4能觀能控敏感魯棒

1、第4章線性離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法4.1狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程的時(shí)域解4.2.1時(shí)域解Z域解能控性、能達(dá)性、能觀性和能測(cè)性狀態(tài)能控性狀態(tài)能達(dá)性狀態(tài)能觀性狀態(tài)能測(cè)性4.4實(shí)現(xiàn)4.4.1由差分方程求實(shí)現(xiàn)4.4.2由傳遞函數(shù)求實(shí)現(xiàn)4.4.3帶有零階保護(hù)器的傳遞函數(shù)的離散化實(shí)現(xiàn)4.5傳遞函數(shù)、特征方程及穩(wěn)定性4.5.1傳遞函數(shù)4.5.2特征方程4.5.3穩(wěn)定性4.6反饋系統(tǒng)分析4.7敏感性和魯棒性0圖4.1線性離散時(shí)間狀態(tài)空間方程變量結(jié)構(gòu)圖4.1狀態(tài)空間方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)x(0)=x0其中：x(k)1狀態(tài)向量；nx1u(k)1輸入向量；rx1

2、y(k)1輸出向量；m1F狀態(tài)(一步)轉(zhuǎn)移矩陣；nxnG輸入矩陣；nxrC輸出矩陣；mxnD(輸入輸出)直傳矩陣，mxr一般只考慮D=0的情況，式4.1成為x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)?4.2y(k)=Cx(k)x(0)=x則式4.3成為4.34.44.54.2狀態(tài)空間方程的時(shí)域解4.2.1時(shí)域解由式4.1,設(shè)有初始值x(0)=x0,為nx1向量，及輸入序列向量u(k),k=1,2可得x(0)=x0 x(1)=Fx+Gu(0)0 x(2)=Fx(1)+Gu(1)=F2x+FGu(0)+Gu(1)0 x(3)二Fx(2)+Gu(2)二F3x+F2Gu(0)+FGu(1)+Gu(2)0 x

3、(k)=Fkx+Fk1Gu(0)+Fk-2Gu(1)+0+FGu(k-2)+Gu(k-1)=Fkx+迓FiGu(k1i)=Fkx+迓Fk-1-Gu(i)00i=0i=0=Fkx+Fk-1G*u(k1)0y(k)=Cx(k)=CFkx+園CFG(k1i)0i=0定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0(k)=Fk其意義是對(duì)于零輸入時(shí)的狀態(tài)，有x(k+n)=Fkx(n)x(k)=(k)x+迓Q(i)Gu(k-1-i)0i=。4.60,使得4.14x(N)=Fnx+另FiGu(N-1-i)=00i=0則稱式4.1第一式是狀態(tài)可控的?；蚍QF和G是一個(gè)可控對(duì)。對(duì)于一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)可控，狀態(tài)一致可控，狀態(tài)全局可控都是

4、等價(jià)的。狀態(tài)可控判據(jù)：式4.14可以寫成FN-1GFN-2G.FGGu(0)u(1)u(N-1)按照線性代數(shù)理論，為使上式右邊任意時(shí)都存在一個(gè)輸入序列u(k)，k=0,1,2,N-1,N0，使上式成立，必須滿足rankFN-1G.FGG=rankFn-1G.FGG-Fnx,N04.150這時(shí)稱為此離散系統(tǒng)是最多N步可控的。定理：對(duì)于線性定常離散狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k),系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)可控的充分必要條件為式4.15成立。推論：如果是狀態(tài)完全可控的，則此系統(tǒng)一定是在最多n步內(nèi)狀態(tài)完全可控的。？也可類似地對(duì)式4.1系統(tǒng)定義輸出完全可控性定理：式4.1系統(tǒng)為輸出完全能控的充要條

5、件是rankCFN-1G.CFGCG二rankCFn-1G.CFGCG-CFnx,N04.160如果是輸出能控的，總是有nN0,稱為此離散系統(tǒng)是最多n步可控的。狀態(tài)能達(dá)性定義：對(duì)式4.1的第一式，若初值x0=0和任給終值x,都可以找到一個(gè)輸入序列u(k)，k=0,1,2,.,N-1,N0,使得x(N)=乞FiGu(N-1-i)=X4.17則稱式4.1第一式是狀態(tài)(完全)可達(dá)的?；蚍QF和G是一個(gè)可達(dá)對(duì)。對(duì)于一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)可達(dá)，狀態(tài)一致可達(dá)，狀態(tài)全局可達(dá)都是等價(jià)的。狀態(tài)可達(dá)判據(jù)：u(0)=Xu(N-2)u(N-1)式4.17可以寫成FN-1G.FGG按照線性代數(shù)理論，為使上式右邊任意時(shí)

6、都存在一個(gè)輸入序列u(k)，k=0,1,2,.,N-1,N0,使上式成立，必須滿足rankFn-1G.FGG=n,nN04.18總是有nN0，稱為此離散系統(tǒng)是最多n步可達(dá)的。？定理：對(duì)于線性定常離散狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k),系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)可達(dá)的充分必要條件為滿足式4.18推論：如果是狀態(tài)完全可達(dá)的，則此系統(tǒng)一定是在最多n步內(nèi)狀態(tài)完全可達(dá)的。也可類似地對(duì)式4.1系統(tǒng)定義輸出完全可達(dá)性定理：式4.1系統(tǒng)為輸出完全能達(dá)的充要條件是rankCFn-1GCFn-2G.CFGCG=m如果是輸出能達(dá)的，總是有nN0，稱為此離散系統(tǒng)是最多n步可達(dá)的。能控與能達(dá)由式4.15和4.18可知

7、，對(duì)于式4.1的第一式：狀態(tài)完全能達(dá)-狀態(tài)完全能控離散時(shí)間系統(tǒng)的能達(dá)性與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性相對(duì)應(yīng)。一般來說，往往比照連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)能控性，將離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性合稱狀態(tài)能控性。有定義：對(duì)式4.1的第一式，若任給初值x0和終值x,都可以找到一個(gè)輸入序列u(k)，k=0,1,2,.,N-1,N0,使得4.19x(N)=為1FiGu(N-1-i)=X-Fnx0i=0則稱式4.1第一式是狀態(tài)(完全)可控的?；蚍QF和G是一個(gè)可控對(duì)。對(duì)于一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)可控，狀態(tài)一致可控，狀態(tài)全局可控都是等價(jià)的。綜合式4.15和4.18可得狀態(tài)可控性判據(jù)：定理：對(duì)于線性定常離散狀態(tài)方程x(k+1)

8、=Fx(k)+Gu(k),任給初值x0和終值x,系統(tǒng)為狀態(tài)（完全）可控的充分必要條件為滿足式4.18。狀態(tài)能觀性與能控性對(duì)偶，能觀性只研究式4.1中的矩陣對(duì)（F,C）定義：任給初值x（0）=x,可以通過一個(gè)輸出量測(cè)序列y（k）,k=0,1,2.N-1,N0,來唯一地確定x0,則稱式4.1系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。對(duì)于一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)能觀，完全能觀，全局能觀，一致能觀,都是等價(jià)的。按上定義_y()_C_y(1)=CFx,nN0y(N-1)0CFn-104.20按照線性代數(shù)的理論，上式中總是存在一個(gè)唯一的x的充要條件是:CCFrank=n4.21CFn-1定理：對(duì)于線性定常離散狀態(tài)方程式4.

9、1，矩陣對(duì)（F,C）為完全能觀的充要條件為上式4.21成立。如果（F，C）是狀態(tài)可觀的，總是有nN，即一定是最多n步狀態(tài)可觀的。狀態(tài)能測(cè)性不可觀狀態(tài)定義：狀態(tài)x(0)=x0稱為不可觀的，如果當(dāng)x(0)=x0HO時(shí)，對(duì)于k=0,1,2.N,Nn-1，及u(k)=0,有輸出y(k)=0。狀態(tài)能測(cè)性定義：線性定常離散狀態(tài)方程式4.1是可測(cè)的，如果該系統(tǒng)中不可觀的狀態(tài)都是穩(wěn)定的。即，如果狀態(tài)x(0)=x0HO是不可觀的，一定有Fkx0f0。幾點(diǎn)說明：當(dāng)輸入u為標(biāo)量，則式4.21中的判秩矩陣為方陣，似乎更容易理解些。事實(shí)上，當(dāng)u為r1維時(shí)，判秩矩陣為nxn維，非方，不能直接用“可逆”的r概念，但是按照線

10、性代數(shù)中映射的“算子”與其“值域”之間的關(guān)系，同樣不難理解。容易理解研究狀態(tài)能控時(shí)與輸出矩陣C無關(guān)。在研究狀態(tài)可觀時(shí)，與輸入矩陣G無關(guān)，是因?yàn)槿谓o已知的u(k)序列，其在輸出y(k)中的“零狀態(tài)響應(yīng)”分量也是已知的，可以從量測(cè)的y(k)中減去，它與對(duì)x(0)的觀測(cè)結(jié)果無關(guān)。4.3.5結(jié)構(gòu)分解對(duì)于x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)(k)=Cx(k)42我們知道，非奇異的相似變換不會(huì)影響其可達(dá)性和可觀性。如果系統(tǒng)不是完全可達(dá)的(部分狀態(tài)可達(dá)，部分狀態(tài)不可達(dá))；亦不是完全可觀的(部分狀態(tài)可觀，部分狀態(tài)不可觀)，則總是可以經(jīng)相似變換對(duì)其分解為四部分，成為如下形式：x(k+1)=F110F310y(k

11、)=cC12F12F22F32F42000F3300 x(k)00F34F44x(k)+G10G30u(k)4.22其中x(k)=x(k).x,k)為n維可達(dá)可觀子空間,ro1n11Xro(k)=Xnl+l(k)Xnl+n2(k)為役維可達(dá)不可觀子空間,Xro(k)=Xn1+n2+1(k)-Xn1+n2+n3(k)為為維不可達(dá)可觀子空間,Xro(k)=Xn1+n2+n3+1(k)和k)為-維不可達(dá)不可觀子空間,并有，=嚴(yán)2+為+4。四個(gè)子系統(tǒng)之間的關(guān)系如下圖所示。u(k)!Sro1y(k)SroSroSro圖4.2線性離散時(shí)間狀態(tài)空間的卡爾曼分解示意圖顯然，輸入輸出之間的關(guān)系只由可達(dá)可觀子系統(tǒng)

12、決定?？蓽y(cè)性的理解：只有當(dāng)非可測(cè)狀態(tài)收斂時(shí)，通過觀測(cè)得到的內(nèi)部(全部)狀態(tài)才是真實(shí)的。4.4實(shí)現(xiàn)定義：已知以某種方式描述的離散時(shí)間系統(tǒng)，尋找（構(gòu)造）其具有相同動(dòng)態(tài)特性（輸入輸出動(dòng)態(tài)特性）的狀態(tài)空間方程，稱為“實(shí)現(xiàn)”。一般來說實(shí)現(xiàn)不是唯一的。定義：所有的實(shí)現(xiàn)中，階數(shù)最低者稱為最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)也不是唯一的。定理：最小實(shí)現(xiàn)一定是可控可觀的，反過來也一樣。定理：非最小實(shí)現(xiàn)一定是或者不可控，或者不可觀，或者既不可控又不可觀。反過來也一樣。4.4.1由差分方程求實(shí)現(xiàn)已知由差分方程描述的線性定常離散系統(tǒng)（mn）x(k+n)+ax(k+n一1)+.+ax(k+1)+ax(k)=1=bu(k+m)+bu(k+

13、m一1)+.+bu(k+1)+bu(k)01nmn-1m-12.1則有.y(k)=cx(k)_010一_0_F=0，g=10一a一a一a1x(k+1)=Fx(k)+gu(k)其中，5n-1n0,ic=bbmm-14.2b1nv4.234.24也是其一個(gè)實(shí)現(xiàn)，且（F,g）是個(gè)可觀對(duì)，即上式是一個(gè)可觀實(shí)現(xiàn)，稱為是其一個(gè)實(shí)現(xiàn)，且（F；b）是一個(gè)可控對(duì)，即上式是一個(gè)可控的實(shí)現(xiàn)，稱為約當(dāng)可控標(biāo)準(zhǔn)型。其中，g和c小寫表示是標(biāo)量（但輸入單輸出）系統(tǒng)。另外，F(xiàn)=010-an-an-1,g=bmb001-a1050c=01,mn約當(dāng)可觀標(biāo)準(zhǔn)型。注意到式4.22和4.23中的F互為轉(zhuǎn)置，g和c互為轉(zhuǎn)置。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

14、不一定是最小實(shí)現(xiàn)，即可控標(biāo)準(zhǔn)型未必可觀，可觀標(biāo)準(zhǔn)型未必可控。4.4.2由傳遞函數(shù)求實(shí)現(xiàn)1.已知由Z傳遞函數(shù)描述的標(biāo)量線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)g()bZm+bZm-1+bz+bG(Z)=01m-1mZn+aZn-1+az+a1n-1n，mn4.25由Z傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)與差分方程各系數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接寫出其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)可控實(shí)現(xiàn)形式或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)可觀實(shí)現(xiàn)形式。與式4.22和4.23完全相同。定理：如果G（z）是不可約的，則由此寫出約當(dāng)可控標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)可觀標(biāo)準(zhǔn)型均是最小實(shí)現(xiàn)，即約當(dāng)可控標(biāo)準(zhǔn)型也是可觀的，約當(dāng)可觀標(biāo)準(zhǔn)型也是可控的。2.并聯(lián)實(shí)現(xiàn)方式設(shè)有G(z)=匚4.26,=1z-Pi上式意味著直

15、傳系數(shù)d為零，或m00=eA(t-ti)x(t)+JeA(t-t)Bu(t)dT,tt011t1設(shè)q=kT時(shí)，x(t”=x(kT)=x(k),u(tJ=u(kT)=u(k)在t=kT(k+1)T期間，u(t)=u(k)保持因此到t=(k+1)T時(shí)，有x(k+1)eatx(k)+(丁eA(k+i)t-tBdxu(k)kTx(k+1)Fx(k)+Gu(k)對(duì)照可知：IFeATG(kTeA(k+1)t-TBdtJeA(t-v)BdvJeAtBdt1E(z)pcfbm-m二G(z)U(z)+G(z)D(z)+G(z)E(z)rcm-rrdcm-sLecm-mu(k)rr-m典型的多變量閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)

16、結(jié)構(gòu)圖Hff(z)給定輸入r控制前置濾波r-r圖4.6其中，特別注意各傳遞函數(shù)的“求逆式”中環(huán)路增益矩陣的排列順序；“逆式”的階數(shù)；以及“逆式”所處的位置。各傳遞函數(shù)分別如下示：G(z)二H(z)H(z)G+H(z)H(z)H(z)H(z)rcm-rpcfbpcr-rffG(z)二H(z)G+H(z)H(z)H(z)Ldcm-scfbps-s4.41G(z)ecm-m(z)H(z)H(z)Lpcfbm-m該系統(tǒng)的特征方程為G+H(z)H(z)H(z)pcfb(z)H(z)H(z)cfbp+H(z)H(z)H(z)=0fbpc4.424.7敏感性和魯棒性敏感性和魯棒性都是針對(duì)被控對(duì)象中(參數(shù)和結(jié)

17、構(gòu))的攝動(dòng)而言的。這些攝動(dòng)反應(yīng)為Hp(z)的變化，或亦稱Hp(z)的攝動(dòng)。敏感性(sensitivity)是指，Hp(z)的攝動(dòng)在多大程度上影響各閉環(huán)傳遞函數(shù)。我們希望敏感性越小越好。魯棒性(robustness)是指，要保證Hp(z)的攝動(dòng)不至于影響閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，應(yīng)如何限制Hp(z)的攝動(dòng)。允許的攝動(dòng)范圍越大，稱為魯棒性越好。4.7.1敏感性為了方便起見，下面的討論針對(duì)標(biāo)量系統(tǒng)給出結(jié)論；在多變量系統(tǒng)的情況下，敏感性函數(shù)是一個(gè)龐大的(ms-mr)矩陣，但定義的原理是相同的。標(biāo)量系統(tǒng)的情況下，定義G相對(duì)于H(z)的靈敏度為rcp4.43dG(z)HHrcfdH(z)(1+lJ2p匕相對(duì)于竹的相

18、對(duì)靈敏度為dG(z)rcG(z)dTrupH(z)plnG(z)rclnH(z)p11+L(z)S(z)4.44S稱為GJz)相對(duì)于Hp(z)的靈敏度函數(shù)。T稱為GJz)相對(duì)于Hp(z)的互補(bǔ)靈敏度函數(shù)。4.45L(z)1+L(z)靈敏度函數(shù)S可以看成是圖4.6中從e到y(tǒng)的傳遞函數(shù)；互補(bǔ)靈敏度函數(shù)T可以看成是圖4.6中從d到u的傳遞函數(shù)。C4.7.2魯棒性在圖4.6中，設(shè)H為標(biāo)稱被控對(duì)象模型，H為(包含了攝動(dòng)的)實(shí)ppo際被控對(duì)象模型。魯棒性研究的問題是：為了保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，H必須在多大程po度上接近Hp(z)。仍然考慮標(biāo)量系統(tǒng)：由實(shí)際的Hpo(z)代替標(biāo)稱的竹，忍到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)由G

19、Jz)成為G()化(z)H(z)H0(z)G(z)二一ffcprc01+L(z)0此閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)由其特征方程決定f(z)二1+L(z)0二1+H(z)H(z)H(z)ffcp0二1+H(z)H(z)H(z)+H(z)H(z)H(z)-H(z)H(z)H(z)ffcpffcp0ffcp0二1+H(z)H(z)H(z)+H(z)H(z)VH(z)-H(z)丿ffcpffcp0p二1+L(z)+(L(z)-L(z)0二1+L(z)+AL(z)數(shù)學(xué)上有如下結(jié)論：如果不等式(z)-H(z)1+L(z)pOp1AL(z)二L(z)-L(z)二H(z)H(z)(Hffc4.464.474.48在單位園上成立，那么根據(jù)復(fù)數(shù)幅角變化的原理可知，函數(shù)T+L0(z)”和T+L(z)