最優(yōu)化方法論文

1、彈性約束下的線性規(guī)劃之最優(yōu)化方法摘要：線性規(guī)劃方法是解決最優(yōu)化問題的有效方法之一，有著極其廣泛的應(yīng)用，在管理學(xué)的應(yīng)用過 程中也時(shí)常穿插著關(guān)于最優(yōu)化的問題。本文將在古典的線性規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上，引入彈性約束一詞， 以彈性約束下的線性規(guī)劃類型為對象建立新的數(shù)學(xué)模型，在解決具體的管理學(xué)案例的過程中，尋求 其最優(yōu)化方法，同時(shí)為管理決策提供依據(jù)。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；最優(yōu)化；單純形法；彈性約束；保證率前言在生產(chǎn)過程、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們總希望用最少的人力、物力、財(cái)力和 時(shí)間去辦更多的事，活得最大的效益，在管理學(xué)中被看作是生產(chǎn)者的利潤最大化和消費(fèi) 者的效用最大化，如果從數(shù)學(xué)的角度來看就被看作是“最優(yōu)化問

2、題”。在最優(yōu)化的研究 生教學(xué)中我們所說的最優(yōu)化問題一般是在某些特定的“約束條件”下尋找某個(gè)“目標(biāo)函 數(shù)”的最大（或最?。┲?，其解法稱為最優(yōu)化方法。線性規(guī)劃方法是最優(yōu)化方法中的一個(gè) 重要部分。但是，經(jīng)典的線性規(guī)劃方法，常將目標(biāo)函數(shù)和約束條件都視為確定的。然而， 在實(shí)際問題中不論目標(biāo)函數(shù)還是約束條件都具有不同形式的不確定性。本文重點(diǎn)引入新 的名詞彈性約束，以彈性約束下的線性規(guī)劃類型為對象建立新的數(shù)學(xué)模型，從而尋求其 最優(yōu)化方法。1、問題的提出某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁共4種產(chǎn)品，需用到A,B,C共3種原料，每種產(chǎn)品需要使 用的各種原料的數(shù)量及其可能獲得的利潤如表1所示。又A,B兩種原料供應(yīng)量有限，單

3、位 生產(chǎn)周期內(nèi)只能提供一定的數(shù)量，而C種原料一經(jīng)開包使用就必須用足一定量后方可停 止使用，且不能單獨(dú)使用。現(xiàn)有關(guān)數(shù)據(jù)均見下表。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)，方能使該廠所獲 利潤達(dá)到最大值？表1：加工產(chǎn)品所需原料及可能獲得的利潤原料加工每件產(chǎn)品所需原料單位周期內(nèi)原料的供應(yīng)量或必須使用量甲乙丙丁A1.01.21.41.52100B0.50.60.60.8*00C0.70.70.80.81300每件利潤1215810現(xiàn)設(shè)甲、乙、丙、丁 4種產(chǎn)品各自產(chǎn)量分別為土，七，七，。依題意有 TOC o 1-5 h z max f =12 x +15 x +8 x +10 x 1234,x +1.2x +1.4x +1.5

4、x 21001234s.t0.5 x +0.6x +0.6x +0.8 x 500(1-1)12341 0.7 x +0.7 x +0.8 x +0.8 x 13001234x , x , x , x 00).允許有一定的變動(dòng)范圍的約束條件，稱為彈性約束。所有滿足彈性約束條件的元 素組成的集合，稱為彈性約束集。記加粗的“W絲”表示彈性約束，我們可理解為大約 小于的意思。D = x l 才j=1a x Wb ,x E X (i=1,2,，m)； M= f l f f 0。 0000用于表示約束條件變化范圍的量，稱為伸縮指標(biāo)，記為d, 0 (i=1，2,，m)記d =(d ,d，d )T彈性約束集

5、中的元素與滿足彈性約束條件的程度之間的對應(yīng)關(guān)系，稱為滿足程度函數(shù)。記u (x)表示任意的xED,滿足EDia x Wb (i=1, 2,，m)的程度，且j=1EaxW b , j =1j j1 1/d (a xj=1b W E a x W b + d ,i ij j i ij=1I。，Eax b +d .ij j i i j=1記 (x)表示任意x EX函數(shù)在X處取得最大值的程度，且乙 x V f , j j oj=11/d (乙 x.j=1fo)，f W E c x V f + d ,0j j 00j=1I1，f + d W Ec xj=1記d = q n D2 nn d ,u (X)=in

6、f uD1(x) ,u (x),，u (x)。“V”運(yùn)算符定義為aVb=maxa,b, “八”定義為a A b =min a, b ,其中a, b E 0,1.入表示彈性約束下的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的保證率，入e0,1o3、模型的建立與求解對應(yīng)于彈性約束的線性規(guī)劃問題可以寫成:(3-1)求 maxf= C ,sXt A Vb, x N0,對應(yīng)于其中的約束條件，可轉(zhuǎn)化為maxuD( ) ；目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)為求 maxu(),模型(3-1),可轉(zhuǎn)換成如下模型:max (u A u )(3-2)根據(jù)命題1,模型(3-2 )可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成如下線性規(guī)劃問題:max g =K1-1/d (才 a x b )入，(i

7、=1, 2,，m)i ij j ij=1s.t1/d (c x - f )入0 j j 0j=1L 0忍入 1, X , X ,，x 0.、一12n將上式整理可得以下模型:max g =Ka.x. +d入j =1 j j(i=1, 2,，m),s.t J二x-d入jj 0j=1f0(3-3)0W入 W1, x1x 0.假設(shè)（x*, x *，x *,入）T是問題（3-3）的最優(yōu)解，則x*=（x*,12n1（3-1）在限定條件f V f V f + d之后的解，f * = cx *是問題（3-1）在條件f V f V 000j j0j=1f0 + d0下所得目標(biāo)函數(shù)的最大值。關(guān)于問題（3-3）中f

8、0與了網(wǎng) 的確定，可由實(shí)際問題給出，也可參照生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)或平時(shí)生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)給定，還可以根據(jù)以下問題* Ax V bAx V b + d求 max f = Cx, s.tx N0(1) s.tx N0(2)的解，決策者采用悲觀、樂觀、等可能、折衷主義等策略進(jìn)行確定：設(shè)問題（1）的解 為f *，問題（2）的解為f* + d*，因d 0，故問題（2）放寬了問題（1）的約束條件， 從而有d* 0。彈性約束使用的目標(biāo)在于希望在一定“保證率”下適當(dāng)擴(kuò)大收益（即增 大目標(biāo)函數(shù)值），故應(yīng)取f + d f，但f取值越大，所冒風(fēng)險(xiǎn)越大，當(dāng)f f + d時(shí)， 00*00*實(shí)現(xiàn)f的可能性只能是0,故還應(yīng)取f V f

9、+ d。一般地，可令a表示樂觀系數(shù) 00*(0忍a 1), f = a(f* + d*)+(1-a)f*,則有:(1)若采用悲觀主義決策準(zhǔn)則，可取f0 = f*f0 + d0 = fi；(2)若采用樂觀主義決策準(zhǔn)則，可取f0 = f,4、案例求解下面對本文開始所提出的問題基礎(chǔ)具體的求解:利用單純形法，首先求得問題(11)的最佳基可行解和最優(yōu)函數(shù)值為 TOC o 1-5 h z x = (x , x , x , x )t= (8100/7, 5000/7, 0, 0)t, f =171000/7. 1234*利用單純形法，求解以下問題：求 max f =12七+15x2 +8x3 +10 x4C

10、 x +1.2x +1.4x +1.5x 2100 1234s.t0.5 x +0.6x +0.6x +0.8 x 1000(4-1)12340.7 x +0.7 x +0.8 x +0.8 x 13001234x x x x 0:1 523 4得其最優(yōu)基可行解x及最優(yōu)解f +d為：x = ( x , x , x, x )t= (1500/7, 11000/7, 0, 0)t, 1234f + d =18700/7, d = 1200/7最后求解彈性約束線性規(guī)劃問題：max f =12 x +15 x +8 x +10 x1234C x +1.2x +1.4x +1.5x 210012340.

11、5 x +0.6 x +0.6 x +0.8 x 310001234s.t一 0.7七0.7x2 0.8七0.8x4 3 1300 x x x x 0i 1 2 3 4給定d1 =100, d2 = d3 =50。為得到以上問題的解答，先令a =1/3,得f* =17500/7, 采用樂觀主義決策準(zhǔn)則取f = 17500/7, d0 =8000/7，且有式(3-3)將問題(4-1)轉(zhuǎn)換為如 下經(jīng)典線性規(guī)劃問題：求 max g =K TOC o 1-5 h z C X +1.2% +1.4% +1.5x +100入 2100+100, 12340.5 % +0.6 % +0.6 % +0.8 %

12、 +50入 1000+50 1234s.t 0.7% 0.7% 0.8% 0.8% +50入 1300+50,123412 % +15 % +8 % +10 % 8000/7A N17500/712340忍入1% % % % 0-1，2，3，4 0將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用單純形法同樣可求得其最優(yōu)基可行解為:% = (% , % , % , %，入)t= (4100/7, 8600/7, 0, 0, 2/5)t. 1234因此得 % = (% , % , % , % )t = (4100/7, 8600/7, 0, 0)t 是問題(4-1)在選擇 f =1234017500/7, d0 =8000

13、/7時(shí)的最優(yōu)解，且保證率入=2/5獲得最優(yōu)目標(biāo)值f =12X4100/7+15 X8600/7 = 178200/7。與問題(1-1)相比，收益增加了 1028元，增幅為4.2%。在問題(4-1)中，采用悲觀主義決策準(zhǔn)則取f = 17500/7, d0 =8000/7,則得入=3/4, f =17400/7；若由生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)直接取f = 16500/7, d0 =15000/7,則得入=2/3,最優(yōu)值f =175000/7=25000。5、總結(jié)需要指出的是，使用模型(3-3)所得結(jié)果與f和d的選取有關(guān)。一般地，若f V f和 000*d V d，則入將取得最大化。但所得f值增幅不大，若f f或d d，因入將取較 0*0