大學物理第17章.量子力學基礎課件

1、第17章 量子力學17.1 物質(zhì)的波粒二象性17.2 不確定關系17.3 薛定諤方程17.4 一維無限深勢阱 17.5 勢壘貫穿17.6 氫原子的量子力學處理17. 7 多電子原子17. 8 量子力學的理論假設17.1 物質(zhì)的波粒二象性1672年Newton提出光的微粒說：1678年惠更斯提出光是縱向波：干涉、衍射、偏振；黑體輻射、光電效應1905年Einstein 提出光子的能量：1917年Einstein 又提出光子不僅有能量，而且有動量P1.光的二象性光具有波粒二象性!波動性 ( , v)粒子性 (m , p)一、德布羅意物質(zhì)波假設 2.微粒的波動性1924年de Broglie 根據(jù)光

2、的波粒二象性，提出了： de Broglie一個能量為E、動量為P 的實物粒子同時具有波動性，波長和頻率分別是一切實物粒子也具有波粒二象性。實物粒子：靜止質(zhì)量不為0的粒子。 例如：電子、質(zhì)子等。實物粒子的波又叫de Broglie 波(物質(zhì)波或概率波）。二. de Broglie 波的實驗驗證戴維孫-革末：單晶電子衍射實驗（1927）UNi單晶GUIIU當電壓為54V, = 65電子流最強 = 65, d=0.091nm, n=1=0.165nm=0.167nm粒子性:實驗: 電子通過金薄膜的衍射實驗2. 湯姆遜（G.P.Thomson）實驗（1927）電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗3.

3、 約恩遜(Jonsson)實驗（1961）基本數(shù)據(jù)透射電鏡（transmission electron microscope TEM） 透射電鏡是以電子束透過樣品經(jīng)過聚焦與放大后所產(chǎn)生的物像， 投射到熒光屏上或照相底片上進行觀察。微粒的波動性的應用-電子束代替光波來實現(xiàn)成像(電子顯微鏡)電子與物質(zhì)相互作用會產(chǎn)生透射電子，彈性散射電子，能量損失電子，二次電子，背反射電子，吸收電子，X射線，俄歇電子，陰極發(fā)光等等。電子顯微鏡就是利用這些信息來對試樣進行形貌觀察、成分分析和結構測定。掃描電鏡（scanning electron microscope SEM） 掃描電鏡是用極細的電子束在樣品表面掃描，

4、將產(chǎn)生的二次電子用特制的探測器收集，形成電信號運送到顯像管，在熒光屏上顯示物體。 TA16 (Ti-Al-Zr)經(jīng)11017 N+/ cm2注入后的TEM形貌及對應的衍射斑點鈦合金在多種強腐蝕性介質(zhì)中具有很強的耐蝕性，故在能源工業(yè)中它是重要的候選結構材料，它應用于制造原子能核反應堆的結構材料，海洋熱能轉換（OTEC）系統(tǒng)熱交換器，地熱鹽水試驗用熱交換器，海水冷卻表面冷凝器管 不同摻雜濃度ZnO:Al薄膜的掃描電子顯微鏡SEM圖像 摻鋁ZnO薄膜具有可見光區(qū)高透過率和低電阻率的特點，所以很適合制作太陽能電池和平板顯示器件的透明電極，另外也可用來制作聲表面波器件和光波導等。 三. 物質(zhì)波的統(tǒng)計解釋

5、 (1926年玻恩) 波 動 觀 點 粒 子 觀 點 明紋處: 波 強 大 電子出現(xiàn)的概率大 暗紋處: 波 強 小 電子出現(xiàn)的概率小 波強與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。 可見，物質(zhì)波是一種概率波 。xxs2s1poDdr2r1.電子束用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。r（軌道角動量量子化條件）朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”，“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”經(jīng)典粒子: 只需考慮粒子性, 遵從決定論, 適用牛頓力學。微觀粒子: 波粒二象性, 遵從概率定律, 適用量子力學。 問題:2.E=mc2=hv 對實物粒子: =c ?

6、錯。 1. 經(jīng)典粒子與微觀粒子有何區(qū)別?例17.1.1 (1)電子動能Ek=100eV；(2)子彈動量p=6.63106kg.m.s-1, 求德布羅意波長。解: (1)因電子動能較小，速度較小，可用非相對論公式求解。=1.23(2)子彈:h= 6.6310-34= 1.010-40m 可見，只有微觀粒子的波動性較顯著；而宏觀粒子(如子彈)的波動性根本測不出來。 例17.1.2 用5104V的電壓加速電子，求電子的速度、質(zhì)量和德布羅意波長。解: 因加速電壓大，應考慮相對論效應。 =1.24108(m/s)=1010-31 (kg)=0.0535mo=9.1110-31 (kg)17.2 不確定關

7、系 波和粒子是兩個截然不同的概念。既然微觀粒子具有明顯的波粒二象性,那么采用經(jīng)典力學的方法描述微觀粒子,就將受到限制。 yx圖17-2.單能電子束衍射后: 落在中央明紋范圍內(nèi)的電子動量 的不確定范圍為 0pxpsin先考慮中央明紋。px=0, py=p電子衍射前:對第一級衍射暗紋，有 xsin = , 其中x縫寬于是若計及更高級次的衍射, 應有 xpx h即電子在x方向上動量的不確定量為 px= psinyx圖17-2.單能電子束 xpx= h對y和z分量，也有類似的關系。 xpx h (17-1)還可寫為 實際上上述公式只用于數(shù)量級的估計,所以這些公式所反映的物理內(nèi)涵是相同的。 式(17-1

8、)(17-2),(17-3)稱為不確定關系，又稱測不準關系。(17-2)(17-3)1.不確定關系式(17-3)表明： 微觀粒子的坐標測得愈準確( x0)，動量就愈不準確(px) ； 微觀粒子的動量測得愈準確(px0) ，坐標就愈不準確( x) 。 但這里要注意，不確定關系 不是說微觀粒子的坐標測不準； 也不是說微觀粒子的動量測不準； 更不是說微觀粒子的坐標和動量都測不準； 而是說微觀粒子的坐標和動量不能同時測準。(17-3) 這是因為微觀粒子的坐標和動量本來就不同時具有確定量。 這本質(zhì)上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上討論可知，不確定關系是自然界的一條客觀規(guī)律,不是測量技術和主觀能

9、力的問題。 2.為什么微觀粒子的坐標和動量不能同時測準呢?3.不確定關系提供了一個判據(jù)： 當不確定關系施加的限制可以忽略時，則可以用經(jīng)典理論來研究粒子的運動。 當不確定關系施加的限制不可以忽略時，那只能用量子力學理論來處理問題。 例題17.2.1 估算氫原子中電子速度的不確定量。 解 電子被束縛在原子球內(nèi), 坐標的不確定量是x=10-10m(原子的大小), 按不確定關系: xpx h,則電子速度的不確定量為 電子速度的不確定量是如此之大！ 可見,微觀粒子的速度和坐標不能同時準確測定。 這也表明，不確定關系施加的限制不允許我們用經(jīng)典理論來研究氫原子的問題，像氫原子這樣的微觀粒子只能用量子力學理論

10、來處理。例題17.2.2 子彈質(zhì)量m=0.1kg , 速度測量的不確定量是x=10-6 m/s (應當說這個測量夠精確的了！)，求子彈坐標的不確定量。 解 按不確定關系: xpx h,則子彈坐標的不確定量為 可見, 子彈的速度和坐標能同時準確測定。 這表示，不確定關系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來研究它的運動。例題17.2.3 波長=5000的光沿x軸正方向傳播，波長的不確定量為=10-3，求光子坐標的不確定量。 解 光子的動量按不確定關系: xpx h, 則光子坐標的不確定量為17.3 薛定諤方程 1.波函數(shù) 對微觀粒子，由于不確定關系施加的限制不可以忽略，它的速度

11、和坐標不能同時確定，因此微觀粒子的運動狀態(tài),不能用坐標、速度、加速度等物理量來描述。 由于微觀粒子具有波粒二象性，這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。波函數(shù)就是作為量子力學基本假設之一引入的一個新的概念。 量子力學認為：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復函數(shù)(x,y,z,t)來描述，函數(shù)(x,y,z,t) 稱為波函數(shù)。2.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波 動 觀 點 粒 子 觀 點明紋處: 電子波強(x,y,z,t)2大, 電子出現(xiàn)的概率大;暗紋處: 電子波強(x,y,z,t)2小, 電子出現(xiàn)的概率小 。 可見，波函數(shù)模的平方(x,y,z,t

12、)2與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。xxs2s1po圖17-1D2ar2r1.電子束K=0K=1K=1K=2K=2 1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋： 波函數(shù)模的平方(x,y,z,t)2 表示粒子在t 時刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率，即概率密度。 而(x,y,z,t)2 dxdydz 上式一般稱為波函數(shù) 的歸一化條件。波函數(shù)都應當是歸一化的。(17-21) 玻恩對波函數(shù)的這種統(tǒng)計解釋，把微觀粒子的波粒二象性作出了完美的描述。 (1)因為在整個空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率是1, 所以有 表示粒子在t 時刻在(x,y,z)處的體積元dxdydz中出現(xiàn)的概率。 (2

13、)波函數(shù)的標準條件 由于一定時刻在空間給定點粒子出現(xiàn)的概率是唯一的, 并且應該是有限的(具體說應該小于1), 在空間不同點處,概率分布應該是連續(xù)的,不能逐點躍變或在任何點處發(fā)生突變。 因此，波函數(shù) 的標準條件應該是：單值、有限、連續(xù) 。 應當指出，物質(zhì)波與經(jīng)典物理中的波動是不同。對機械波,y表示位移;對電磁波,y表示電場E或磁場B，波強與振幅A的平方成正比。 在量子力學中,物質(zhì)波不代表任何實在的物理量的波動, 波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t 時刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率。 在量子力學中微觀粒子的運動狀態(tài)是用波函數(shù)(x,y,z,t)來描述的。 但描述微觀粒子運動狀

14、態(tài)的波函數(shù)(x,y,z,t)又到那里去尋找呢？ 答案是：求解薛定諤方程。 3.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程 根據(jù)德布羅意關系式,能量為E和動量為p的自由粒子與一單色平面波相聯(lián)系,波長和頻率為 =h/p, v=E/h 由波動理論可知, 頻率為v 、波長為 、沿x方向傳播的單色平面波的波動方程為寫為復數(shù)形式就是這就是自由粒子的波函數(shù)。通常寫成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空間某處出現(xiàn)的概率密度為 由此可見,概率密度不隨時間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),簡稱定態(tài)。(x,t)=o現(xiàn)在研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。自由粒子勢能為零，在非相對論情況下有在以上式子中消去p, E，就得 4.定態(tài)薛

15、定諤方程 若粒子在某勢場U中運動, 則粒子的總能量應為設(17-29)于是就得這是薛定諤方程的一般形式。拉普拉斯算符哈密頓算符于是薛定諤方程的一般形式可寫為(17-34)若勢能U不顯含時間t ,則并注意到得將上式兩端除以=E其解上式稱為定態(tài)薛定諤方程。概率密度： 概率密度不隨時間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),即為定態(tài)。波函數(shù)：另一方程:(17-32)17.4 一維無限深勢阱 設質(zhì)量為m的粒子,只能在0 xa的區(qū)域內(nèi)自由運動,粒子在這種外力場中的勢能函數(shù)為 0oaxU(x)圖17-3在阱外,粒子出現(xiàn)的概率為零,故(x)=o在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為 0oaxU(x)圖17-3令有 它的通解是： (x)=

16、Acoskx+Bsinkx式中A，B是由邊界條件決定的常數(shù)。oaxU(x)圖17-3(x)=Acoskx+Bsinkx 由于(x)在x=0處必須連續(xù),所以有 (0)=A=0故波函數(shù)：(x)=Bsinkx 又由于(x)在x=a處也必須連續(xù), 所以又有 (a)=Bsinka=0故 ka=n于是(n=1,2,) (n=0, (x)=0;而n為負數(shù)與正數(shù)表達同樣的概率,所以n=1,2,.)1.能量是量子化的。(n=1,2,)于是(n=1,2,) (17-42) 可見，粒子的能量只能取不連續(xù)的值，這叫做能量量子化。整數(shù)n叫做量子數(shù)。 當n=1是粒子的基態(tài)能級。注意,這與經(jīng)典理論所得結果是不同的。因為根據(jù)

17、經(jīng)典理論, 粒子的最低能量應該為零。E1又稱為零點能。2.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布波函數(shù)：(x)=Bsinkx，由歸一化條件得于是歸一化波函數(shù)為(17-41) 根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相同的。 量子力學給出粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點的概率密度為(n=1,2,) E1E2E3ox圖17-4a 這一概率密度是隨x改變的,粒子在有的地方出現(xiàn)概率大,在有的地方出現(xiàn)的概率小,而且概率分布還和量子數(shù)n有關。 例題17.4.1 設質(zhì)量m的微觀粒子在寬度為a的一維無限深方勢阱中運動，其波函數(shù)為 求：(1)粒子的能量和動量；(2)概率密度最大的位置。解 (1)量子數(shù)n=3,粒子的能量:又(2)概率

18、密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點的概率密度為有極大值的充要條件是解得E1E2E3ox圖17-4a*17.5 一維勢壘 隧道效應17.6 量子力學對氫原子的描述 應用玻爾理論,可以成功地解釋氫原子的光譜規(guī)律,但是玻爾仍然把電子視為經(jīng)典粒子,認為電子沿著確定的軌道在運動。同時又人為地加上了一些量子條件,所以玻爾理論實質(zhì)上是半經(jīng)典半量子的不完整的理論體系,無法解釋多電子原子的光譜等問題。電子是微觀粒子,它具有波粒二象性,必須應用量子力學才能正確描述電子在氫原子中的運動。 設原子核不動，電子是在原子核的庫侖場中運動,其勢能為(與時間無關)波函數(shù)應滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、 歸一化。 由于U(r

19、)呈球?qū)ΨQ, 顯然取球坐標較方便。取原子核為坐標原點，其定態(tài)薛定諤方程為 (r,)是球坐標中的波函數(shù), 可以分離變量： (r, , ) =R(r)()() (17-47) 在E0(束縛態(tài))的情況下求解上述方程，可得如下結論： 1. 能量量子化 為使波函數(shù)滿足標準條件，電子(或說是整個原子)的能量只能是(主量子數(shù): n=1,2,) (17-48)這和玻爾理論的結果一致。2. 角動量量子化 為使波函數(shù)滿足標準條件，電子的角動量為副量子數(shù)(角量子數(shù)): l=0,1,2,(n-1) 3.角動量的空間量子化 為使波函數(shù)滿足標準條件，電子角動量在任意方向(例如z軸正向)的分量Lz滿足下面的量子化條件:(1

20、7-49)(17-50)磁量子數(shù): ml=0,1, 2,l 由上分析可知，不僅電子角動量的大小是量子化的,而且它在空間的方向也有一定的限制，即它在任意方向(例如z軸正向)的分量,也只能取一系列分立的數(shù)值,這稱為空間量子化。 例如：l=1, 圖17-5zL0z04.電子的概率分布 電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波函數(shù)：nl (r, , ) =Rnl(r)l () () 電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度:nl (r, , ) 2 可見，氫原子中的電子是按一定的概率分布在原子核的周圍,這和玻爾理論中電子是在一定軌道上運動完全不同。這種電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度,人們往往形象化地稱之為“電子云”。

21、 例如：對1S態(tài)的電子，其概率密度為(玻爾半徑) 由于p1s是r 的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(從r=0到r=)每點都有一定的概率，只是概率大小不同而已。這和玻爾的軌道運動概念完全不同。而玻爾半徑只是概率最大的位置。aorp1s圖17-617.7 多電子原子 1921年，斯特恩(O.Stern)和蓋拉赫(W.Gerlach)實驗證明，電子除了繞核運動外,還有自旋。 應當指出，電子的自旋是一種量子力學效應，不是機械的自轉。 用量子力學理論可以證明，電子自旋角動量為(17-51) 自旋角動量在任意方向(例如z軸正向)的分量Sz滿足下面的量子化條件：(17-52)自旋磁量子數(shù):一、電子自旋 四個量子數(shù)

22、z0 (1)主量子數(shù)：n=1,2,3,。 它大體上決定了原子中電子的能量。 (2)角量子數(shù)：l=0,1,2,(n-1)。 它決定電子繞核運動的角動量的大小。一般說來,處于同一主量子數(shù)n,而不同角量子數(shù)l的狀態(tài)中的各個電子,其能量稍有不同。 (3)磁量子數(shù)：ml=0,1,2,l。 它決定電子角動量z分量Lz的量子化，即空間量子化。 它決定電子自旋角動量的z分量Sz的量子化, 也影響原子在外磁場中的能量。(4)自旋磁量子數(shù)： 。 總結起來, 原子中電子的運動狀態(tài)應由四個量子數(shù)決定。 除了氫原子以及類氫離子以外,其他元素的原子核外都有兩個或兩個以上的電子。要從解薛定諤方程求出描寫電子運動的波函數(shù)和能

23、級是非常復雜和困難的。在量子力學中常采用近似的計算方法。 可以證明,原子核外電子的運動狀態(tài)仍由四個量子數(shù)來確定。 原子的殼層結構： 1916年柯塞爾(W.Kossel)對多電子原子系統(tǒng)提出了殼層結構學說： 主量子數(shù)n相同的電子分布在同一殼層上。 n= 1, 2, 3, 4， 5, 6 K, L, M, N, O, P .二、原子的殼層結構 l=0, 1, 2, 3, 4 . s, p, d, f, g 如：n=3, l=0, 1, 2分別稱為3s態(tài), 3p態(tài), 3d態(tài) 主量子數(shù)n愈小其相應的能級愈低。在同一殼層中,角量子數(shù)l愈小,其相應的能級愈低。 多電子原子系統(tǒng)中,核外電子在不同的殼層上的分布還要遵從下面兩條基本原理： 1.泡利不相容原理 一個原子系統(tǒng)內(nèi)，不能有兩個或兩個以上電子