微積分下第九章課件

1、9.1 二重積分的概念與性質(zhì)9.2 二重積分的計算法9.4 重積分的應(yīng)用9.3 三重積分的概念及計算法第9章 重積分1定積分: 推廣:被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一元函數(shù)被積函數(shù)積分范圍區(qū) 間29.1 二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的概念一、問題的提出三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)3.求曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體體積=特點D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂.頂是曲的.4平頂柱體體積=底面積高 求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似代替、求和、取極限”的方法解決5(1)

2、分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(用 表示第i個子域的面積) .將域D任意分為n個子域(2)近似代替(3)求和(4)取極限步驟6.求平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.將D分割成n個小塊(2)近似代替(1) 分割(3)求和(4)取極限7二、二重積分的概念8這和式則稱此零時,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即(4)積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素91.對二重積分定義的說明：(1)2個任意性,(3)可積的必要條件:若f(x,y)在D上可積,則f(x,y)在D上有界.(4)可積的充分條件:若f(x,y)在D上連續(xù),則f

3、(x,y)在D上可積.(5)若f(x,y)在D上可積,無界必不可積102.二重積分的幾何意義11例 設(shè)D為圓域?二重積分=解 上述積分等于是上半球面,上半球體的體積：RD例12性質(zhì)當(dāng) 為常數(shù)時，性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)13性質(zhì)對區(qū)域具有可加性性質(zhì)若 為D的面積，特殊地性質(zhì)若在D上則有(比較性質(zhì))14性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）15例的值= ( ).(A) 為正(B) 為負(fù)(C) 等于0(D) 不能確定為非正B16解17例 比較oxy 1 12C(2,1)的大小,則( )(D) 無法比較.18(1)設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x, y)

4、關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)8則D1為D在第 一象限中的部分,坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于補(bǔ)充奇偶對稱性結(jié)論:19這個性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz 區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù) 區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)20（2）若D關(guān)于y軸對稱， D1為D在右半平面部分，則有：類似地,oxyD121設(shè)D為圓域(如圖)0D1為上半圓域例22 解由性質(zhì)得 例23 今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時, 注意被積函數(shù)的奇偶性. 積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:24二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）四、小結(jié)25思考題1提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),(A)(B)(C) (D)不存在.利用積分中值定理.26利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點是圓域內(nèi)的一點.27(A)(B)(C)(D)0.A為頂點的三角形區(qū)域,D1是D在第一象限的部分,思考題228D1D2D3D4記 I=則I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1