（4.2）的和函數S(z)在收斂圓zz0R 內解析，一個自然的問題是，圓內解析的函數能表達成冪級數嗎？下面的Taylor定理肯定地回答了此問題.定理4.12（Taylor定理）設f(z)在圓NR(z0)=z:zz0R 內解析，則f(z)在NR(z0)內可展開成冪級數其中 ，并且展式（4.4）是唯一的.證?。?R,并令：z0=,使得z落在的內部（圖4.2），則由Cauchy積分公式，得 圖4.2因為

8、，故由例4.3可知于是由Cauchy導數公式得其中令則q與積分變量無關且0q0，使得f(z)M 在成立，于是故 在式（4.6)兩端令N+，得式（4.4）和式（4.5），證畢.最后證明展式（4.4）的唯一性.設另有展式則由冪級數性質（定理4.11）有故展式是唯一的.稱式（4.4）中的級數為f(z)在點z0的Taylor展式，稱式（4.5）中的系數為其Taylor系數，而等式（4.4）右邊的級數稱為Taylor級數.由Taylor定理可得到刻畫解析函數的第四個等價命題.定理4.13f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件是f(z)在區(qū)域D內任何一點z0的某個鄰域內可展成zz0的冪級數.推論4.14f(z)

9、在點a解析的充要條件是f(z)在點a的某個鄰域內可展成za的冪級數其中收斂半徑R為從a到f(z)的距a最近的奇點的距離.下面應用Taylor定理來求一些初等函數的Taylor展式，這種方法稱為直接展開法.例4.7求f(z)= 在 處的Taylor級數.解因為f(z)= 在全平面上解析且故有時我們也可以借助已知函數的展開式，利用冪級數的運算性質及和函數的分析性質來求另一些函數的Taylor級數，即間接展開法，下面舉例說明這種方法：例4.8求sin z，cos z在 處的Taylor級數.解利用f(z)=sin z的定義及展開式（4.7）得但當n為偶數時 于是因為所以有應用定理4.11中的逐項微分

10、性質，在等式（4.8）兩邊微分有即cos z在z0=0處的Taylor級數為例4.9求ln(1+z)在 =0處的Taylor級數.解因為ln(1+z)在 =0處解析，且它的離z0=0最近的奇點為z1=1，故由推論4.14知它在z1 在內可展成關于z的冪級數.由例4.3知若在上式中用z代替z，則有在式（4.10）兩端同時積分并應用定理4.11中逐項積分性質得例4.10展開函數 成為z1的冪級數.解由 得下面再舉一個用待定系數法展開函數成Taylor級數的例子.例4.11求 (為復數）的主值支在z0=0處的Taylor級數.解因為 的主值支f(z)= 在z1 解析，且在圓周z=1 上有一個奇點z=

11、1，故必能展成z的冪級數且收斂半徑為R=1.因為即(1+z)f(z)=f(z)，將f(z)用式（4.9）左端代入得即比較上式兩端同次冪的系數得于是4.2.4解析函數的唯一性定理定義4.6如果f(z)在點z=a解析，且有則稱a是解析函數f(z)的m階零點.定理4.15不恒為零的解析函數f(z)以a為m階零點的充要條件是其中(z)在點z=a處解析且(a)0.證明必要性：假設f(z)以a為m階零點，則由上述定義及Talory定理，在a的某個鄰域zaR 內，有其中 在點a處解析且 . 充分性的證明略.例如f(z)=zsin z以z=0為3階零點.這是因為又如函數 以z=1為2階零點，這是因為其中 在點

12、z=1處解析且 0.同理可知f(z)以z=3為5階零點.定理4.16（解析函數零點的孤立性）設f(z)在zaR 內解析且以a為零點，則存在r(0rR), 使得f(z)在Nr（a）a內無零點，除非f(z)0.證明若f(z)不恒為零，不失一般性，設f(z)以a為m階零點，則由定理4.15可知，其中(z)在點z=a處解析且（a）0，由此存在a的一個充分小的鄰域Nr（a）:zar 上絕對收斂.當rR時，雙邊冪級數式（4.12）在圓環(huán)H:r R上絕對收斂于圓環(huán)H內解析的和函數.一個自然的問題是，圓環(huán)內解析的函數能表達成雙邊冪級數嗎？下面的Laurent定理肯定地回答了此問題.4.3.2Laurent級數

13、定理4.19（Laurent定理）設f(z)是圓環(huán)域H:r R內的解析函數，則 zH，有其中為圓周 =(rR)，并且展式(4.13）是唯一的.證明對 H，取1,2，使得 由Cauchy積分公式，得 圖4.3其中j:zz0=j(j=1,2).同式（4.6）證明類似可得其中當1時， 于是故其中令則q與積分變量無關且0q0，使得f(z)M在1成立，于是故 ，在式（4.17）兩端令N+，得其中取為圓周z0=(rR)，因為f（）在rz0R內解析，故由多連通區(qū)域的Cauchy積分定理知于是式(4.16)、式(4.18)可統(tǒng)一為式(4.14)，證畢.最后證明展式（4.13）的唯一性.設另有展式取為圓周z0=

14、(rR)，由逐項可積性定理得或故cn=cn(n=0,1,2,).稱式(4.13)中的級數為f(z)在點z0的Laurent展式，稱式(4.14)中的系數為其Laurent系數，而等式(4.13)右邊的級數稱為Laurent級數.注：（1）當f(z)在圓NR(z0)內解析時， NR(z0)可視為圓環(huán)的特殊情形，于是f(z)在NR(z0)內可展成Laurent級數，且由式(4.14)及Cauchy定理可知，當n0時，cn=0，表明此時的Laurent級數就是Taylor級數.因此，Taylor級數是Laurent級數的特例.（2）一般來說，例4.13因為函數 在0z內解析，則由Laurent定理可

15、知，此函數在0z內能表達成Laurent級數，且由sin z的Taylor展式得例4.14在z=0的去心鄰域：0z1內，函數 的Laurent級數為例4.15求 的Laurent級數，其中0z.解在 的Taylor級數中用 代替z，我們有 的Laurent級數形式例4.16求函數分別在域 內的Laurent級數.解顯然函數f(z)在 C上有兩個奇點z=1和z=2，在域 (1)z1;(2)1z2;(3)2z+;(4)1z1+ 內均解析， 則f(z)在上述區(qū)域內均可展成Laurent級數.首先注意（1）（2）（3）即（4）例4.17將函數 在z=1的去心鄰域內展成Laurent級數.解利用正余弦函

16、數的展開式得例4.18求積分 其中C 為繞原點的正向簡單閉曲線.解f(z)= 在圓環(huán)0z0，使得對 zNR(z0) z0，有f(z)M，且 ，其中于是當n0時，即cn=0,(n=1,2,),f(z)在z0的主要部分為零.對于極點，有下述定理.定理4.21設z0是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在點z0的主要部分為 其中(z)在點z= z0處解析且(z0)0; z0是函數1f(z)的m階零點.證明 ：由假設有其中 在點z=z0處解析且(z0)=cm0. ：由假設知， 在點z=z0處解析且(z0)0，因為由定理4.15可知，z0是函數 的m階零點. ：設z0是函數 的m階零點，根據

17、定理4.15可設其中(z)在點z= z0處解析且(z0)0，那么 也在點z= z0處解析，從而有其中1(z0)=a00.故可見f(z)在點z0的主要部分為式(4.19)的形式.推論4.22函數f(z)以孤立奇點z0為極點的充要條件是注意本性奇點是既不為可去奇點，又不為極點的孤立奇點，因此，對本性奇點有定理4.23.定理4.23設z0是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.f(z)在點z0的主要部分為無限多項; 不存在，也不為.例4.19求下列函數在C上的所有奇點并判別其類型解（1）f(z)的有限奇點為z=0，因為z=0為sin z的一階零點，故z=0為f(z)的二階極點.事實上f(z)可表為 ，

18、其中(z)在點z=0處解析且(0)0.（2）g(z)的有限奇點為z=0,z=i，其中z=0為g(z)的三階極點，z=i為g(z)的二階極點，z=i為g(z)的一階極點.（3）h(z)的所有有限奇點為z=2ki(k=0,1,2,3,).當z0 =0時故z0 =0為h(z)的可去奇點.當zk=2ki0時，因為zk是ez1的一階零點，于是zk是 的一階極點，又zk是1z解析點，從而zk是h(z)的一階極點.4.3.4解析函數在無窮遠點的性態(tài)如果f(z)在的某個去心鄰域N(): 0rz+內解析，則稱是f(z)的孤立奇點.令=1z，則F（）=f1在原點的去心鄰域 內解析,即=0是F（）的孤立奇點，自然地

19、有如下定義.定義4.9如果=0是F（）的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點，則稱z=是函數f(z)的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點.根據Laurent定理，可設于是有其中 (n=0,1,2,)，對應于F（）在=0的主要部分，我們稱為f(z)在z=的主要部分.根據定義4.9，類似定理4.20、定理4.21、定理4.23，可得下列定理.定理4.24設是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在的主要部分為零；f(z)在的某個去心鄰域內有界.定理4.25設是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在的主要部分為f(z)=zm(z)，其中(z)在點處解析且0；是函數1f(z)的m階零點.定理4.26函數f(z)以孤立奇點為極點的充要條件是定理4.27設是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.f(z)在的主要