雅可比多項(xiàng)式

1、雅可比多項(xiàng)式Wolfram 語雅可比多項(xiàng)式，也被稱為超幾何多項(xiàng)式，發(fā)生在研究旋轉(zhuǎn)組和解決運(yùn)動(dòng)方程的對(duì)稱。他們的解決方案 雅可比方程，并給其他一些特殊命名多項(xiàng)式作為特殊情況。實(shí)現(xiàn)它們 言作為 Jacobip n,a、b z。(1)L6減少到一個(gè)勒讓德多項(xiàng)式。的蓋根堡多項(xiàng)式Gulp, 和第一類切比雪夫多項(xiàng)式也可以被視為雅可比多項(xiàng)式的特殊情況。堵塞到雅可比方程給出了遞歸關(guān)系7- v（y+農(nóng)斗力小卬幽-2伊+1）w+/+ 1）曄 =o(4)為- 0,1，在那里y s /I （n +貨 +/ + LX，解決遞歸關(guān)系給了噌鼻軸二導(dǎo)I 0方尸a十爐旦井嚴(yán)a認(rèn)尸| 2 K!ffJT(6)為性,它們形成一個(gè)完整

2、的正交系統(tǒng)的時(shí)間間隔-L L對(duì)權(quán)重函數(shù)時(shí)（X）-11 7產(chǎn)（1 +工汽規(guī)范化的根據(jù)在哪里是一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)。雅可比多項(xiàng)式也可以寫(8)Tr(n4 p)f (2 n + p)尸丁魂尊一1n r(n + ff + +在哪里版）是丫函數(shù)和雅可比多項(xiàng)式是正交多項(xiàng)式并滿足(10)蹬聞蹂曲（1 - xT d1用力惠2科如 I5 千口+1）2n +a1 niriX +的系數(shù)這個(gè)詞的工|在尸定聞k煌由(11)T(2制中小2 nJrtfi+a/3 + 1)他們滿足遞歸關(guān)系2 (fi -f 1) (n + a -f /5 + 1) Q Ji + o +3 j4o 4 P # 1) 口 /)4 Q M4 q 4 陽

3、z碟用 Of)=2后中仙中6(2圖中(r + J3 + 2)(r h(12)在哪里(制品是一個(gè)Pochhammer象征(m + w 1)!(mr = JH tffj + 1) (ffl + JI - 1)=-1J!的導(dǎo)數(shù)是由(13)琛周網(wǎng)=3 M師口小外1)?曾如”， dx餐避 再的正交多項(xiàng)式與權(quán)重函數(shù) 曲一工爐一目)?在閉區(qū)間應(yīng),句可以表達(dá)形式- -人的心工一口IconK?2工2 t1J* b - ff/(14)(15)(Szego 1975,p . 58)。特殊卜f況，。-=力是r c2 v+a +1)r(7 + 1)r (v+a? + i)r(2v+1)(16)二(-ifr(2 y +

4、n + i)r(V +1) plffl p, . I r (v + q- -bir(2y+11)(1 - z J)(17)(18)=(-iyr(2 v + c 4- 2)r (v 41) r (v +n)r(2.v+2)(19)r(；2v+(M+2jr*i) 0; Ir(K + ff + 1)T Qy 2)“外進(jìn)一步的身份、2 值上口+ 1)尸乎6-何41)尸箸在) TOC o 1-5 h z I =(20)1-工，但2 g+ U)P*&)+5 + l)P*k), 一二(21)比2n +(z + j3 + 21+工&F一川口 J產(chǎn)陰十I- 1)嚴(yán)8 4 1)中_ 二 .-wgKS b)2 nf

5、f + fl t1 2 r (n 4*Q + 1 jr(n + + 1Jjt -y(Szego 1975,p . 1975)的內(nèi)核多項(xiàng)式是(23)2jictfl + 2 rtn + a + l)r(ja + 月+ 1).i v(Szego 1975,p . 1975)的多項(xiàng)式判別是曖4 .j n卜”+ o尸iy+礦】v=lX (n + v + tt + 國(guó)產(chǎn)(Szego 1975,p . 1975)。的超幾何函數(shù)，(24)P%M(r)= 也 卜產(chǎn)1 (一明打斗口+ 04 L； (J 4 1 ；、(1 一刈to 4- Ik iii：1 F (-H,時(shí) + 口 + 戶 + 1; cr+1 Qit!

6、3(25)(26)(27)在哪里(得上是 Pochhammer 象征(阿布拉莫維茨和 Stegun 1972,p . 561;Koekoek 和 Swarttouw 1998)讓押0的數(shù)量上（=L 1），場(chǎng)0的數(shù)量jFE（-wt-D7Vj0的數(shù)量co）。定義克萊因的象征p if討長(zhǎng)。E (h ) = * 皿 Jif u pos itive and nGQintegraler - 1 if u a 1,1-在哪里是層功能，X (dt f j(|2n+a + + 1| -c-|p| 4* I)F,同= E-胃 l)j七(* 冏= j C-口 n + tf + + ” |o| 中 廬| 4 1)(2

7、8)(29)(30)(31)如果情況下a = - 1 ,2 ,.,，向1 , 2. , .,tn-,n牛,Of本；1 ,2，一n被排除在外，那么0的數(shù)量產(chǎn)J+”在相應(yīng)的時(shí)間間隔唱小1出（川：3（/+(? + )3 + 3)34件 + 4)a-1 月（阿布拉莫維茨和 Stegun 1972,p . 793）。阿布拉莫維茨和 Stegun（1972 年，頁782 - 793）和Szego（1975 年,Ch。4）額外的身份。蓋根堡多項(xiàng)式Gegenbauer多項(xiàng)式的（耳1解決方案是Gegenbauer微分方程為整數(shù)蹤。他們是相關(guān)聯(lián)的概括 勒讓德多項(xiàng)式來Q JL*川-d空間，是成正比的（或者根據(jù)正常化

8、，等于）特種球多項(xiàng)式I.Szego之后，在這個(gè)工作中 ,Gegenbauer多項(xiàng)式給出的雅可比多項(xiàng)式睦價(jià)用r(1+ r(n+ii)r(2A) rfn + x+（Szego 1975,p . 80）,從而使它們相當(dāng)于Gegenbauer多項(xiàng)式的實(shí)現(xiàn) Wolfram語言作為GegenbauerGh入,x）這些多項(xiàng)式給出的 生成函數(shù)最初幾個(gè)Gegenbauer 多項(xiàng)式審時(shí)工1Cf%)=-A+2A(+aCh)=-2X(1+ ;*0 +的超幾何函數(shù)他們規(guī)范化ffid工=1蠹0”四J-Cr L 1值中由為導(dǎo)數(shù)的身份包括KJ匚丁 = 2 in 1 ,1)1 1，用 2 A 1)值1 2 A) C；L ,i

9、g1nxtx) + (w-b 2A - 1) fjli (a)二例 + 2A)x (if) - (h + 1) U)廄赍岫印聞-；仁： Hax 1/dJE - (6)（Szego 1975,頁 80 - 83）。一個(gè)遞歸關(guān)系是(19)為 3 .特殊的雙-y公式也存在f 2 V H* 2 Alji 、O&nMl= 2v + l 卜法(f，F(xiàn) +A+1M+J 1 一歐Koschmieder(1920) 表示的橢圓函數(shù)為A * =3 / 4和人=2，3 .參見：Gegenbauer 微分方程的二階常微分方程 TOC o 1-5 h z i(1)有時(shí)也被稱為超球面的微分方程(Iyanaga Kawad

10、a 1980,p . 1480;Zwillinger 1997,p . 123)。這個(gè)方程的解p 二 S - 1 尸，CD# QL在哪里戌(r媳一個(gè)有關(guān)第一類勒讓德函數(shù)和優(yōu)(K)是一個(gè)有關(guān)勒讓德函數(shù)的第二種.許多其他形式的方程有時(shí)也被稱為特種球或Gegenbauer 微分方程，包括|1 -1)xj/ + 2)y = 0*這個(gè)方程的通用解決方案y = = 1產(chǎn) IQ甲貌小國(guó)+ G。猊6刈.(4)如果-1/2 +/是一個(gè)整數(shù)，那么其中的一個(gè)解決方案被稱為Gegenbauer多項(xiàng)式謂 多項(xiàng)式，也被稱為特種球。表單二一二1一 :.十 二；： /-二 v U(5)也由Infeld和船體(1951年，頁2

11、1 - 1951)和Zwillinger(1997, 第122頁)。它的解決方案參見：勒讓德多項(xiàng)式(6)勒讓德多項(xiàng)式，有時(shí)被稱為第一類勒讓德函數(shù)，勒讓德系數(shù)，或帶函數(shù)(惠塔克和沃森1990,p . 302),解決方案勒讓德微分方程。如果是一個(gè)整數(shù)，他們是多項(xiàng)式。的勒讓德多項(xiàng)式冊(cè)明上面42-1+1和門= 1,2，5。實(shí)現(xiàn)它們 Wolfram語言作為L(zhǎng)egendrePn x。的相關(guān)的勒讓德多項(xiàng)式 理保)和外產(chǎn)解決方案是 勒讓德微分方程相關(guān)聯(lián)，在那里是一個(gè)正整數(shù)和,.,輪廓包含原點(diǎn)和遍歷在逆時(shí)針方向(Arfken 1985,p . 1985)。最初幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式PoM= 1P (x) x“電=3日

12、，斗Pl Oc)=451 -3x)2上)=：63.1 一 70 .J + 151!當(dāng)下令從最小到最大的權(quán)力和分母提出，三角形的非零系數(shù)是 1,(1) (6)(8)1, - 1 3, -35 個(gè) 3-30,(OEIS A008316 )。領(lǐng)先的分母是 1,1、2、2、8、8,16 日，16 日,128 年,128 年,256 年,256的勒讓德多項(xiàng)式p.tri可以定義的圍道積分年 (OEIS A060818 ).最初的幾權(quán)力的勒讓德多項(xiàng)式1 = P (r)r = j 晶 fr ) + E 嚴(yán)i (x)J = ： 3 產(chǎn)i 6) + 2瑪 UJ.r = = 127 P Ld + 28 Fg (x)

13、 + 8 5 (a )1 nJ.1 =二;口“，卜卜 11。/(.山 72/ g * 16 a(OEIS A008317和A001790 )。這些是由一個(gè)封閉的形式d1.2， ! 1 訂!/ =);乃國(guó)那1)!(r . Schmied 珀耳斯。通訊，2005年2月27日)。勒讓德多項(xiàng)式和 權(quán)力指數(shù)12,看到阿布拉莫維茨和 Stegun(1972,的勒讓德多項(xiàng)式也可以生成使用嗎 gram - schmidt正規(guī)化在開區(qū)間(- 1.帥與權(quán)重函數(shù)1。Po fcJ = 1巧fe)=卜卜1隼后1=XFl (r) - X A -,-卜 1工工一同工JI中-滬” .、國(guó)儼-/占1眄時(shí)一、一利2用餐噌-07T

14、S1-1=/ 江,正?；?，PK Cl)= 1給預(yù)期的勒讓德多項(xiàng)式。(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)第798頁)。(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)轉(zhuǎn)移”的勒讓德多項(xiàng)式是一組函數(shù)類似于勒讓德多項(xiàng)式，但定義在區(qū)間(0,1) o他們遵守正交性的關(guān)系(23)Ji，%3dL 獲H前幾個(gè)是 TOC o 1-5 h z I二：(24)I=(25)1=1-(26) HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 鼻二 20/ -md* 12x -L(27)勒讓德多項(xiàng)式的 正交在1肉權(quán)重函數(shù)1,滿足 .( 1 . ，: (28)JL

15、)2 W + 1在哪里41td是克羅內(nèi)克符號(hào)勒讓德多項(xiàng)式的一個(gè)特例Gegenbauer多項(xiàng)式與注=J的一個(gè)？?？例雅可比多項(xiàng)式 第罰與把=丹=0,可以寫成超幾何函數(shù)用墨菲的公式Pn Cx) =(z) - 3 Fl (-ntM +1；1； (1 -zj)(貝利 1933;1933 年,p . 101;Koekoek 和 Swarttouw 1998)。的羅德里格斯表示 提供的公式巧 U) = : br - 1),的收益率在擴(kuò)張1 ft fxl=)=0.1明(IA =0在哪里L(fēng)r!是層功能。額外的求和公式包括(Koepf 1998 年,p . 1)。的超幾何函數(shù)，這些可以寫(Koepf 1998,

16、p 。3)。一個(gè)生成函數(shù)為F片是由afl=o用（39）2rMl-f (1 -2x t+)一如+ 2r) ,2用 Pn (s) f1，并添加(38)和(40),9現(xiàn)14 r2）J，- （2x r - 2 r2） + （1 土司1）取切/jfsQ(40)(41)(42)在哪里口,墀一個(gè)零階第一類貝塞爾函數(shù)（Koepf 1998年,p . 2）勒讓德多項(xiàng)式滿足遞歸關(guān)系F+ 1M U）-（21+1）XPj o）+ r,）=0（Koepf 1998 年,p . 2）。此外，(43)(1 - f)尸；(r) = - n x P代 g + n /質(zhì)(x) = (n 4 l) x P& (x) - (jt +

17、 1) P j (x)(44)（糾正希爾德布蘭德1956,p . 324）一個(gè)復(fù)雜的生成函數(shù)是(45)積分區(qū)間的1包括一般公式(46)（1,一工，）/即gdjt(47)為例*我拜爾利1959,p . 1959）的特殊情況(48)(49)（OEIS A002596和A046161 ;拜爾利1959,p . 172）。勒讓德函數(shù)的乘積的積分(1 一)嚴(yán)九)產(chǎn)1c*)imCm+ 1)-=n|X t 1)(50)為m聲光（拜爾利1959,p . 1959）,使特殊情況這種擴(kuò)張是有用的一些物理問題，包括擴(kuò)大Heyney-Greenstein相函數(shù)和計(jì)算上的電荷分布球。另一個(gè)生成函數(shù)是由在哪里中 士干.，

18、：boui even lh dgJm even, n oddm odd, n even(51)_1即*|好而對(duì)！4尼+13-聞M+獸+ d (：用)/Q：加 1)! !2(52)(OEIS A078297 和 A078298 ；拜爾利 1959,p . 172)。后者的一個(gè)特例f /g幾41二A sin ( ffv)cos -型()-Al sin (j 型)cos Q wv)i + v + 1)(53)在哪里A rLT8 f * i)(i + 5 囚和 r 是一個(gè) 丫函數(shù)(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000,p 。 2000 年,eqn 。 7.113.1)積分了 -1, 口與權(quán)

19、重函數(shù)K和工2是由(54)r 2(l+i)口L + 1)(2-+3Pl WP& Mdjf= 1 飛也2L-1T(2i+T)forN - L + 1for N 二工一1(55)2(2L2 + 2L - 1)(2L- 1)(21+ l)(2L + 3)(Arfken 1985,p . 1985)的拉普拉斯變換 是由L 心 小團(tuán)=2X*l)CL + 2)口+10 + 3。+5)forflf = L i -2211a- i)pL-3)(2 - 1JPL + 1Jfor/V = Lfor/V = L-2(56)在哪里品。,謔一個(gè)修改后的第一類貝塞爾函數(shù)(57)一筆是由身份0 A, 1 -X21-圖p；(

20、58)在哪里 斗是嶺h的根源P/t fr)(Szego 1975,p . 1975)。類似的身份1 -上孑(59)If負(fù)責(zé)這一事實(shí)權(quán)重的總和Legendre-Gauss 交總是等于2權(quán)重函數(shù)CCN TfllQUTCBib Entry一個(gè)函數(shù)w值）用于規(guī)范化正交函數(shù)Jlfn （工片加工那工=%Legendre-Gauss 交Legendre-Gauss正交數(shù)值積分方法也被稱為“高斯求積和勒讓德正交。一個(gè)高斯求積在時(shí)間間隔1與權(quán)重函數(shù)印仁） = 1。的橫坐標(biāo)交訂單用由的根源嗎 勒讓德多項(xiàng)式產(chǎn)顯發(fā)生對(duì)稱約0。重量是*+1 7tt在哪里 4是系數(shù)的上筋在網(wǎng) （r）o為勒讓德多項(xiàng)式（2）!Art 卻值步

21、（希爾德布蘭德1956,p . 1956）%12(n+ 1)! 卻(用!產(chǎn)版鏟】即t DIF 口叫2n4- 1nHh 1此外，Yn = /Ms!工_22n +1(6)（希爾德布蘭德1956,p . 1956）2怛二1n蘆Ml %.）玨國(guó)）(8)(9)使用遞歸關(guān)系（10尸：饃）=FJE瑪9小$4蚓=X+ m四軸w 1）| H（糾正希爾德布蘭德 1956,p . 324）2陽（1 T雄田用手（ + 1舊見疑Oj ）F（希爾德布蘭德1956,p . 1956）權(quán)重叫滿足(14)它遵循的身份Ft1 .工?IF(15)誤差項(xiàng)是野群】M護(hù)(16)E 戶g2，+1)叫拜爾(1987)給出了表橫坐標(biāo)和重量卻三

22、16,錢德拉塞卡(I960) n = g為H甚至.1 n.修1120.577351.000000300.8888891 0.7745970.555556403399810.652145.8611360.347855500.5688890-5384690.4786290.9061B0.236927確切的橫坐標(biāo)下表中給出n 瑜修UI2邛V?130嗎i54:t川525沔第fi玄伽毛炳)11-jT fJ i V 323 + 70 V 3035 *1呆國(guó))50111闔 有1_1土 ；、2-1S - 14 V 7011士(322 * 13 寸而)9UQ /I士(322 - 13 yf7019UQ *橫坐標(biāo)

23、為順序 代正交的根源 勒讓德多項(xiàng)式 Et 6)1,這意味著他們是代數(shù)的度，2,2,4,4、6、6、8、8、10、10、12,，等于Z值置為修 1 (OEIS A052928 ).同樣的，訂單的重量 收交可以表示為多項(xiàng)式的根的程度1,1,1,2,2,3,3,4,4 、5、5、,等于值/2為 1 (OEIS A008619 )。三角多項(xiàng)式的根確定權(quán)重H (17) TOC o 1-5 h z .；1(18)9：1 -彳(19)二一 1.11 j. ：(20)廠(21)2025 000 X3-2025 000 + 629325-58564(22)142943 535000a- 113071253 Wx

24、2 *27510743799x - 1976763 932(23)1 707 698 764 800CM) Z-1707698 764800000 +606530263 M640CM 招 明同979164)8支 + 4 373 849390625(24)權(quán)重嗎有時(shí)也被稱為 克里斯托費(fèi)爾數(shù)字（錢德拉塞卡1967）。為正交多？?？ 式可（外與戶=1(6)(8)(9)(OEIS A112734 ).高斯求積尋求獲得最佳數(shù)值積分通過選擇最優(yōu)的估計(jì)橫坐標(biāo)M的評(píng)價(jià)函數(shù)/匕）。的高斯求積的基本定理 指出最優(yōu)橫坐標(biāo)的m分高斯求積公式正是正交的根源嗎 多項(xiàng)式相同的時(shí)間間隔 權(quán)重函數(shù)。高斯求積是最優(yōu)的，因?yàn)樗m合

25、所有 多項(xiàng)式到學(xué)位2m - 1完全正確。略小于最佳適合了 Radau交和用正交.亞1時(shí)間間隔1-1同是根1J11 i 1)i111pgh11111-Ii1111(-00, co) i1LIj國(guó)11I（1 -削玨iI1)11ljA 1(1 w1f1j 1)11r7以1產(chǎn)11(OU)i1*1”意外1 (G)111IQ1)fiFa 也(y7)1111高斯函數(shù)來確定相應(yīng)的權(quán)重橫坐標(biāo)a計(jì)算一個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式 為f 理過讓二 n；（i）j=l（錢德拉塞卡1967使用F而不是次）,所以，卷1-=口叱電然后安裝一個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式通過切點(diǎn)給再 3）/ *任意點(diǎn)加。因此我們找點(diǎn)集 巧和權(quán)重w這樣對(duì)一個(gè)權(quán)重

26、函數(shù)印5）,口小=您晨舐產(chǎn)悶=Z叼f田I 曰與重量1 戶并任）中5）兩二,一八（希爾德布蘭德1956,p . 322） &是系數(shù)的/在。片口）,然后在哪里yn = 口）F 卬（工）H e,使用的關(guān)系(10)fc) （ii）（希爾德布蘭德At. %-j1956,p . 323)(12)（注意，出版社等。1992年忽略的因素AftfAfl|）在高斯求積，重量都是 積極的。錯(cuò)誤是由卬（工）優(yōu)以,：f(13)(2用!(14)在哪里a MfMb（希爾德布蘭德1956,頁320 - 321）其他好奇的身份a 瓠產(chǎn)演 ，機(jī)7）機(jī)+1劃(15)(16)(17)（希爾德布蘭德1956,p . 1956）在符號(hào)S

27、zego（1975）,讓覆嘩M皿喘0片是一個(gè)有序的點(diǎn)集 E 川,讓，心事是一組實(shí)數(shù)。如果上的任意函數(shù)嗎 閉區(qū)間山*占1,寫高斯求積(18)6n （f） =L = I在這里 廊內(nèi)是橫坐標(biāo)和入門是柯特斯數(shù)字柯特斯數(shù)量 這些數(shù)字，1”在高斯求積公式2lt （f） /界/的v=I參見：帶諧函數(shù)帶諧函數(shù)是一個(gè) 球面諧波的形式Pj （口用1,即，減少到一個(gè)勒讓德多項(xiàng)式（惠塔克和沃森1990,p . 302）。這些諧波曲線在一個(gè)稱為帶狀”單位球（與中心在原點(diǎn)。匕物消失是工緯度線表面劃分為區(qū)（維特克和沃森1990,p . 392）。解決丹3工咻線性因素COS2 fl乘以COS。當(dāng)是奇怪的，然后替換8 %過E允

28、許帶諧函數(shù)/女儂他被表示為一個(gè)線性因素的產(chǎn)物廠，尸,丁產(chǎn)品乘以工當(dāng)，是奇怪的（惠塔克和沃森 1990,p . 1990）。參見：內(nèi)核多項(xiàng)式CCNTfllBUTCTMt Entry這個(gè)函數(shù)扁 囪,外一德氐曲區(qū)五。這是研究的許多有用嗎多項(xiàng)式.Hurwitz zeta function 赫維茨 t 函數(shù)From Wikipedia, the free encyclopediaIn mathematics , the Hurwitz zeta function , named after Adolf Hurwitz , is one of the many zeta functions . It is

29、 formally defined for complex arguments s with Re( s) 1 and q with Re( q) 0 by(XThis series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s w 1.The Riemann zeta function is t s,1).0L! rr s I / f I EB , I g 0 and any complex sw

30、1 was given by Helmut Hasse in 1930:101Tla* g) = 一區(qū)干s+比產(chǎn)This series converges uniformly on compact subsets of the s-plane to an entire function . The inner sum may be understood to be the nth forward difference of 1; that is,where A is the forward difference operator . Thus, one may write1/+1_ 1 Ml

31、+ A) 1.7a9s 1AIntegral representation editThe function has an integral representation in terms of the Mellin transform as,、 1 尸y亞公也)=麗,丁/山for 片.：and E? U.Hurwitzs formula editHurwitzs formula is the theorem thatUZ2伙引s) +產(chǎn)/%(1 -竊s)where雙雷 s) = 2r(s + 1) =11(27m)3(2號(hào)is a representation of the zeta tha

32、t is valid for _ _ and s 1. Here, Li 式 n)is the polylogarithm .Functional equation editThe functional equation relates values of the zeta on the left- and right-hand sides of the complex plane.For integers2nkmholds for all values of s.Taylor series editThe derivative of the zeta in the second argume

33、nt is a shift:% g) = 一s(s + Lg)Thus, the Taylor series has the distinctly umbral form:00 月生00 / U and z complex, but not an integer. For z=n an integer, this simplifies to=2萬一0-叨2 r= 2 7r-rg)c(s)_where t here is the Riemann zeta function . Note that this latter form is the functional equation for th

34、e Riemann zeta function, as originally given by Riemann. The distinction based on z being an integer or not accounts for the fact that the Jacobi theta function converges to the Dirac delta function in z as : U.Relation to Dirichlet L-functions editAt rational arguments the Hurwitz zeta function may

35、 be expressed as a linear combination of Dirichlet L-functions and vice versa: The Hurwitz zeta function coincides with Riemanns zeta function when q = 1, when q = 1/2 it is equal to (2 s-1) tg),4 and if q = n/k with k 2, ( n,k) 1 and 0 n k, then 5the sum running over all Dirichlet characters mod k.

36、 Inthe opposite direction we have the linear combination There is also the multiplication theoremof which a useful generalization is the distribution relation 6g x)=f fl 1 1qTX(+p/q) =平).p=O(This last form is valid whenever q a natural number and 1 - qa is not.)Zeros editIf q=1 the Hurwitz zeta func

37、tion reduces to the Riemann zeta function itself; if q=1/2 it reduces to the Riemann zeta function multiplied by a simple function of the complex argument s (vide supra ), leading in each case to the difficult study of the zeros of Riemanns zeta function. In particular, there will be no zeros with r

38、eal part greater than or equal to 1. However, if 0q1 and qw 1/2, then there are zeros of Hurwitzs zeta function in the strip 1Re(s)1+ e for any positive real number This was proved by Davenport and Heilbronn for rational and non-algebraic irrationalq,7 andby Cassels for algebraic irrational q .48Rational values editThe Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values. 9 In particular, values in terms of the Euler polynomialsandW I3滬+哈”(21)可qOne also haswhich holds for 1 P7.Here,the SV and產(chǎn)，are