(王桃)常用的數(shù)學(xué)思想和方法

1、 -中考復(fù)習(xí)專題 宜昌22中 王 桃 常用的數(shù)學(xué)思想和方法 （1）已知點(diǎn)P在x 軸上，且與原點(diǎn)的距離為2，那么點(diǎn)P 坐標(biāo)是 ；（2）函數(shù) 中，自變量x 的取值范圍是 ；（3）已知點(diǎn)P（3，a）在函數(shù) 的圖象上，則a = ；（4）點(diǎn)P（a, b）在第二象限，則直線 不經(jīng)過(guò)第 象限.小測(cè)驗(yàn):(2,0)或(-2,0) x3且x42三常用的數(shù)學(xué)思想分類(lèi)討論思想化歸轉(zhuǎn)化思想函數(shù)方程思想數(shù)形結(jié)合思想特殊化思想整體思想類(lèi)比思想統(tǒng)計(jì)思想建模思想換元法配方法待定系數(shù)法消元降次法公式法賦值法反證法幾何變換法常用的數(shù)學(xué)方法例1.（08揚(yáng)州）按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的x的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次得到的結(jié)果為2

2、4，第2次得到的結(jié)果為12，請(qǐng)你探索第2009次得到的結(jié)果為_(kāi).輸入xx+5輸出分類(lèi)討論思想點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)程序操作題題型新穎，能力立意，滲透分類(lèi)討論思想. x為奇數(shù)時(shí)x為偶數(shù)時(shí)8例2（06濟(jì)寧）如圖，將一等邊三角形剪去一個(gè)角后， 等于（ ） A B CD 12化歸轉(zhuǎn)化思想12ABC點(diǎn)評(píng):在幾何問(wèn)題中“化歸”的思想是一種常用的重要思想方法，三角形是大量幾何問(wèn)題的重要化歸目標(biāo).四邊形的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決，相反地，三角形通過(guò)裁剪或拼合也可以得到四邊形.特殊與一般思想變式A=60B函數(shù)方程思想例3.（08北京）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，反比例函數(shù) 的圖象與 的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，又與直線 交于點(diǎn)A（

3、m，3），試確定a的值.點(diǎn)評(píng)：此題綜合一次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想理解題目，運(yùn)用方程思想求出待定系數(shù)k，從而確定a的值.a=-1例4.（08南京）南京至上海的滬寧高速公路長(zhǎng)約300千米.甲、乙兩車(chē)同時(shí)分別從距南京240千米、60千米的入口行駛上滬寧高速上正常行駛.甲車(chē)駛往南京、乙車(chē)駛往上海.甲車(chē)在行駛過(guò)程中速度始終不變.甲車(chē)離南京（滬寧高速公路南京起點(diǎn)）的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示.（1）求出甲車(chē)離南京的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）乙車(chē)若以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，1小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？（3）乙車(chē)按（2）中狀態(tài)行

4、駛與甲車(chē)相遇后，速度改為a千米/時(shí)，結(jié)果兩車(chē)同時(shí)到達(dá)滬寧高速南京、上海起點(diǎn)，求乙車(chē)變化后的速度a;并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出乙離南京的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象.數(shù)形結(jié)合思想點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合 ：“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而優(yōu)化解題途徑.巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合思想例5.（07麗水）為了開(kāi)展陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)，堅(jiān)持讓中小學(xué)生“每天鍛煉一小時(shí)”，某地教研室體育組搞了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容是：“每天鍛煉是否超過(guò)1小時(shí)及鍛煉未超過(guò)1小時(shí)的原因”，他們隨機(jī)調(diào)查了720名學(xué)生，所得的數(shù)據(jù)制成了如

5、下的扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖根據(jù)圖示，請(qǐng)你回答以下問(wèn)題： （1）“沒(méi)時(shí)間”的人數(shù)是 ，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖； （2）2006年麗水市中小學(xué)生約32萬(wàn)人，按此調(diào)查，可以估計(jì)2006年全市中小學(xué)生每天鍛煉未超過(guò)1小時(shí)約有 萬(wàn)人； （3）如果計(jì)劃2008年麗水市中小學(xué)生每天鍛煉未超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)降到3.84 萬(wàn)人，求2006年至2008年鍛煉未超過(guò)1小時(shí)人數(shù)的年平均降低的百分率是多少？不喜歡沒(méi)時(shí)間其它原因鍛煉未超過(guò)1小時(shí)頻數(shù)分布直方圖人數(shù)統(tǒng)計(jì)思想建模思想400270超過(guò)1小時(shí)未超過(guò)1小時(shí)點(diǎn)評(píng)：常見(jiàn)模型有函數(shù)模型、方程模型、不等式模式、幾何模型、三角模型、圖表模型等. 40024點(diǎn)評(píng)：近年中考試題范

6、圍不僅包括數(shù)軸、直觀圖和軸對(duì)稱圖形等應(yīng)用，也包括幾何變換和統(tǒng)計(jì)圖等應(yīng)用，此題滲透統(tǒng)計(jì)思想、數(shù)形結(jié)合思想和建模思想.1.（08揚(yáng)州）如圖,已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（ ）A線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C線段EF的長(zhǎng)不變 D線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)的位置有關(guān)運(yùn)動(dòng)變化思想點(diǎn)評(píng):本題是一道非常簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，要體會(huì)運(yùn)動(dòng)之中有不變，向?qū)W生滲透運(yùn)動(dòng)變化的思想.C2.（08宜昌）如圖，將三角尺ABC（其中ABC60，C90）繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度到A1BC1的位置，使得點(diǎn)A

7、，B，C1在同一條直線上，那么這個(gè)角度等于（ ）A120 B90 C60 D30變換思想A特殊與一般思想3.將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn),圖1、2、3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系?并結(jié)合圖形2加以證明;ABCPDE圖1ABCPDE圖2ABCPDE圖3特殊與一般思想3.將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn),圖1、2、3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況

8、.（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系?并結(jié)合圖形2加以證明;ABCPDE圖1ABCPDE圖2ABCPDE圖3點(diǎn)評(píng)：這是“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn).有些特殊問(wèn)題，需要研究一般性規(guī)律；而對(duì)于一般性問(wèn)題，也常常通過(guò)考察其特殊情況（如特殊圖形、特殊位置、特殊取值等）來(lái)揭示其本質(zhì)規(guī)律.4.（2008宜昌）用煤燃燒發(fā)電時(shí)，所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)煤是指含熱量為7 000大卡/千克的煤生產(chǎn)實(shí)際中，一般根據(jù)含熱量相等，把所需標(biāo)準(zhǔn)煤的用煤量折合成含相同熱量的實(shí)際用煤量來(lái)計(jì)算（“大卡/千克”為一種熱值單位） 光明電廠生產(chǎn)中每發(fā)一度電需用標(biāo)準(zhǔn)煤0.36千克，現(xiàn)有煤矸石和

9、大同煤兩種可選為生產(chǎn)實(shí)際用煤，這兩種煤的基本情況見(jiàn)下表： （1）求生產(chǎn)中只用大同煤每發(fā)一度電的用煤量（即表中m的值）；（2）根據(jù)環(huán)保要求，光明電廠在大同煤中摻混煤矸石形成含熱量為5 000大卡/千克的混合煤來(lái)燃燒發(fā)電，若使用這種混合煤比全部使用大同煤每發(fā)1 000度電的生產(chǎn)成本增加了5.04元，求表中a的值（生產(chǎn)成本購(gòu)煤費(fèi)用其它費(fèi)用）煤的品種含熱量（大卡/千克）只用本種煤每發(fā)一度電的用煤量（千克/度）平均每燃燒一噸煤發(fā)電的生產(chǎn)成本購(gòu)煤費(fèi)用（元/噸）其他費(fèi)用（元/噸）煤矸石1 0002.52150a（a0）大同煤6 000m600a2 建模思想點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)模型常見(jiàn)的有函數(shù)模型、方程模型、不等式模式

10、、幾何模型、三角模型、圖表模型等. 1、復(fù)習(xí)基礎(chǔ)，把握核心，形成體系.2、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 初中階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法有： 數(shù)形結(jié)合思想 函數(shù)方程思想 分類(lèi)討論思想 化歸轉(zhuǎn)化思想 變換思想 整體思想 類(lèi)比思想 建模思想 估算與猜想思想等小結(jié)歸納 感悟體驗(yàn):消元法降次法配方法換元法反證法構(gòu)造法賦值法待定系數(shù)法幾何變換法等. “數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂!”結(jié)語(yǔ)：讓我們把握靈魂，提高數(shù)學(xué)文化素質(zhì)!1（基礎(chǔ)題）(改編)拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .分層練習(xí)題:2.（基礎(chǔ)題）如圖，已知直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 圖2M-2O1xy13.（基礎(chǔ)題）初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點(diǎn)法”畫(huà)二次

11、函數(shù) 的圖象時(shí)列了如下表格： 根據(jù)表格上的信息回答問(wèn)題：該二次函數(shù) 當(dāng)x=3時(shí)，y= 點(diǎn)評(píng):本題要求考生對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)有較高層次的理解，滲透著數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的重要思想.4.（基礎(chǔ)題）用換元法解方程 : ，令 代入原方程后，變形為 . 點(diǎn)評(píng)：換元法是非常重要的數(shù)學(xué)方法，整體思想是中考中考查的難點(diǎn)之一.5.（中檔題）當(dāng) 時(shí)，代數(shù)式 的值為 6.(中檔題)如圖，在矩形ABCD中， AB=16，BC=8，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且CE與AB交于點(diǎn)F，那么AF= .7.（提高題）已知甲、乙兩車(chē)分別從相距300千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，其中甲車(chē)到B地后立即返回，下圖是它們離各自出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象.（1）求甲車(chē)離出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)它們行駛到與各自出發(fā)地的距離相等時(shí)，用了 小時(shí)，求乙車(chē)離出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求它們?cè)谛旭偟倪^(guò)程中相遇的時(shí)間.甲乙甲y(千米)300 x（小時(shí)）3 O8.(選做題)如圖1，點(diǎn)A是直線ykx（k0，且k